Страница 373 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

91 a) $\frac{1}{x - 1996} \leq \frac{x}{x - 1996};$

б) $\frac{2x - 7}{x - 3} > \frac{9}{5 - x};$

в) $\frac{7}{(x - 2)(x - 3)} + \frac{9}{x - 3} + 1 \leq 0.$

а) $\frac{1}{x-1996} \le \frac{x}{x-1996}$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $x - 1996 \neq 0 \implies x \neq 1996$.

Перенесем все члены неравенства в одну сторону: $\frac{x}{x-1996} - \frac{1}{x-1996} \ge 0$

Приведем дроби к общему знаменателю: $\frac{x - 1}{x - 1996} \ge 0$

Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя: $x - 1 = 0 \implies x = 1$ $x - 1996 = 0 \implies x = 1996$

Отметим эти точки на числовой оси. Точка $x=1$ будет закрашенной (включена в решение), так как неравенство нестрогое. Точка $x=1996$ будет выколотой (не включена в решение), так как это корень знаменателя (из ОДЗ).

Определим знаки выражения $\frac{x-1}{x-1996}$ на полученных интервалах:

• При $x > 1996$ (например, $x=2000$): $\frac{2000-1}{2000-1996} = \frac{1999}{4} > 0$. Знак (+).
• При $1 < x < 1996$ (например, $x=2$): $\frac{2-1}{2-1996} = \frac{1}{-1994} < 0$. Знак (-).
• При $x < 1$ (например, $x=0$): $\frac{0-1}{0-1996} = \frac{-1}{-1996} > 0$. Знак (+).

Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю. Это $(-\infty, 1]$ и $(1996, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 1] \cup (1996, +\infty)$.

б) $\frac{2x-7}{x-3} > \frac{9}{5-x}$

ОДЗ: $x-3 \neq 0 \implies x \neq 3$ и $5-x \neq 0 \implies x \neq 5$.

Перенесем все члены в левую часть и преобразуем вторую дробь: $\frac{2x-7}{x-3} - \frac{9}{5-x} > 0$ $\frac{2x-7}{x-3} + \frac{9}{x-5} > 0$

Приведем к общему знаменателю $(x-3)(x-5)$: $\frac{(2x-7)(x-5) + 9(x-3)}{(x-3)(x-5)} > 0$

Раскроем скобки в числителе и упростим: $\frac{2x^2 - 10x - 7x + 35 + 9x - 27}{(x-3)(x-5)} > 0$ $\frac{2x^2 - 8x + 8}{(x-3)(x-5)} > 0$

Вынесем общий множитель в числителе и свернем по формуле квадрата разности: $\frac{2(x^2 - 4x + 4)}{(x-3)(x-5)} > 0$ $\frac{2(x-2)^2}{(x-3)(x-5)} > 0$

Решим неравенство методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x-2 = 0 \implies x = 2$ (корень кратности 2) $x-3 = 0 \implies x = 3$ $x-5 = 0 \implies x = 5$

Все точки на числовой оси будут выколотыми, так как неравенство строгое, а $x=3$ и $x=5$ к тому же из ОДЗ. Так как множитель $(x-2)^2$ всегда неотрицателен (и равен нулю при $x=2$), он не влияет на знак дроби при $x \neq 2$. Поэтому знак выражения $\frac{2(x-2)^2}{(x-3)(x-5)}$ совпадает со знаком выражения $\frac{1}{(x-3)(x-5)}$ при $x \neq 2$.

Определим знаки на интервалах:

• При $x > 5$: $\frac{+}{(+)(+)} = +$. Интервал подходит.
• При $3 < x < 5$: $\frac{+}{(+)(-)} = -$. Интервал не подходит.
• При $2 < x < 3$: $\frac{+}{(-)(-)} = +$. Интервал подходит.
• При $x < 2$: $\frac{+}{(-)(-)} = +$. Интервал подходит.

Объединяем полученные интервалы. Точка $x=2$ исключается, так как при $x=2$ левая часть неравенства равна нулю, а нам нужно строго больше нуля.

Ответ: $x \in (-\infty, 2) \cup (2, 3) \cup (5, +\infty)$.

в) $\frac{7}{(x-2)(x-3)} + \frac{9}{x-3} + 1 \le 0$

ОДЗ: $(x-2)(x-3) \neq 0 \implies x \neq 2$ и $x \neq 3$.

Приведем все слагаемые к общему знаменателю $(x-2)(x-3)$: $\frac{7 + 9(x-2) + 1 \cdot (x-2)(x-3)}{(x-2)(x-3)} \le 0$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые: $\frac{7 + 9x - 18 + x^2 - 3x - 2x + 6}{(x-2)(x-3)} \le 0$ $\frac{x^2 + 4x - 5}{(x-2)(x-3)} \le 0$

Разложим числитель на множители. Для этого решим уравнение $x^2 + 4x - 5 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = -5$. Тогда $x^2 + 4x - 5 = (x-1)(x+5)$.

Неравенство принимает вид: $\frac{(x+5)(x-1)}{(x-2)(x-3)} \le 0$

Решим методом интервалов. Нули числителя: $x = -5, x = 1$. Нули знаменателя: $x = 2, x = 3$. На числовой оси точки $-5$ и $1$ будут закрашенными, а точки $2$ и $3$ — выколотыми.

Определим знаки на интервалах:

• При $x > 3$: $\frac{(+)(+)}{(+)(+)} = +$.
• При $2 < x < 3$: $\frac{(+)(+)}{(+)(-)} = -$. Интервал подходит.
• При $1 < x < 2$: $\frac{(+)(+)}{(-)(-)} = +$.
• При $-5 < x < 1$: $\frac{(+)(-)}{(-)(-)} = -$. Интервал подходит.
• При $x < -5$: $\frac{(-)(-)}{(-)(-)} = +$.

Объединяем интервалы, где выражение отрицательно, и включаем нули числителя.

Ответ: $x \in [-5, 1] \cup (2, 3)$.

92 a) $\frac{2x^2 + x + 2}{x^2 - 1} < 0;$

б) $\frac{x - 2}{x^2 - 1} > \frac{2x}{x - 1};$

В) $\frac{x^2 + 5x + 6}{x^2 + x + 1} > 2;$

Г) $\frac{x^2 - 2x + 10}{x^2 - 5x + 4} < 1;$

Д) $\frac{(x - 3)(x^2 - 3x + 2)}{x^2 + 3x + 2} > 0;$

е) $\frac{(x - 2)(x^2 - 5x + 6)}{x^2 - 5x + 4} < 0.$

а)

Дано неравенство $\frac{2x^2 + x + 2}{x^2 - 1} < 0$.

Сначала проанализируем числитель $2x^2 + x + 2$. Найдем его дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 1 - 16 = -15$.

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$) и старший коэффициент $a=2$ положительный, то выражение $2x^2 + x + 2$ всегда положительно при любом действительном значении $x$.

