Номер 102, страница 374 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

102 a) $\frac{|x - 4| - |x - 1|}{|x - 3| - |x - 2|} < \frac{|x - 3| + |x - 2|}{|x - 4|}$;

б) $\frac{|x - 5| - |x + 4|}{|x - 2| - |x + 1|} < \frac{|x - 2| + |x + 1|}{|x + 4|}$.

а) $\frac{|x-4| - |x-1|}{|x-3| - |x-2|} < \frac{|x-3| + |x-2|}{|x-4|}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны равняться нулю.
$|x-3| - |x-2| \neq 0 \implies |x-3| \neq |x-2| \implies (x-3)^2 \neq (x-2)^2 \implies x^2 - 6x + 9 \neq x^2 - 4x + 4 \implies 2x \neq 5 \implies x \neq 2.5$.
$|x-4| \neq 0 \implies x \neq 4$.
ОДЗ: $x \in \mathbb{R} \setminus \{2.5, 4\}$.

Для решения неравенства используем метод интервалов. Корни подмодульных выражений: 1, 2, 3, 4. Они разбивают числовую прямую на 5 интервалов. Раскроем модули в каждом из них.

1. При $x < 1$:
$|x-4| = 4-x, |x-1| = 1-x, |x-3| = 3-x, |x-2| = 2-x$.
Неравенство принимает вид:
$\frac{(4-x) - (1-x)}{(3-x) - (2-x)} < \frac{(3-x) + (2-x)}{4-x}$
$\frac{3}{1} < \frac{5-2x}{4-x}$
Так как при $x < 1$, $4-x > 0$, умножим обе части на $4-x$:
$3(4-x) < 5-2x \implies 12-3x < 5-2x \implies 7 < x$.
Пересечение $x < 1$ и $x > 7$ пусто, решений в этом интервале нет.

2. При $1 \le x < 2$:
$|x-4| = 4-x, |x-1| = x-1, |x-3| = 3-x, |x-2| = 2-x$.
$\frac{(4-x) - (x-1)}{(3-x) - (2-x)} < \frac{(3-x) + (2-x)}{4-x}$
$\frac{5-2x}{1} < \frac{5-2x}{4-x}$
$(5-2x) - \frac{5-2x}{4-x} < 0 \implies (5-2x) \left(1 - \frac{1}{4-x}\right) < 0 \implies (5-2x)\frac{3-x}{4-x} < 0$.
В интервале $[1, 2)$ все множители ($5-2x, 3-x, 4-x$) положительны. Левая часть неравенства положительна. Решений нет.

3. При $2 \le x < 3$ (с учетом ОДЗ $x \neq 2.5$):
$|x-4| = 4-x, |x-1| = x-1, |x-3| = 3-x, |x-2| = x-2$.
$\frac{(4-x) - (x-1)}{(3-x) - (x-2)} < \frac{(3-x) + (x-2)}{4-x}$
$\frac{5-2x}{5-2x} < \frac{1}{4-x}$
$1 < \frac{1}{4-x}$.
Так как в данном интервале $4-x > 0$, можно умножить на $4-x$:
$4-x < 1 \implies x > 3$.
Пересечение $2 \le x < 3$ и $x > 3$ пусто. Решений нет.

4. При $3 \le x < 4$:
$|x-4| = 4-x, |x-1| = x-1, |x-3| = x-3, |x-2| = x-2$.
$\frac{(4-x) - (x-1)}{(x-3) - (x-2)} < \frac{(x-3) + (x-2)}{4-x}$
$\frac{5-2x}{-1} < \frac{2x-5}{4-x} \implies 2x-5 < \frac{2x-5}{4-x}$.
В интервале $[3, 4)$ выражение $2x-5 > 0$, поэтому можно разделить на него:
$1 < \frac{1}{4-x}$.
Так как $4-x > 0$, то $4-x < 1 \implies x > 3$.
Пересечение $[3, 4)$ и $x > 3$ дает интервал $(3, 4)$.

5. При $x > 4$:
$|x-4| = x-4, |x-1| = x-1, |x-3| = x-3, |x-2| = x-2$.
$\frac{(x-4) - (x-1)}{(x-3) - (x-2)} < \frac{(x-3) + (x-2)}{x-4}$
$\frac{-3}{-1} < \frac{2x-5}{x-4} \implies 3 < \frac{2x-5}{x-4}$
$0 < \frac{2x-5}{x-4} - 3 \implies 0 < \frac{2x-5-3(x-4)}{x-4} \implies 0 < \frac{7-x}{x-4}$.
Методом интервалов для дроби $\frac{7-x}{x-4} > 0$ получаем $4 < x < 7$.
Пересечение $x > 4$ и $4 < x < 7$ дает интервал $(4, 7)$.

