Номер 95, страница 373 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Решение неравенств. Задания для повторения - номер 95, страница 373.

95 a) $\frac{x}{x-1} \le \frac{x-2}{x}$;

б) $\frac{2x}{x^2-4} \le \frac{1}{x+1}$;

в) $\frac{4}{(x-1)^2} \ge 1$.

a)

Перенесем все члены неравенства в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$\frac{x}{x-1} \le \frac{x-2}{x}$
$\frac{x}{x-1} - \frac{x-2}{x} \le 0$
Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ne 1$ и $x \ne 0$.
$\frac{x \cdot x - (x-2)(x-1)}{x(x-1)} \le 0$
$\frac{x^2 - (x^2 - x - 2x + 2)}{x(x-1)} \le 0$
$\frac{x^2 - x^2 + 3x - 2}{x(x-1)} \le 0$
$\frac{3x - 2}{x(x-1)} \le 0$
Решим это неравенство методом интервалов.
Найдем нули числителя: $3x - 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3}$. Эта точка будет закрашенной, так как неравенство нестрогое.
Найдем нули знаменателя: $x = 0$ и $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$. Эти точки будут выколотыми, так как на ноль делить нельзя.
Нанесем точки на числовую ось и определим знаки выражения в каждом интервале:

- При $x > 1$ (например, $x=2$): $\frac{3(2)-2}{2(2-1)} = \frac{4}{2} > 0$. Знак `+`.
- При $\frac{2}{3} < x < 1$ (например, $x=0.7$): $\frac{3(0.7)-2}{0.7(0.7-1)} = \frac{0.1}{-0.21} < 0$. Знак `-`.
- При $0 < x < \frac{2}{3}$ (например, $x=0.5$): $\frac{3(0.5)-2}{0.5(0.5-1)} = \frac{-0.5}{-0.25} > 0$. Знак `+`.
- При $x < 0$ (например, $x=-1$): $\frac{3(-1)-2}{-1(-1-1)} = \frac{-5}{2} < 0$. Знак `-`.
Нам нужны интервалы, где выражение меньше или равно нулю ($\le 0$). Это интервалы со знаком `-` и точка, где числитель равен нулю.
Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup [\frac{2}{3}, 1)$.

б)

Перенесем все члены неравенства в левую часть:
$\frac{2x}{x^2-4} \le \frac{1}{x+1}$
$\frac{2x}{(x-2)(x+2)} - \frac{1}{x+1} \le 0$
ОДЗ: $x \ne 2$, $x \ne -2$, $x \ne -1$.
Приведем к общему знаменателю $(x-2)(x+2)(x+1)$:
$\frac{2x(x+1) - 1(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+2)(x+1)} \le 0$
$\frac{2x^2 + 2x - (x^2 - 4)}{(x-2)(x+2)(x+1)} \le 0$
$\frac{2x^2 + 2x - x^2 + 4}{(x-2)(x+2)(x+1)} \le 0$
$\frac{x^2 + 2x + 4}{(x-2)(x+2)(x+1)} \le 0$
Рассмотрим числитель $x^2 + 2x + 4$. Найдем его дискриминант: $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12$.
Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1>0$), то выражение $x^2 + 2x + 4$ всегда положительно при любом $x$.
Поскольку числитель всегда положителен, знак дроби зависит только от знака знаменателя. Таким образом, неравенство равносильно следующему (учитывая ОДЗ, знаменатель не может быть равен нулю):
$(x-2)(x+2)(x+1) < 0$
Решим методом интервалов. Нули выражения: $x=2$, $x=-2$, $x=-1$. Все точки выколотые.
Нанесем точки на числовую ось и определим знаки выражения в каждом интервале:

- При $x > 2$ (например, $x=3$): $(+)(+)(+) > 0$. Знак `+`.
- При $-1 < x < 2$ (например, $x=0$): $(-)(+)(+) < 0$. Знак `-`.
- При $-2 < x < -1$ (например, $x=-1.5$): $(-)(+)(-) > 0$. Знак `+`.
- При $x < -2$ (например, $x=-3$): $(-)(-)(-) < 0$. Знак `-`.
Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля ($< 0$).
Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (-1, 2)$.

в)

Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$\frac{4}{(x-1)^2} \ge 1$
ОДЗ: $(x-1)^2 \ne 0 \Rightarrow x \ne 1$.
$\frac{4}{(x-1)^2} - 1 \ge 0$
$\frac{4 - (x-1)^2}{(x-1)^2} \ge 0$
Разложим числитель по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$\frac{(2 - (x-1))(2 + (x-1))}{(x-1)^2} \ge 0$
$\frac{(2 - x + 1)(2 + x - 1)}{(x-1)^2} \ge 0$
$\frac{(3 - x)(x + 1)}{(x-1)^2} \ge 0$
Знаменатель $(x-1)^2$ всегда положителен при $x \ne 1$. Таким образом, знак дроби зависит от знака числителя, и мы должны исключить точку $x=1$.
Неравенство равносильно системе:
$\begin{cases} (3 - x)(x + 1) \ge 0 \\ x \ne 1 \end{cases}$
Решим неравенство $(3-x)(x+1) \ge 0$ методом интервалов. Нули: $x=3$ и $x=-1$.
Это парабола $y = -x^2 + 2x + 3$, ветви которой направлены вниз. Значения будут неотрицательными между корнями (включая сами корни).
Следовательно, решение для $(3-x)(x+1) \ge 0$ есть отрезок $[-1, 3]$.
Теперь учтем условие $x \ne 1$. "Выкалываем" эту точку из отрезка $[-1, 3]$.
Получаем объединение двух интервалов.
Ответ: $x \in [-1, 1) \cup (1, 3]$.