Страница 372 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

78 а) $\frac{3}{5}(3x - 1) > \frac{1}{8}(4 - x);$

б) $\frac{1}{2}\left(\frac{x+1}{4} - \frac{2x+1}{9}\right) > \frac{x+3}{4} - \frac{x-4}{9}.$

а) Решим неравенство $ \frac{3}{5}(3x - 1) > \frac{1}{8}(4 - x) $.
Для того чтобы избавиться от дробных коэффициентов, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 5 и 8, которое равно 40. Так как 40 — положительное число, знак неравенства сохранится.
$ 40 \cdot \frac{3}{5}(3x - 1) > 40 \cdot \frac{1}{8}(4 - x) $
$ 8 \cdot 3(3x - 1) > 5 \cdot 1(4 - x) $
$ 24(3x - 1) > 5(4 - x) $
Теперь раскроем скобки в обеих частях:
$ 24 \cdot 3x - 24 \cdot 1 > 5 \cdot 4 - 5 \cdot x $
$ 72x - 24 > 20 - 5x $
Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а постоянные члены — в правую. При переносе через знак неравенства знак слагаемого меняется на противоположный.
$ 72x + 5x > 20 + 24 $
Приведем подобные слагаемые:
$ 77x > 44 $
Разделим обе части неравенства на 77. Так как 77 — положительное число, знак неравенства не изменится.
$ x > \frac{44}{77} $
Сократим полученную дробь на 11:
$ x > \frac{4}{7} $
Это решение можно записать в виде интервала $ (\frac{4}{7}; +\infty) $.
Ответ: $ x > \frac{4}{7} $.

б) Решим неравенство $ \frac{1}{2} - \left(\frac{x+1}{4} - \frac{2x+1}{9}\right) > \frac{x+3}{4} - \frac{x-4}{9} $.
Для начала раскроем скобки в левой части. Знак минус перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри нее на противоположные.
$ \frac{1}{2} - \frac{x+1}{4} + \frac{2x+1}{9} > \frac{x+3}{4} - \frac{x-4}{9} $
Теперь избавимся от дробей. Для этого умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 2, 4 и 9. НОК(2, 4, 9) = 36. Так как 36 — положительное число, знак неравенства не изменится.
$ 36 \cdot \frac{1}{2} - 36 \cdot \frac{x+1}{4} + 36 \cdot \frac{2x+1}{9} > 36 \cdot \frac{x+3}{4} - 36 \cdot \frac{x-4}{9} $
$ 18 \cdot 1 - 9(x+1) + 4(2x+1) > 9(x+3) - 4(x-4) $
Раскроем все скобки, внимательно следя за знаками:
$ 18 - 9x - 9 + 8x + 4 > 9x + 27 - 4x + 16 $
Приведем подобные слагаемые в каждой части неравенства.
В левой части: $ (18 - 9 + 4) + (-9x + 8x) = 13 - x $
В правой части: $ (27 + 16) + (9x - 4x) = 43 + 5x $
Неравенство принимает вид:
$ 13 - x > 43 + 5x $
Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а числа — в левую:
$ 13 - 43 > 5x + x $
$ -30 > 6x $
Разделим обе части на 6. Так как 6 — положительное число, знак неравенства не изменится.
$ -5 > x $
Для удобства восприятия запишем результат, поменяв части местами и изменив знак неравенства на противоположный:
$ x < -5 $
Это решение можно записать в виде интервала $ (-\infty; -5) $.
Ответ: $ x < -5 $.

79 a) $\frac{6x - 5}{2} - \frac{2 - 5x}{5} > \frac{3}{2}$

б) $\frac{3x + 4}{4} - \frac{5 - 2x}{6} < \frac{5}{4}$

a)

Дано неравенство:

$\frac{6x - 5}{2} - \frac{2 - 5x}{5} > \frac{3}{2}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель, который для чисел 2 и 5 равен 10. Так как 10 > 0, знак неравенства не изменится.