Таким образом, знак всей дроби определяется знаком знаменателя. Неравенство сводится к $x^2 - 1 < 0$.

Разложим левую часть на множители: $(x - 1)(x + 1) < 0$.

Корнями уравнения $(x - 1)(x + 1) = 0$ являются $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$. Методом интервалов находим, что неравенство выполняется между корнями.

Ответ: $x \in (-1, 1)$.

б)

Решим неравенство $\frac{x - 2}{x^2 - 1} > \frac{2x}{x - 1}$.

Область допустимых значений (ОДЗ): $x^2 - 1 \neq 0$ и $x - 1 \neq 0$, что дает $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Перенесем все члены в левую часть:

$\frac{x - 2}{x^2 - 1} - \frac{2x}{x - 1} > 0$

Приведем дроби к общему знаменателю $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$:

$\frac{x - 2}{(x - 1)(x + 1)} - \frac{2x(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} > 0$

$\frac{x - 2 - 2x(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} > 0$

$\frac{x - 2 - 2x^2 - 2x}{(x - 1)(x + 1)} > 0$

$\frac{-2x^2 - x - 2}{(x - 1)(x + 1)} > 0$

Умножим числитель и знаменатель на -1, изменив знак неравенства:

$\frac{2x^2 + x + 2}{(x - 1)(x + 1)} < 0$

Как и в пункте а), числитель $2x^2 + x + 2$ всегда положителен. Значит, неравенство равносильно $(x - 1)(x + 1) < 0$.

Решением является интервал $x \in (-1, 1)$, что удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x \in (-1, 1)$.

в)

Рассмотрим неравенство $\frac{x^2 + 5x + 6}{x^2 + x + 1} > 2$.

Проанализируем знаменатель $x^2 + x + 1$. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3$. Так как $D < 0$ и $a=1 > 0$, знаменатель всегда положителен.

Перенесем 2 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{x^2 + 5x + 6}{x^2 + x + 1} - 2 > 0$

$\frac{x^2 + 5x + 6 - 2(x^2 + x + 1)}{x^2 + x + 1} > 0$

$\frac{x^2 + 5x + 6 - 2x^2 - 2x - 2}{x^2 + x + 1} > 0$

$\frac{-x^2 + 3x + 4}{x^2 + x + 1} > 0$

Так как знаменатель всегда положителен, неравенство сводится к $-x^2 + 3x + 4 > 0$.

Умножим на -1 и изменим знак: $x^2 - 3x - 4 < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 4$, $x_2 = -1$.

Неравенство можно записать как $(x - 4)(x + 1) < 0$. Решением является интервал между корнями.

Ответ: $x \in (-1, 4)$.

г)

Решим неравенство $\frac{x^2 - 2x + 10}{x^2 - 5x + 4} < 1$.

ОДЗ: $x^2 - 5x + 4 \neq 0$. Корни знаменателя $x_1=1, x_2=4$. Значит, $x \neq 1$ и $x \neq 4$.

Перенесем 1 в левую часть:

$\frac{x^2 - 2x + 10}{x^2 - 5x + 4} - 1 < 0$

$\frac{x^2 - 2x + 10 - (x^2 - 5x + 4)}{x^2 - 5x + 4} < 0$

$\frac{x^2 - 2x + 10 - x^2 + 5x - 4}{x^2 - 5x + 4} < 0$

$\frac{3x + 6}{x^2 - 5x + 4} < 0$

Разложим на множители: $\frac{3(x + 2)}{(x - 1)(x - 4)} < 0$.

Используем метод интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x = -2$, $x = 1$, $x = 4$.

На числовой прямой отмечаем точки -2, 1, 4 и определяем знаки на интервалах: $(-\infty, -2)$, $(-2, 1)$, $(1, 4)$, $(4, +\infty)$.

• При $x > 4$ (например, $x=5$): $\frac{3(5+2)}{(5-1)(5-4)} = \frac{+}{+\cdot+} > 0$.
• При $x \in (1, 4)$ (например, $x=2$): $\frac{3(2+2)}{(2-1)(2-4)} = \frac{+}{+\cdot-} < 0$.
• При $x \in (-2, 1)$ (например, $x=0$): $\frac{3(0+2)}{(0-1)(0-4)} = \frac{+}{-\cdot-} > 0$.
• При $x < -2$ (например, $x=-3$): $\frac{3(-3+2)}{(-3-1)(-3-4)} = \frac{-}{-\cdot-} < 0$.

Неравенство выполняется на интервалах, где выражение отрицательно.

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (1, 4)$.

д)

Решим неравенство $\frac{(x-3)(x^2-3x+2)}{x^2+3x+2} > 0$.

Разложим на множители квадратные трехчлены:

$x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$

$x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)$

Подставим в неравенство:

$\frac{(x-3)(x-1)(x-2)}{(x+1)(x+2)} > 0$

Применим метод интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x = 3, x = 1, x = 2, x = -1, x = -2$.

Расположим точки на числовой прямой: -2, -1, 1, 2, 3. Все корни имеют кратность 1, поэтому знак будет чередоваться.

При $x > 3$ (например, $x=4$), все множители положительны, значит, выражение больше нуля.

Двигаясь справа налево, знаки на интервалах будут: +, -, +, -, +, -.

Интервалы: $(3, +\infty): +$; $(2, 3): -$; $(1, 2): +$; $(-1, 1): -$; $(-2, -1): +$; $(-\infty, -2): -$.

Выбираем интервалы, где выражение больше нуля.

Ответ: $x \in (-2, -1) \cup (1, 2) \cup (3, \infty)$.

е)

Решим неравенство $\frac{(x-2)(x^2-5x+6)}{x^2-5x+4} < 0$.

Разложим на множители квадратные трехчлены:

$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$

$x^2 - 5x + 4 = (x - 1)(x - 4)$

Подставим в неравенство:

$\frac{(x-2)(x-2)(x-3)}{(x-1)(x-4)} < 0$

$\frac{(x-2)^2(x-3)}{(x-1)(x-4)} < 0$

Используем метод интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x = 2$ (кратность 2), $x = 3$, $x = 1$, $x = 4$.

Расположим точки на числовой прямой: 1, 2, 3, 4.

Множитель $(x-2)^2$ всегда неотрицателен. Он равен нулю при $x=2$ (не является решением, т.к. неравенство строгое) и положителен при $x \neq 2$.

Знак выражения определяется знаками остальных множителей. При переходе через точку $x=2$ знак выражения не меняется.

При $x > 4$ (например, $x=5$): $\frac{(+)^2(+)}{(+)(+)} > 0$.

Двигаясь справа налево, получаем знаки на интервалах:

• $(4, +\infty)$: +
• $(3, 4)$: - (знак меняется в точке 4)
• $(2, 3)$: + (знак меняется в точке 3)
• $(1, 2)$: + (знак не меняется в точке 2)
• $(-\infty, 1)$: - (знак меняется в точке 1)

Выбираем интервалы, где выражение строго меньше нуля.