Объединяя все найденные решения, получаем $(3, 4) \cup (4, 7)$.
Ответ: $x \in (3, 4) \cup (4, 7)$.

б) $\frac{|x-5| - |x+4|}{|x-2| - |x+1|} < \frac{|x-2| + |x+1|}{|x+4|}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
$|x-2| - |x+1| \neq 0 \implies |x-2| \neq |x+1| \implies (x-2)^2 \neq (x+1)^2 \implies x^2-4x+4 \neq x^2+2x+1 \implies 6x \neq 3 \implies x \neq 0.5$.
$|x+4| \neq 0 \implies x \neq -4$.
ОДЗ: $x \in \mathbb{R} \setminus \{-4, 0.5\}$.

Используем метод интервалов. Корни подмодульных выражений: -4, -1, 2, 5.

1. При $x < -4$:
$|x-5| = -(x-5), |x+4| = -(x+4), |x-2| = -(x-2), |x+1| = -(x+1)$.
$\frac{(5-x) - (-x-4)}{(2-x) - (-x-1)} < \frac{(2-x) + (-x-1)}{-x-4}$
$\frac{9}{3} < \frac{1-2x}{-x-4} \implies 3 < \frac{2x-1}{x+4}$
$0 < \frac{2x-1}{x+4} - 3 \implies 0 < \frac{2x-1-3(x+4)}{x+4} \implies 0 < \frac{-x-13}{x+4} \implies \frac{x+13}{x+4} < 0$.
Методом интервалов получаем $-13 < x < -4$.
Решение в этом интервале: $(-13, -4)$.

2. При $-4 < x < -1$:
$|x-5| = 5-x, |x+4| = x+4, |x-2| = 2-x, |x+1| = -(x+1)$.
$\frac{(5-x) - (x+4)}{(2-x) - (-x-1)} < \frac{(2-x) + (-x-1)}{x+4}$
$\frac{1-2x}{3} < \frac{1-2x}{x+4}$
$(1-2x)\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{x+4}\right) < 0 \implies (1-2x)\frac{x+1}{3(x+4)} < 0$.
В интервале $(-4, -1)$: $1-2x > 0$, $x+1 < 0$, $x+4 > 0$.
Левая часть $(+)\frac{(-)}{+}<0$, что является верным неравенством.
Решением является весь интервал $(-4, -1)$.

3. При $-1 \le x < 2$ (с учетом ОДЗ $x \neq 0.5$):
$|x-5| = 5-x, |x+4| = x+4, |x-2| = 2-x, |x+1| = x+1$.
$\frac{(5-x) - (x+4)}{(2-x) - (x+1)} < \frac{(2-x) + (x+1)}{x+4}$
$\frac{1-2x}{1-2x} < \frac{3}{x+4}$
$1 < \frac{3}{x+4}$.
В данном интервале $x+4 > 0$, поэтому $x+4 < 3 \implies x < -1$.
Пересечение $-1 \le x < 2$ и $x < -1$ пусто. Решений нет.

4. При $2 \le x < 5$:
$|x-5| = 5-x, |x+4| = x+4, |x-2| = x-2, |x+1| = x+1$.
$\frac{(5-x) - (x+4)}{(x-2) - (x+1)} < \frac{(x-2) + (x+1)}{x+4}$
$\frac{1-2x}{-3} < \frac{2x-1}{x+4} \implies \frac{2x-1}{3} < \frac{2x-1}{x+4}$.
В интервале $[2, 5)$ $2x-1 > 0$, делим на него:
$\frac{1}{3} < \frac{1}{x+4}$. Так как $x+4 > 0$, то $x+4 < 3 \implies x < -1$.
Пересечение с $[2, 5)$ пусто. Решений нет.

5. При $x \ge 5$:
$|x-5| = x-5, |x+4| = x+4, |x-2| = x-2, |x+1| = x+1$.
$\frac{(x-5) - (x+4)}{(x-2) - (x+1)} < \frac{(x-2) + (x+1)}{x+4}$
$\frac{-9}{-3} < \frac{2x-1}{x+4} \implies 3 < \frac{2x-1}{x+4}$
$0 < \frac{2x-1-3(x+4)}{x+4} \implies 0 < \frac{-x-13}{x+4} \implies \frac{x+13}{x+4} < 0$.
Решение этого неравенства $-13 < x < -4$.
Пересечение с $x \ge 5$ пусто. Решений нет.

Объединяя все найденные решения, получаем $(-13, -4) \cup (-4, -1)$.
Ответ: $x \in (-13, -4) \cup (-4, -1)$.