$10 \cdot \left(\frac{6x - 5}{2} - \frac{2 - 5x}{5}\right) > 10 \cdot \frac{3}{2}$

$\frac{10 \cdot (6x - 5)}{2} - \frac{10 \cdot (2 - 5x)}{5} > \frac{10 \cdot 3}{2}$

$5(6x - 5) - 2(2 - 5x) > 5 \cdot 3$

Раскроем скобки в левой части неравенства:

$30x - 25 - 4 + 10x > 15$

Приведем подобные слагаемые:

$(30x + 10x) + (-25 - 4) > 15$

$40x - 29 > 15$

Перенесем число -29 в правую часть, изменив его знак на противоположный:

$40x > 15 + 29$

$40x > 44$

Разделим обе части неравенства на 40:

$x > \frac{44}{40}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:

$x > \frac{11}{10}$

Решение можно записать в виде интервала.

Ответ: $x \in (\frac{11}{10}; +\infty)$

б)

Дано неравенство:

$\frac{3x + 4}{4} - \frac{5 - 2x}{6} < \frac{5}{4}$

Найдем наименьшее общее кратное знаменателей 4 и 6. НОК(4, 6) = 12. Умножим обе части неравенства на 12. Так как 12 > 0, знак неравенства сохранится.

$12 \cdot \left(\frac{3x + 4}{4} - \frac{5 - 2x}{6}\right) < 12 \cdot \frac{5}{4}$

$\frac{12 \cdot (3x + 4)}{4} - \frac{12 \cdot (5 - 2x)}{6} < \frac{12 \cdot 5}{4}$

$3(3x + 4) - 2(5 - 2x) < 3 \cdot 5$

Раскроем скобки:

$9x + 12 - 10 + 4x < 15$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(9x + 4x) + (12 - 10) < 15$

$13x + 2 < 15$

Перенесем число 2 в правую часть с противоположным знаком:

$13x < 15 - 2$

$13x < 13$

Разделим обе части неравенства на 13:

$x < \frac{13}{13}$

$x < 1$

Запишем решение в виде интервала.

Ответ: $x \in (-\infty; 1)$

80 а) $(x - 2)(x - 3) > 0;$

б) $(x - 4)(x - 6) < 0;$

В) $(x + 4)(x - 1) > 0;$

Г) $(x + 1)(x + 2) < 0;$

Д) $x^2 - 10x + 24 < 0;$

е) $x^2 - 14x + 66 < 3 + 2x;$

Ж) $(x - 3)(x - 5) \ge 0;$

З) $(x - 1)(x - 3) \le 0;$

И) $(x + 3)(x - 4) \ge 0;$

К) $(x + 5)(x + 2) \le 0;$

Л) $x^2 + 7x + 6 \le 0;$

М) $x^2 + 6x + 5 \le 0.$

а) $(x-2)(x-3) > 0$
Для решения этого квадратного неравенства используем метод интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $(x-2)(x-3) = 0$. Корнями являются $x_1=2$ и $x_2=3$. Эти точки делят числовую прямую на три интервала: $(-\infty; 2)$, $(2; 3)$ и $(3; +\infty)$. График функции $y=(x-2)(x-3)$ — это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Следовательно, функция положительна на интервалах, находящихся вне корней. Так как неравенство строгое ($>$), точки $2$ и $3$ не включаются в решение.
Ответ: $x \in (-\infty; 2) \cup (3; +\infty)$.

б) $(x-4)(x-6) < 0$
Находим корни уравнения $(x-4)(x-6) = 0$, получаем $x_1=4$ и $x_2=6$. График функции $y=(x-4)(x-6)$ — парабола с ветвями вверх. Функция принимает отрицательные значения на интервале между корнями. Неравенство строгое ($<$), поэтому концы интервала не включаются в решение.
Ответ: $x \in (4; 6)$.

в) $(x+4)(x-1) > 0$
Находим корни уравнения $(x+4)(x-1) = 0$, получаем $x_1=-4$ и $x_2=1$. Парабола $y=(x+4)(x-1)$ имеет ветви, направленные вверх. Функция положительна на интервалах вне корней. Неравенство строгое ($>$), поэтому точки $-4$ и $1$ не входят в решение.
Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (1; +\infty)$.