Ответ: $x \in (-\infty, 1) \cup (3, 4)$.

93 a) $\frac{x^2 - 9}{(x+1)(x-3)} \ge 0$;

б) $\frac{x^2 - 25}{(x+5)(x-4)} \ge 0$.

а)

Для решения неравенства $ \frac{x^2 - 9}{(x+1)(x-3)} \ge 0 $ воспользуемся методом интервалов.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен равняться нулю:

$(x+1)(x-3) \neq 0$

Это означает, что $x \neq -1$ и $x \neq 3$.

2. Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$

3. Перепишем неравенство в новом виде:

$ \frac{(x-3)(x+3)}{(x+1)(x-3)} \ge 0 $

4. Сократим общий множитель $(x-3)$ в числителе и знаменателе, не забывая про ограничение $x \neq 3$ из ОДЗ. Неравенство принимает вид:

$ \frac{x+3}{x+1} \ge 0 $

5. Найдем нули числителя и знаменателя полученной дроби, чтобы определить точки для метода интервалов.

Нуль числителя: $x+3=0 \Rightarrow x=-3$.

Нуль знаменателя: $x+1=0 \Rightarrow x=-1$.

6. Нанесем эти точки на числовую ось. Точка $x=-3$ будет закрашенной, так как неравенство нестрогое ($\ge$). Точка $x=-1$ будет выколотой, так как она обращает знаменатель в ноль.

Определим знак выражения $ \frac{x+3}{x+1} $ на каждом из трех интервалов: $(-\infty; -3]$, $(-3; -1)$ и $(-1; +\infty)$.

• Интервал $(-\infty; -3]$: возьмем $x=-4$. $ \frac{-4+3}{-4+1} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3} > 0 $. Знак «+».
• Интервал $(-3; -1)$: возьмем $x=-2$. $ \frac{-2+3}{-2+1} = \frac{1}{-1} = -1 < 0 $. Знак «-».
• Интервал $(-1; +\infty)$: возьмем $x=0$. $ \frac{0+3}{0+1} = \frac{3}{1} = 3 > 0 $. Знак «+».

Решением неравенства $ \frac{x+3}{x+1} \ge 0 $ являются интервалы со знаком «+»: $x \in (-\infty; -3] \cup (-1; +\infty)$.

7. Теперь учтем ограничение $x \neq 3$, которое мы получили на первом шаге. Точка $x=3$ находится в промежутке $(-1; +\infty)$, поэтому мы должны исключить ее из решения.

Таким образом, окончательное решение: $x \in (-\infty; -3] \cup (-1; 3) \cup (3; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3] \cup (-1; 3) \cup (3; +\infty)$.

б)

Решим неравенство $ \frac{x^2 - 25}{(x+5)(x-4)} \ge 0 $.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ), исключив значения $x$, при которых знаменатель равен нулю:

$(x+5)(x-4) \neq 0$

Следовательно, $x \neq -5$ и $x \neq 4$.

2. Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов:

$x^2 - 25 = (x-5)(x+5)$

3. Подставим разложение в исходное неравенство:

$ \frac{(x-5)(x+5)}{(x+5)(x-4)} \ge 0 $

4. Сократим дробь на $(x+5)$, помня об ограничении $x \neq -5$ из ОДЗ. Получим более простое неравенство:

$ \frac{x-5}{x-4} \ge 0 $

5. Применим метод интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.

Нуль числителя: $x-5=0 \Rightarrow x=5$.

Нуль знаменателя: $x-4=0 \Rightarrow x=4$.

6. Отметим эти точки на числовой оси. Точка $x=5$ будет закрашенной (неравенство нестрогое), а точка $x=4$ — выколотой (нуль знаменателя).

Определим знак выражения $ \frac{x-5}{x-4} $ на интервалах $(-\infty; 4)$, $(4; 5]$ и $[5; +\infty)$.

• Интервал $(-\infty; 4)$: возьмем $x=0$. $ \frac{0-5}{0-4} = \frac{-5}{-4} = \frac{5}{4} > 0 $. Знак «+».
• Интервал $(4; 5]$: возьмем $x=4.5$. $ \frac{4.5-5}{4.5-4} = \frac{-0.5}{0.5} = -1 < 0 $. Знак «-».
• Интервал $[5; +\infty)$: возьмем $x=6$. $ \frac{6-5}{6-4} = \frac{1}{2} > 0 $. Знак «+».

Выбираем интервалы со знаком «+», так как неравенство $ \ge 0 $. Решение для упрощенного неравенства: $x \in (-\infty; 4) \cup [5; +\infty)$.

7. Теперь вспомним про ограничение $x \neq -5$. Точка $x=-5$ находится в промежутке $(-\infty; 4)$, поэтому ее нужно исключить.

Окончательное решение: $x \in (-\infty; -5) \cup (-5; 4) \cup [5; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (-5; 4) \cup [5; +\infty)$.

94 а) $\frac{4x^2 + 8x - 5}{x + 1} < 0;$

б) $\frac{1}{1 - x} > \frac{3}{x + 3};$

в) $\frac{3x}{x^2 + 3x} \geq 1;$

г) $\frac{x - 4}{4x^2 - 4x - 3} < 0;$

д) $\frac{2x^2 + x - 15}{x + 2} > 0;$

е) $x - 1 \geq \frac{x^2 - 5x - 1}{x - 1}.$

а)

Решим неравенство $\frac{4x^2 + 8x - 5}{x + 1} < 0$ методом интервалов.

1. Найдем нули числителя, решив квадратное уравнение $4x^2 + 8x - 5 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 64 + 80 = 144 = 12^2$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-8 - 12}{2 \cdot 4} = \frac{-20}{8} = -\frac{5}{2} = -2.5$
$x_2 = \frac{-8 + 12}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} = 0.5$

2. Найдем нуль знаменателя: $x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$.

3. Отметим на числовой оси точки $-2.5$, $-1$ и $0.5$. Так как неравенство строгое ($<$), все точки будут выколотыми (не включены в решение).

4. Определим знаки выражения $\frac{4x^2 + 8x - 5}{x + 1}$ на интервалах $(-\infty; -2.5)$, $(-2.5; -1)$, $(-1; 0.5)$ и $(0.5; +\infty)$.
- При $x > 0.5$ (например $x=1$): $\frac{4(1)^2+8(1)-5}{1+1} = \frac{7}{2} > 0$.
- При $-1 < x < 0.5$ (например $x=0$): $\frac{-5}{1} < 0$.
- При $-2.5 < x < -1$ (например $x=-2$): $\frac{4(-2)^2+8(-2)-5}{-2+1} = \frac{16-16-5}{-1} = 5 > 0$.
- При $x < -2.5$ (например $x=-3$): $\frac{4(-3)^2+8(-3)-5}{-3+1} = \frac{36-24-5}{-2} = \frac{7}{-2} < 0$.
Знаки на интервалах чередуются: (–), (+), (–), (+).

5. Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля. Это $(-\infty; -2.5)$ и $(-1; 0.5)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2.5) \cup (-1; 0.5)$.

б)

Решим неравенство $\frac{1}{1 - x} > \frac{3}{x + 3}$.

1. Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$\frac{1}{1 - x} - \frac{3}{x + 3} > 0$
$\frac{1(x + 3) - 3(1 - x)}{(1 - x)(x + 3)} > 0$
$\frac{x + 3 - 3 + 3x}{(1 - x)(x + 3)} > 0$
$\frac{4x}{(1 - x)(x + 3)} > 0$

2. Для удобства умножим неравенство на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный. Это сделает коэффициент при $x$ в знаменателе положительным:
$\frac{4x}{-(x - 1)(x + 3)} > 0 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{4x}{(x - 1)(x + 3)} < 0$

3. Найдем нули числителя: $4x = 0 \Rightarrow x = 0$.
Найдем нули знаменателя: $(x - 1)(x + 3) = 0 \Rightarrow x = 1, x = -3$.

4. Отметим на числовой оси выколотые точки $-3$, $0$, $1$ и определим знаки на интервалах.
- При $x > 1$ (например $x=2$): $\frac{4(2)}{(2-1)(2+3)} > 0$.
- При $0 < x < 1$ (например $x=0.5$): $\frac{4(0.5)}{(0.5-1)(0.5+3)} < 0$.
- При $-3 < x < 0$ (например $x=-1$): $\frac{4(-1)}{(-1-1)(-1+3)} > 0$.
- При $x < -3$ (например $x=-4$): $\frac{4(-4)}{(-4-1)(-4+3)} < 0$.
Знаки на интервалах: (–), (+), (–), (+).

5. Нам нужны интервалы, где выражение $\frac{4x}{(x - 1)(x + 3)}$ меньше нуля. Это $(-\infty; -3)$ и $(0; 1)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (0; 1)$.

в)

Решим неравенство $\frac{3x}{x^2 + 3x} \ge 1$.

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не равен нулю.
$x^2 + 3x \ne 0 \Rightarrow x(x + 3) \ne 0 \Rightarrow x \ne 0$ и $x \ne -3$.

2. Учитывая ОДЗ ($x \ne 0$), можно сократить дробь:
$\frac{3x}{x(x + 3)} \ge 1 \quad \Rightarrow \quad \frac{3}{x + 3} \ge 1$.

3. Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$\frac{3}{x + 3} - 1 \ge 0$
$\frac{3 - (x + 3)}{x + 3} \ge 0$
$\frac{-x}{x + 3} \ge 0$.

4. Умножим на $-1$ и сменим знак неравенства: $\frac{x}{x + 3} \le 0$.

5. Нуль числителя: $x = 0$. Нуль знаменателя: $x = -3$.
Точка $x = -3$ выколотая. Точка $x=0$ также выколотая, так как $x \ne 0$ по ОДЗ.

6. Определим знаки выражения $\frac{x}{x + 3}$ на интервалах $(-\infty; -3)$, $(-3; 0)$, $(0; +\infty)$.
Знаки: (+), (–), (+).
Нам нужен интервал, где выражение меньше или равно нулю. Это $(-3; 0)$.

Ответ: $x \in (-3; 0)$.

г)

Решим неравенство $\frac{x - 4}{4x^2 - 4x - 3} < 0$ методом интервалов.

1. Найдем нуль числителя: $x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$.

2. Найдем нули знаменателя, решив уравнение $4x^2 - 4x - 3 = 0$.
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64 = 8^2$.
$x_1 = \frac{4 - 8}{8} = -\frac{4}{8} = -\frac{1}{2}$.
$x_2 = \frac{4 + 8}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$.

3. Отметим на числовой оси выколотые точки $-\frac{1}{2}$, $\frac{3}{2}$ и $4$.

4. Определим знаки на интервалах. Выражение можно записать как $\frac{x - 4}{4(x + 1/2)(x - 3/2)}$.
- При $x > 4$ (например $x=5$): $\frac{+}{+ \cdot + \cdot +} > 0$.
- При $3/2 < x < 4$ (например $x=2$): $\frac{-}{+ \cdot + \cdot +} < 0$.
- При $-1/2 < x < 3/2$ (например $x=0$): $\frac{-}{+ \cdot + \cdot -} > 0$.
- При $x < -1/2$ (например $x=-1$): $\frac{-}{+ \cdot - \cdot -} < 0$.
Знаки: (–), (+), (–), (+).

5. Выбираем интервалы, где выражение меньше нуля. Это $(-\infty; -1/2)$ и $(3/2; 4)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1/2) \cup (3/2; 4)$.

д)

Решим неравенство $\frac{2x^2 + x - 15}{x + 2} > 0$ методом интервалов.

1. Найдем нули числителя: $2x^2 + x - 15 = 0$.
$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 1 + 120 = 121 = 11^2$.
$x_1 = \frac{-1 - 11}{4} = \frac{-12}{4} = -3$.
$x_2 = \frac{-1 + 11}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2.5$.

2. Найдем нуль знаменателя: $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$.

3. Отметим на числовой оси выколотые точки $-3$, $-2$ и $2.5$.

4. Определим знаки на интервалах. Выражение можно записать как $\frac{2(x+3)(x-2.5)}{x+2}$.
- При $x > 2.5$ (например $x=3$): $\frac{+ \cdot +}{+} > 0$.
- При $-2 < x < 2.5$ (например $x=0$): $\frac{+ \cdot -}{+} < 0$.
- При $-3 < x < -2$ (например $x=-2.5$): $\frac{+ \cdot -}{-} > 0$.
- При $x < -3$ (например $x=-4$): $\frac{- \cdot -}{-} < 0$.
Знаки: (–), (+), (–), (+).

5. Выбираем интервалы, где выражение больше нуля. Это $(-3; -2)$ и $(2.5; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-3; -2) \cup (2.5; +\infty)$.

е)

Решим неравенство $x - 1 \ge \frac{x^2 - 5x - 1}{x - 1}$.

1. ОДЗ: $x - 1 \ne 0 \Rightarrow x \ne 1$.

2. Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$x - 1 - \frac{x^2 - 5x - 1}{x - 1} \ge 0$
$\frac{(x - 1)^2 - (x^2 - 5x - 1)}{x - 1} \ge 0$
$\frac{(x^2 - 2x + 1) - x^2 + 5x + 1}{x - 1} \ge 0$
$\frac{3x + 2}{x - 1} \ge 0$

3. Найдем нуль числителя: $3x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2/3$.
Найдем нуль знаменателя: $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$.

4. Отметим точки на числовой оси. $x = -2/3$ будет закрашенной (неравенство нестрогое), а $x=1$ — выколотой (знаменатель и ОДЗ).

