Номер 95, страница 373 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

95 a) $\frac{x}{x-1} \le \frac{x-2}{x}$;

б) $\frac{2x}{x^2-4} \le \frac{1}{x+1}$;

в) $\frac{4}{(x-1)^2} \ge 1$.

Для решения этих дробно-рациональных неравенств мы будем использовать метод интервалов. Основные шаги: перенести всё в левую часть, привести к общему знаменателю, найти нули числителя и знаменателя, и отметить их на числовой прямой.

а) $\frac{x}{x-1} \le \frac{x-2}{x}$

1. Перенесем правую часть влево: $\frac{x}{x-1} - \frac{x-2}{x} \le 0$.
2. Приведем к общему знаменателю $x(x-1)$: $$\frac{x^2 - (x-2)(x-1)}{x(x-1)} \le 0 \Rightarrow \frac{x^2 - (x^2 - 3x + 2)}{x(x-1)} \le 0$$ $$\frac{3x - 2}{x(x-1)} \le 0$$
3. Нули числителя: $x = \frac{2}{3}$. Нули знаменателя: $x = 0, x = 1$ (точки выколоты).
4. Расставим знаки на интервалах: $(- \infty; 0)$ [—], $(0; \frac{2}{3}]$ [+], $[\frac{2}{3}; 1)$ [—], $(1; + \infty)$ [+].

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup [\frac{2}{3}; 1)$

б) $\frac{2x}{x^2-4} \le \frac{1}{x+1}$

1. Перенесем и приведем к знаменателю $(x-2)(x+2)(x+1)$: $$\frac{2x(x+1) - (x^2-4)}{(x-2)(x+2)(x+1)} \le 0 \Rightarrow \frac{2x^2 + 2x - x^2 + 4}{(x-2)(x+2)(x+1)} \le 0$$ $$\frac{x^2 + 2x + 4}{(x-2)(x+2)(x+1)} \le 0$$
2. Числитель $x^2 + 2x + 4$ всегда положителен (Дискриминант $D = 4 - 16 = -12 < 0$), корней нет. Знак всей дроби зависит только от знаменателя.
3. Точки знаменателя: $x = 2, x = -2, x = -1$.
4. Знаки: $(-\infty; -2)$ [—], $(-2; -1)$ [+], $(-1; 2)$ [—], $(2; +\infty)$ [+].

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (-1; 2)$

в) $\frac{4}{(x-1)^2} \ge 1$

1. Перенесем 1: $\frac{4 - (x-1)^2}{(x-1)^2} \ge 0$.
2. Разложим числитель как разность квадратов $2^2 - (x-1)^2$: $$\frac{(2 - (x-1))(2 + (x-1))}{(x-1)^2} \ge 0 \Rightarrow \frac{(3-x)(1+x)}{(x-1)^2} \ge 0$$
3. Нули: $x = 3, x = -1$ (закрашены), $x = 1$ (выколота, корень четной степени — знак при переходе не меняется).
4. Знаки: $(-\infty; -1]$ [—], $[-1; 1)$ [+], $(1; 3]$ [+], $[3; +\infty)$ [—].

Ответ: $x \in [-1; 1) \cup (1; 3]$