г) $(x+1)(x+2) < 0$
Находим корни уравнения $(x+1)(x+2) = 0$, получаем $x_1=-2$ и $x_2=-1$. Парабола $y=(x+1)(x+2)$ имеет ветви, направленные вверх. Функция отрицательна на интервале между корнями. Неравенство строгое ($<$), поэтому точки $-2$ и $-1$ не входят в решение.
Ответ: $x \in (-2; -1)$.

д) $x^2 - 10x + 24 < 0$
Сначала решим соответствующее квадратное уравнение $x^2 - 10x + 24 = 0$. Используя теорему Виета, находим корни: $x_1=4$ и $x_2=6$ (так как $4+6=10$ и $4 \cdot 6=24$). Неравенство можно переписать в виде $(x-4)(x-6) < 0$. Графиком является парабола с ветвями вверх, которая отрицательна между корнями. Неравенство строгое, поэтому решение — открытый интервал.
Ответ: $x \in (4; 6)$.

е) $x^2 - 14x + 66 < 3 + 2x$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное неравенство: $x^2 - 14x - 2x + 66 - 3 < 0$, что упрощается до $x^2 - 16x + 63 < 0$. Решим уравнение $x^2 - 16x + 63 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1=7$ и $x_2=9$ (так как $7+9=16$ и $7 \cdot 9=63$). Неравенство принимает вид $(x-7)(x-9) < 0$. Парабола с ветвями вверх, следовательно, выражение отрицательно между корнями.
Ответ: $x \in (7; 9)$.

ж) $(x-3)(x-5) \geq 0$
Находим корни уравнения $(x-3)(x-5) = 0$, получаем $x_1=3$ и $x_2=5$. Парабола $y=(x-3)(x-5)$ имеет ветви вверх. Функция принимает неотрицательные значения (больше или равно нулю) на интервалах вне корней, включая сами корни. Неравенство нестрогое ($\geq$), поэтому точки $3$ и $5$ включаются в решение.
Ответ: $x \in (-\infty; 3] \cup [5; +\infty)$.

з) $(x-1)(x-3) \leq 0$
Находим корни уравнения $(x-1)(x-3) = 0$, получаем $x_1=1$ и $x_2=3$. Парабола $y=(x-1)(x-3)$ имеет ветви вверх. Функция принимает неположительные значения (меньше или равно нулю) на интервале между корнями, включая сами корни. Неравенство нестрогое ($\leq$), поэтому точки $1$ и $3$ включаются в решение.
Ответ: $x \in [1; 3]$.

и) $(x+3)(x-4) \geq 0$
Находим корни уравнения $(x+3)(x-4) = 0$, получаем $x_1=-3$ и $x_2=4$. Парабола $y=(x+3)(x-4)$ имеет ветви вверх. Функция принимает неотрицательные значения на интервалах вне корней. Неравенство нестрогое ($\geq$), поэтому точки $-3$ и $4$ включаются в решение.
Ответ: $x \in (-\infty; -3] \cup [4; +\infty)$.

к) $(x+5)(x+2) \leq 0$
Находим корни уравнения $(x+5)(x+2) = 0$, получаем $x_1=-5$ и $x_2=-2$. Парабола $y=(x+5)(x+2)$ имеет ветви вверх. Функция принимает неположительные значения на интервале между корнями. Неравенство нестрогое ($\leq$), поэтому точки $-5$ и $-2$ включаются в решение.
Ответ: $x \in [-5; -2]$.

л) $x^2 + 7x + 6 \leq 0$
Решим уравнение $x^2 + 7x + 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1=-6$ и $x_2=-1$ (так как $-6 + (-1) = -7$ и $-6 \cdot (-1) = 6$). Неравенство можно переписать как $(x+6)(x+1) \leq 0$. Парабола $y=x^2 + 7x + 6$ имеет ветви вверх. Функция неположительна на интервале между корнями. Неравенство нестрогое, поэтому концы отрезка включаются.
Ответ: $x \in [-6; -1]$.