5. Определим знаки выражения $\frac{3x + 2}{x - 1}$ на интервалах.
- При $x > 1$ (например $x=2$): $\frac{+}{+} > 0$.
- При $-2/3 < x < 1$ (например $x=0$): $\frac{+}{-} < 0$.
- При $x < -2/3$ (например $x=-1$): $\frac{-}{-} > 0$.
Знаки: (+), (–), (+).

6. Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю. Это $(-\infty; -2/3]$ и $(1; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2/3] \cup (1; +\infty)$.

95 a) $\frac{x}{x-1} \le \frac{x-2}{x}$;

б) $\frac{2x}{x^2-4} \le \frac{1}{x+1}$;

в) $\frac{4}{(x-1)^2} \ge 1$.

a)

Перенесем все члены неравенства в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$\frac{x}{x-1} \le \frac{x-2}{x}$
$\frac{x}{x-1} - \frac{x-2}{x} \le 0$
Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ne 1$ и $x \ne 0$.
$\frac{x \cdot x - (x-2)(x-1)}{x(x-1)} \le 0$
$\frac{x^2 - (x^2 - x - 2x + 2)}{x(x-1)} \le 0$
$\frac{x^2 - x^2 + 3x - 2}{x(x-1)} \le 0$
$\frac{3x - 2}{x(x-1)} \le 0$
Решим это неравенство методом интервалов.
Найдем нули числителя: $3x - 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3}$. Эта точка будет закрашенной, так как неравенство нестрогое.
Найдем нули знаменателя: $x = 0$ и $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$. Эти точки будут выколотыми, так как на ноль делить нельзя.
Нанесем точки на числовую ось и определим знаки выражения в каждом интервале:

- При $x > 1$ (например, $x=2$): $\frac{3(2)-2}{2(2-1)} = \frac{4}{2} > 0$. Знак `+`.
- При $\frac{2}{3} < x < 1$ (например, $x=0.7$): $\frac{3(0.7)-2}{0.7(0.7-1)} = \frac{0.1}{-0.21} < 0$. Знак `-`.
- При $0 < x < \frac{2}{3}$ (например, $x=0.5$): $\frac{3(0.5)-2}{0.5(0.5-1)} = \frac{-0.5}{-0.25} > 0$. Знак `+`.
- При $x < 0$ (например, $x=-1$): $\frac{3(-1)-2}{-1(-1-1)} = \frac{-5}{2} < 0$. Знак `-`.
Нам нужны интервалы, где выражение меньше или равно нулю ($\le 0$). Это интервалы со знаком `-` и точка, где числитель равен нулю.
Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup [\frac{2}{3}, 1)$.

б)

Перенесем все члены неравенства в левую часть:
$\frac{2x}{x^2-4} \le \frac{1}{x+1}$
$\frac{2x}{(x-2)(x+2)} - \frac{1}{x+1} \le 0$
ОДЗ: $x \ne 2$, $x \ne -2$, $x \ne -1$.
Приведем к общему знаменателю $(x-2)(x+2)(x+1)$:
$\frac{2x(x+1) - 1(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+2)(x+1)} \le 0$
$\frac{2x^2 + 2x - (x^2 - 4)}{(x-2)(x+2)(x+1)} \le 0$
$\frac{2x^2 + 2x - x^2 + 4}{(x-2)(x+2)(x+1)} \le 0$
$\frac{x^2 + 2x + 4}{(x-2)(x+2)(x+1)} \le 0$
Рассмотрим числитель $x^2 + 2x + 4$. Найдем его дискриминант: $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12$.
Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1>0$), то выражение $x^2 + 2x + 4$ всегда положительно при любом $x$.
Поскольку числитель всегда положителен, знак дроби зависит только от знака знаменателя. Таким образом, неравенство равносильно следующему (учитывая ОДЗ, знаменатель не может быть равен нулю):
$(x-2)(x+2)(x+1) < 0$
Решим методом интервалов. Нули выражения: $x=2$, $x=-2$, $x=-1$. Все точки выколотые.
Нанесем точки на числовую ось и определим знаки выражения в каждом интервале:

- При $x > 2$ (например, $x=3$): $(+)(+)(+) > 0$. Знак `+`.
- При $-1 < x < 2$ (например, $x=0$): $(-)(+)(+) < 0$. Знак `-`.
- При $-2 < x < -1$ (например, $x=-1.5$): $(-)(+)(-) > 0$. Знак `+`.
- При $x < -2$ (например, $x=-3$): $(-)(-)(-) < 0$. Знак `-`.
Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля ($< 0$).
Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (-1, 2)$.

в)

Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$\frac{4}{(x-1)^2} \ge 1$
ОДЗ: $(x-1)^2 \ne 0 \Rightarrow x \ne 1$.
$\frac{4}{(x-1)^2} - 1 \ge 0$
$\frac{4 - (x-1)^2}{(x-1)^2} \ge 0$
Разложим числитель по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$\frac{(2 - (x-1))(2 + (x-1))}{(x-1)^2} \ge 0$
$\frac{(2 - x + 1)(2 + x - 1)}{(x-1)^2} \ge 0$
$\frac{(3 - x)(x + 1)}{(x-1)^2} \ge 0$
Знаменатель $(x-1)^2$ всегда положителен при $x \ne 1$. Таким образом, знак дроби зависит от знака числителя, и мы должны исключить точку $x=1$.
Неравенство равносильно системе:
$\begin{cases} (3 - x)(x + 1) \ge 0 \\ x \ne 1 \end{cases}$
Решим неравенство $(3-x)(x+1) \ge 0$ методом интервалов. Нули: $x=3$ и $x=-1$.
Это парабола $y = -x^2 + 2x + 3$, ветви которой направлены вниз. Значения будут неотрицательными между корнями (включая сами корни).
Следовательно, решение для $(3-x)(x+1) \ge 0$ есть отрезок $[-1, 3]$.
Теперь учтем условие $x \ne 1$. "Выкалываем" эту точку из отрезка $[-1, 3]$.
Получаем объединение двух интервалов.
Ответ: $x \in [-1, 1) \cup (1, 3]$.

96 a) $\frac{1}{1+\frac{1}{x}} \leq 2$;

б) $\frac{1}{1-\frac{1}{x}} \leq 2$;

в) $\frac{x^2+1}{x} < \frac{1}{x}-1$.

а)

Исходное неравенство:

$\frac{1}{1 + \frac{1}{x}} \le 2$

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны равняться нулю:

$x \ne 0$ и $1 + \frac{1}{x} \ne 0$.

Решим второе условие: $1 + \frac{1}{x} = \frac{x+1}{x} \ne 0$, что означает $x \ne -1$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, 0) \cup (0, \infty)$.

2. Упростим левую часть неравенства:

$\frac{1}{1 + \frac{1}{x}} = \frac{1}{\frac{x+1}{x}} = \frac{x}{x+1}$

3. Неравенство принимает вид:

$\frac{x}{x+1} \le 2$

4. Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{x}{x+1} - 2 \le 0$

$\frac{x - 2(x+1)}{x+1} \le 0$

$\frac{x - 2x - 2}{x+1} \le 0$

$\frac{-x - 2}{x+1} \le 0$

5. Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$\frac{x+2}{x+1} \ge 0$

6. Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $x+2=0 \implies x=-2$ (точка включается).