м) $x^2 + 6x + 5 \leq 0$
Решим уравнение $x^2 + 6x + 5 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1=-5$ и $x_2=-1$ (так как $-5 + (-1) = -6$ и $-5 \cdot (-1) = 5$). Неравенство можно переписать как $(x+5)(x+1) \leq 0$. Парабола $y=x^2 + 6x + 5$ имеет ветви вверх. Функция неположительна на интервале между корнями. Неравенство нестрогое, поэтому концы отрезка включаются.
Ответ: $x \in [-5; -1]$.

81 a) $x^2 - 6x + 5 < 0$. Укажите наименьшее целое решение.

б) $x^2 - 9x + 14 \le 0$. Укажите наибольшее целое решение.

a) $x^2 - 6x + 5 < 0$. Укажите наименьшее целое решение.

Для решения этого квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 6x + 5 = 0$.

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{6 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$x_2 = \frac{6 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 4}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Парабола $y = x^2 - 6x + 5$ имеет ветви, направленные вверх (поскольку коэффициент при $x^2$ положителен), и пересекает ось Ox в точках $x=1$ и $x=5$. Неравенство $x^2 - 6x + 5 < 0$ выполняется на интервале между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $1 < x < 5$, или $x \in (1; 5)$.

Целые числа, входящие в этот интервал: 2, 3, 4.

Наименьшее из этих целых решений — это 2.

Ответ: 2

б) $x^2 - 9x + 14 \le 0$. Укажите наибольшее целое решение.

Сначала найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 9x + 14 = 0$.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 81 - 56 = 25$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{9 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{9 - 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{9 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{9 + 5}{2} = \frac{14}{2} = 7$

Парабола $y = x^2 - 9x + 14$ имеет ветви, направленные вверх, и пересекает ось Ox в точках $x=2$ и $x=7$. Неравенство $x^2 - 9x + 14 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни (поскольку неравенство нестрогое).

Таким образом, решение неравенства: $2 \le x \le 7$, или $x \in [2; 7]$.

Целые числа, входящие в этот отрезок: 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Наибольшее из этих целых решений — это 7.

Ответ: 7

82 a) $(x^2 - 4x)^2 \ge 16;$

б) $(4x^2 + 4x)^2 < 1.$

а) $(x^2 - 4x)^2 \geq 16$

Данное неравенство эквивалентно тому, что выражение под квадратом больше или равно $4$ или меньше или равно $-4$. Это можно записать в виде совокупности двух неравенств:

$x^2 - 4x \geq 4$ или $x^2 - 4x \leq -4$.

Решим каждое неравенство по отдельности.

1. $x^2 - 4x \geq 4$

Перенесем все члены в одну сторону: $x^2 - 4x - 4 \geq 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 4x - 4 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 16 + 16 = 32$.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{4 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{2}$.

Графиком функции $y = x^2 - 4x - 4$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, значения функции неотрицательны при $x$ за пределами корней.

Решение этого неравенства: $x \in (-\infty, 2 - 2\sqrt{2}] \cup [2 + 2\sqrt{2}, +\infty)$.

2. $x^2 - 4x \leq -4$

Перенесем все члены в одну сторону: $x^2 - 4x + 4 \leq 0$.

Левая часть является полным квадратом: $(x - 2)^2 \leq 0$.

Так как квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (т.е. $\geq 0$), это неравенство выполняется только тогда, когда $(x - 2)^2 = 0$.

Это дает единственное решение: $x = 2$.

Объединяя решения обоих случаев, получаем итоговое множество решений для исходного неравенства.

Ответ: $x \in (-\infty, 2 - 2\sqrt{2}] \cup \{2\} \cup [2 + 2\sqrt{2}, +\infty)$.

б) $(4x^2 + 4x)^2 < 1$

Данное неравенство эквивалентно двойному неравенству:

$-1 < 4x^2 + 4x < 1$.

Это двойное неравенство можно представить в виде системы двух неравенств, которые должны выполняться одновременно:

$\begin{cases} 4x^2 + 4x < 1 \\ 4x^2 + 4x > -1 \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы.