Нуль знаменателя: $x+1=0 \implies x=-1$ (точка исключается).

Нанесем точки на числовую прямую и определим знаки выражения $\frac{x+2}{x+1}$ на интервалах. Нам нужны интервалы, где выражение не отрицательно ($\ge 0$).

Интервалы $(-\infty, -2]$ и $(-1, \infty)$ удовлетворяют этому условию.

Решение неравенства: $x \in (-\infty, -2] \cup (-1, \infty)$.

7. Учтем ОДЗ ($x \ne 0$ и $x \ne -1$). Точка $x=-1$ уже исключена. Точка $x=0$ находится в интервале $(-1, \infty)$, поэтому ее нужно исключить, разбив интервал на два.

Итоговое решение: $x \in (-\infty, -2] \cup (-1, 0) \cup (0, \infty)$.

Ответ: $(-\infty, -2] \cup (-1, 0) \cup (0, \infty)$.

б)

Исходное неравенство:

$\frac{1}{1 - \frac{1}{x}} \le 2$

1. Определим ОДЗ. Знаменатели не должны равняться нулю:

$x \ne 0$ и $1 - \frac{1}{x} \ne 0$.

Решим второе условие: $1 - \frac{1}{x} = \frac{x-1}{x} \ne 0$, что означает $x \ne 1$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$.

2. Упростим левую часть неравенства:

$\frac{1}{1 - \frac{1}{x}} = \frac{1}{\frac{x-1}{x}} = \frac{x}{x-1}$

3. Неравенство принимает вид:

$\frac{x}{x-1} \le 2$

4. Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{x}{x-1} - 2 \le 0$

$\frac{x - 2(x-1)}{x-1} \le 0$

$\frac{x - 2x + 2}{x-1} \le 0$

$\frac{-x + 2}{x-1} \le 0$

5. Умножим на -1 и изменим знак неравенства:

$\frac{x - 2}{x-1} \ge 0$

6. Решим методом интервалов. Нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $x-2=0 \implies x=2$ (точка включается).

Нуль знаменателя: $x-1=0 \implies x=1$ (точка исключается).

Определив знаки на интервалах, находим, что выражение $\frac{x-2}{x-1}$ не отрицательно при $x \in (-\infty, 1) \cup [2, \infty)$.

7. Учтем ОДЗ ($x \ne 0$ и $x \ne 1$). Точка $x=1$ уже исключена. Точка $x=0$ находится в интервале $(-\infty, 1)$, поэтому ее нужно исключить.

Итоговое решение: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, 1) \cup [2, \infty)$.

Ответ: $(-\infty, 0) \cup (0, 1) \cup [2, \infty)$.

в)

Исходное неравенство:

$\frac{x^2 + 1}{x} < \frac{1}{x} - 1$

1. Определим ОДЗ. Знаменатель не должен равняться нулю: $x \ne 0$.

2. Перенесем все члены в левую часть:

$\frac{x^2 + 1}{x} - \frac{1}{x} + 1 < 0$

3. Приведем к общему знаменателю:

$\frac{x^2 + 1 - 1 + x}{x} < 0$

$\frac{x^2 + x}{x} < 0$

4. Вынесем общий множитель в числителе:

$\frac{x(x+1)}{x} < 0$

5. Так как по ОДЗ $x \ne 0$, мы можем сократить дробь на $x$:

$x + 1 < 0$

6. Решим полученное линейное неравенство:

$x < -1$

7. Данное решение $x \in (-\infty, -1)$ полностью удовлетворяет ОДЗ ($x \ne 0$), так как промежуток не содержит точку 0.

Ответ: $(-\infty, -1)$.

97 а) $ \frac{5}{2 - x} > 1 + \frac{3}{x + 2}; $

б) $ \frac{5}{x + 4} < 1 + \frac{1}{4 - x}; $

в) $ \frac{2}{3 - x} > 1 - \frac{1}{x + 3}; $

г) $ \frac{7}{x + 5} < 1 + \frac{2}{5 - x}. $

а) Решим неравенство $\frac{5}{2-x} > 1 + \frac{3}{x+2}$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями $2-x \neq 0$ и $x+2 \neq 0$, откуда $x \neq 2$ и $x \neq -2$.
Перенесем все слагаемые в левую часть неравенства и приведем к общему знаменателю:
$\frac{5}{2-x} - 1 - \frac{3}{x+2} > 0$
$\frac{5(x+2) - 1(2-x)(x+2) - 3(2-x)}{(2-x)(x+2)} > 0$
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$\frac{5x+10 - (4-x^2) - 6+3x}{(2-x)(x+2)} > 0$
$\frac{5x+10 - 4+x^2 - 6+3x}{(2-x)(x+2)} > 0$
$\frac{x^2+8x}{(2-x)(x+2)} > 0$
Представим знаменатель в виде $-(x-2)(x+2)$ и умножим обе части неравенства на -1, изменив знак на противоположный:
$\frac{x(x+8)}{-(x-2)(x+2)} > 0 \implies \frac{x(x+8)}{(x-2)(x+2)} < 0$
Решим полученное неравенство методом интервалов. Нули числителя: $x=0$, $x=-8$. Нули знаменателя: $x=2$, $x=-2$.
Отметим эти точки на числовой оси и определим знак выражения в каждом из полученных интервалов. Нас интересуют интервалы со знаком "минус".
Решением являются интервалы $(-8, -2)$ и $(0, 2)$.
Ответ: $x \in (-8, -2) \cup (0, 2)$.

б) Решим неравенство $\frac{5}{x+4} < 1 + \frac{1}{4-x}$.
ОДЗ: $x+4 \neq 0$ и $4-x \neq 0$, следовательно, $x \neq -4$ и $x \neq 4$.
Перенесем все слагаемые в левую часть:
$\frac{5}{x+4} - 1 - \frac{1}{4-x} < 0$
Приведем к общему знаменателю $(x+4)(4-x)$:
$\frac{5(4-x) - 1(x+4)(4-x) - 1(x+4)}{(x+4)(4-x)} < 0$
Упростим числитель:
$\frac{20-5x - (16-x^2) - x-4}{(x+4)(4-x)} < 0$
$\frac{20-5x-16+x^2-x-4}{(x+4)(4-x)} < 0$
$\frac{x^2-6x}{(x+4)(4-x)} < 0$
Вынесем $x$ в числителе и минус в знаменателе:
$\frac{x(x-6)}{-(x-4)(x+4)} < 0$
Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства:
$\frac{x(x-6)}{(x-4)(x+4)} > 0$
Решим методом интервалов. Нули числителя: $x=0$, $x=6$. Нули знаменателя: $x=4$, $x=-4$.
На числовой оси отмечаем точки -4, 0, 4, 6. Нас интересуют интервалы со знаком "плюс".
Решением являются интервалы $(-\infty, -4)$, $(0, 4)$ и $(6, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup (0, 4) \cup (6, +\infty)$.

в) Решим неравенство $\frac{2}{3-x} > 1 - \frac{1}{x+3}$.
ОДЗ: $3-x \neq 0$ и $x+3 \neq 0$, следовательно, $x \neq 3$ и $x \neq -3$.
Перенесем все слагаемые в левую часть:
$\frac{2}{3-x} - 1 + \frac{1}{x+3} > 0$
Приведем к общему знаменателю $(3-x)(x+3)$:
$\frac{2(x+3) - 1(3-x)(x+3) + 1(3-x)}{(3-x)(x+3)} > 0$
Упростим числитель:
$\frac{2x+6 - (9-x^2) + 3-x}{(3-x)(x+3)} > 0$
$\frac{2x+6-9+x^2+3-x}{(3-x)(x+3)} > 0$
$\frac{x^2+x}{(3-x)(x+3)} > 0$
$\frac{x(x+1)}{-(x-3)(x+3)} > 0$
Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства:
$\frac{x(x+1)}{(x-3)(x+3)} < 0$
Решим методом интервалов. Нули числителя: $x=0$, $x=-1$. Нули знаменателя: $x=3$, $x=-3$.
На числовой оси отмечаем точки -3, -1, 0, 3. Нас интересуют интервалы со знаком "минус".
Решением являются интервалы $(-3, -1)$ и $(0, 3)$.
Ответ: $x \in (-3, -1) \cup (0, 3)$.

г) Решим неравенство $\frac{7}{x+5} < 1 + \frac{2}{5-x}$.
ОДЗ: $x+5 \neq 0$ и $5-x \neq 0$, следовательно, $x \neq -5$ и $x \neq 5$.
Перенесем все слагаемые в левую часть:
$\frac{7}{x+5} - 1 - \frac{2}{5-x} < 0$
Приведем к общему знаменателю $(x+5)(5-x)$:
$\frac{7(5-x) - 1(x+5)(5-x) - 2(x+5)}{(x+5)(5-x)} < 0$
Упростим числитель:
$\frac{35-7x - (25-x^2) - 2x-10}{(x+5)(5-x)} < 0$
$\frac{35-7x-25+x^2-2x-10}{(x+5)(5-x)} < 0$
$\frac{x^2-9x}{(x+5)(5-x)} < 0$
$\frac{x(x-9)}{-(x-5)(x+5)} < 0$
Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства:
$\frac{x(x-9)}{(x-5)(x+5)} > 0$
Решим методом интервалов. Нули числителя: $x=0$, $x=9$. Нули знаменателя: $x=5$, $x=-5$.
На числовой оси отмечаем точки -5, 0, 5, 9. Нас интересуют интервалы со знаком "плюс".
Решением являются интервалы $(-\infty, -5)$, $(0, 5)$ и $(9, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -5) \cup (0, 5) \cup (9, +\infty)$.

98 а) $\frac{x^2 - 6x + 5}{x^2 - 1} > \frac{x - 5}{x - 1}$. Укажите наибольшее целое решение.

б) $\frac{x^2 - x - 6}{(x + 5)^2} < 1$. Укажите наименьшее целое решение.

в) $\frac{x^2 + 5x + 1}{x^2 + 2x + 4} \le 1$. Укажите наибольшее целое решение.

а) Решим неравенство $\frac{x^2 - 6x + 5}{x^2 - 1} > \frac{x - 5}{x - 1}$.
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не должны равняться нулю, поэтому $x^2 - 1 \neq 0$ и $x - 1 \neq 0$. Отсюда следует, что $x \neq 1$ и $x \neq -1$.
Разложим на множители числитель и знаменатель левой части неравенства:
$x^2 - 6x + 5 = (x-1)(x-5)$ (по теореме Виета)
$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$ (формула разности квадратов)
Подставим разложения в исходное неравенство:
$\frac{(x-1)(x-5)}{(x-1)(x+1)} > \frac{x-5}{x-1}$
Так как по ОДЗ $x \neq 1$, мы можем сократить дробь в левой части на $(x-1)$:
$\frac{x-5}{x+1} > \frac{x-5}{x-1}$
Перенесем все члены в левую часть:
$\frac{x-5}{x+1} - \frac{x-5}{x-1} > 0$
Вынесем общий множитель $(x-5)$ за скобки:
$(x-5) \left( \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x-1} \right) > 0$
Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:
$(x-5) \left( \frac{(x-1) - (x+1)}{(x+1)(x-1)} \right) > 0$
$(x-5) \left( \frac{x - 1 - x - 1}{x^2 - 1} \right) > 0$
$(x-5) \left( \frac{-2}{x^2 - 1} \right) > 0$
Разделим обе части на -2, изменив знак неравенства на противоположный:
$\frac{x-5}{x^2 - 1} < 0$ или $\frac{x-5}{(x-1)(x+1)} < 0$
Решим полученное неравенство методом интервалов. Отметим на числовой оси нули числителя и знаменателя: -1, 1, 5.
Проверим знаки выражения на интервалах:
- при $x > 5$: $\frac{+}{(+)(+)} = +$
- при $1 < x < 5$: $\frac{-}{(+)(+)} = -$ (подходит)
- при $-1 < x < 1$: $\frac{-}{(-)(+)} = +$
- при $x < -1$: $\frac{-}{(-)(-)} = -$ (подходит)
Решением неравенства является объединение интервалов $x \in (-\infty; -1) \cup (1; 5)$. Это решение удовлетворяет ОДЗ.
Наибольшее целое число, принадлежащее этому множеству, - это 4.
Ответ: 4

б) Решим неравенство $\frac{x^2 - x - 6}{(x+5)^2} < 1$.
ОДЗ: знаменатель не равен нулю, $(x+5)^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -5$.
Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$\frac{x^2 - x - 6}{(x+5)^2} - 1 < 0$
$\frac{x^2 - x - 6 - (x+5)^2}{(x+5)^2} < 0$
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{x^2 - x - 6 - (x^2 + 10x + 25)}{(x+5)^2} < 0$
$\frac{x^2 - x - 6 - x^2 - 10x - 25}{(x+5)^2} < 0$
$\frac{-11x - 31}{(x+5)^2} < 0$
Знаменатель $(x+5)^2$ всегда положителен для любого $x$ из ОДЗ. Следовательно, знак дроби зависит только от знака числителя:
$-11x - 31 < 0$
$-11x < 31$
При делении на отрицательное число (-11) знак неравенства меняется:
$x > -\frac{31}{11}$
$x > -2\frac{9}{11}$
Решение неравенства: $x \in (-31/11, +\infty)$. Это решение не включает -5, так как $-5 < -31/11$.
Наименьшее целое число, которое больше $-2\frac{9}{11}$, это -2.
Ответ: -2

в) Решим неравенство $\frac{x^2 + 5x + 1}{x^2 + 2x + 4} \leq 1$.
Рассмотрим знаменатель $x^2 + 2x + 4$. Найдем его дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12$.
Поскольку дискриминант отрицателен ($D < 0$) и коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$), квадратный трехчлен $x^2 + 2x + 4$ принимает только положительные значения при любом $x \in \mathbb{R}$.
Следовательно, ОДЗ - все действительные числа. Мы можем умножить обе части неравенства на знаменатель, сохранив знак неравенства:
$x^2 + 5x + 1 \leq x^2 + 2x + 4$
Перенесем все члены с $x$ в левую часть, а постоянные члены - в правую:
$x^2 - x^2 + 5x - 2x \leq 4 - 1$
$3x \leq 3$
$x \leq 1$
Решением неравенства является множество $x \in (-\infty, 1]$.
Наибольшее целое число, удовлетворяющее этому условию, равно 1.
Ответ: 1

99 а) $ \frac{2}{x-1} + \frac{1}{x+2} > \frac{1}{2x+3} $

б) $ \frac{1}{x-1} + \frac{1}{2x+1} > \frac{1}{4x+1} $

Исходное неравенство: $ \frac{2}{x-1} + \frac{1}{x+2} > \frac{1}{2x+3} $
1. Перенесем все члены в левую часть, чтобы сравнить выражение с нулем:
$ \frac{2}{x-1} + \frac{1}{x+2} - \frac{1}{2x+3} > 0 $
2. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:
$x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$
$x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$
$2x+3 \neq 0 \implies x \neq -1.5$
Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; -1.5) \cup (-1.5; 1) \cup (1; \infty)$.
3. Приведем дроби к общему знаменателю $(x-1)(x+2)(2x+3)$:
$ \frac{2(x+2)(2x+3) + 1(x-1)(2x+3) - 1(x-1)(x+2)}{(x-1)(x+2)(2x+3)} > 0 $
4. Упростим числитель, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:
$ 2(2x^2 + 3x + 4x + 6) + (2x^2 + 3x - 2x - 3) - (x^2 + 2x - x - 2) $
$ = 2(2x^2+7x+6) + (2x^2+x-3) - (x^2+x-2) $
$ = 4x^2+14x+12 + 2x^2+x-3 - x^2-x+2 $
$ = (4+2-1)x^2 + (14+1-1)x + (12-3+2) $
$ = 5x^2+14x+11 $
5. Неравенство принимает вид:
$ \frac{5x^2+14x+11}{(x-1)(x+2)(2x+3)} > 0 $
6. Найдем корни числителя $5x^2+14x+11=0$. Вычислим дискриминант:
$ D = b^2 - 4ac = 14^2 - 4 \cdot 5 \cdot 11 = 196 - 220 = -24 $
Поскольку дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент $a=5 > 0$, квадратный трехчлен $5x^2+14x+11$ всегда положителен при любых значениях $x$.
7. Так как числитель всегда положителен, знак всей дроби зависит только от знака знаменателя. Таким образом, неравенство равносильно следующему:
$ (x-1)(x+2)(2x+3) > 0 $
8. Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни сомножителей: $x=1, x=-2, x=-1.5$. Отметим эти точки на числовой прямой и определим знак произведения в каждом из полученных интервалов.
- При $x \in (1, \infty)$ (например, $x=2$): $(+)(+)(+) > 0$. Интервал удовлетворяет неравенству.
- При $x \in (-1.5, 1)$ (например, $x=0$): $(-)(+)(+) < 0$. Интервал не удовлетворяет неравенству.
- При $x \in (-2, -1.5)$ (например, $x=-1.7$): $(-)(+)(-) > 0$. Интервал удовлетворяет неравенству.
- При $x \in (-\infty, -2)$ (например, $x=-3$): $(-)(-)(-) < 0$. Интервал не удовлетворяет неравенству.
Объединяя интервалы, где выражение положительно, получаем решение, которое входит в ОДЗ.
Ответ: $x \in (-2; -1.5) \cup (1; \infty)$.

Исходное неравенство: $ \frac{1}{x-1} + \frac{1}{2x+1} > \frac{1}{4x+1} $
1. Перенесем все члены в левую часть:
$ \frac{1}{x-1} + \frac{1}{2x+1} - \frac{1}{4x+1} > 0 $
2. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$
$2x+1 \neq 0 \implies x \neq -0.5$
$4x+1 \neq 0 \implies x \neq -0.25$
Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; -0.5) \cup (-0.5; -0.25) \cup (-0.25; 1) \cup (1; \infty)$.
3. Приведем дроби к общему знаменателю $(x-1)(2x+1)(4x+1)$:
$ \frac{1(2x+1)(4x+1) + 1(x-1)(4x+1) - 1(x-1)(2x+1)}{(x-1)(2x+1)(4x+1)} > 0 $
4. Упростим числитель:
$ (8x^2 + 2x + 4x + 1) + (4x^2 + x - 4x - 1) - (2x^2 + x - 2x - 1) $
$ = (8x^2+6x+1) + (4x^2-3x-1) - (2x^2-x-1) $
$ = 8x^2+6x+1 + 4x^2-3x-1 - 2x^2+x+1 $
$ = (8+4-2)x^2 + (6-3+1)x + (1-1+1) $
$ = 10x^2+4x+1 $
5. Неравенство принимает вид:
$ \frac{10x^2+4x+1}{(x-1)(2x+1)(4x+1)} > 0 $
6. Найдем корни числителя $10x^2+4x+1=0$. Вычислим дискриминант:
$ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 10 \cdot 1 = 16 - 40 = -24 $
Поскольку дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент $a=10 > 0$, выражение $10x^2+4x+1$ всегда положительно при любых значениях $x$.
7. Так как числитель всегда положителен, знак всей дроби определяется знаком знаменателя:
$ (x-1)(2x+1)(4x+1) > 0 $
8. Решим это неравенство методом интервалов. Корни сомножителей: $x=1, x=-0.5, x=-0.25$. Отметим эти точки на числовой прямой и определим знак произведения в каждом из полученных интервалов.
- При $x \in (1, \infty)$ (например, $x=2$): $(+)(+)(+) > 0$. Интервал удовлетворяет неравенству.
- При $x \in (-0.25, 1)$ (например, $x=0$): $(-)(+)(+) < 0$. Интервал не удовлетворяет неравенству.
- При $x \in (-0.5, -0.25)$ (например, $x=-0.3$): $(-)(+)(-) > 0$. Интервал удовлетворяет неравенству.
- При $x \in (-\infty, -0.5)$ (например, $x=-1$): $(-)(-)(-) < 0$. Интервал не удовлетворяет неравенству.
Объединяя интервалы, где выражение положительно, получаем решение, которое входит в ОДЗ.
Ответ: $x \in (-0.5; -0.25) \cup (1; \infty)$.