1. $4x^2 + 4x < 1$

Перенесем все члены в одну сторону: $4x^2 + 4x - 1 < 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $4x^2 + 4x - 1 = 0$:

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 16 + 16 = 32$.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{32}}{8} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{2}}{8} = \frac{-1 \pm \sqrt{2}}{2}$.

Графиком функции $y = 4x^2 + 4x - 1$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, значения функции отрицательны при $x$ между корнями.

Решение этого неравенства: $x \in (\frac{-1 - \sqrt{2}}{2}, \frac{-1 + \sqrt{2}}{2})$.

2. $4x^2 + 4x > -1$

Перенесем все члены в одну сторону: $4x^2 + 4x + 1 > 0$.

Левая часть является полным квадратом: $(2x + 1)^2 > 0$.

Квадрат выражения $(2x + 1)$ положителен для всех действительных значений $x$, за исключением случая, когда он равен нулю.

$(2x + 1)^2 = 0$ при $2x + 1 = 0$, то есть при $x = -1/2$.

Таким образом, решение этого неравенства: $x \neq -1/2$.

Для получения итогового ответа найдем пересечение решений обоих неравенств. Мы должны взять интервал из первого решения и исключить из него точку $x = -1/2$.

Поскольку $\frac{-1 - \sqrt{2}}{2} \approx \frac{-1 - 1.414}{2} \approx -1.207$ и $\frac{-1 + \sqrt{2}}{2} \approx \frac{-1 + 1.414}{2} \approx 0.207$, а $-1/2 = -0.5$, точка $x = -1/2$ действительно лежит внутри интервала $(\frac{-1 - \sqrt{2}}{2}, \frac{-1 + \sqrt{2}}{2})$.

Итоговое решение — это интервал с "выколотой" точкой.

Ответ: $x \in (\frac{-1 - \sqrt{2}}{2}, -\frac{1}{2}) \cup (-\frac{1}{2}, \frac{-1 + \sqrt{2}}{2})$.

83 a) $(x - 1)(x + 4)(x + 5) > 0;$

б) $(x - 4)(x - 6)(x + 1) < 0;$

в) $(x + 3)(x - 4)(x - 1) > 0;$

г) $(x + 1)(x + 3)(x + 5) < 0;$

д) $(x^2 - 1)(x^2 + 4x + 4)(x + 5)^3 > 0;$

е) $(x^2 - 4)(x^2 - 5x + 6)(x + 1)^5 < 0;$

ж) $(x^2 + 3)(x^2 + 3x - 4)^3 (x - 1)^3 > 0;$

з) $(x^2 + 1)(x^2 + x + 1)^3 (x + 5)^5 < 0.$

а)

Решим неравенство $(x - 1)(x + 4)(x + 5) > 0$ методом интервалов.

1. Найдём корни выражения, приравняв его к нулю: $(x - 1)(x + 4)(x + 5) = 0$.
Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -4$, $x_3 = -5$.

2. Отметим корни на числовой оси в порядке возрастания: -5, -4, 1. Эти точки делят ось на четыре интервала: $(-\infty; -5)$, $(-5; -4)$, $(-4; 1)$, $(1; +\infty)$.

3. Определим знак выражения в каждом интервале. Возьмём точку из крайнего правого интервала, например, $x=2$:
$(2 - 1)(2 + 4)(2 + 5) = 1 \cdot 6 \cdot 7 = 42 > 0$. Знак в интервале $(1; +\infty)$ — плюс.

4. Так как все корни имеют нечётную кратность (1), знаки в интервалах будут чередоваться: (+), (-), (+), (-).

Расставим знаки на интервалах: $(-\infty; -5) \rightarrow -$, $(-5; -4) \rightarrow +$, $(-4; 1) \rightarrow -$, $(1; +\infty) \rightarrow +$.

5. Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля (знак "+").

Это интервалы $(-5; -4)$ и $(1; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-5; -4) \cup (1; +\infty)$.

б)

Решим неравенство $(x - 4)(x - 6)(x + 1) < 0$ методом интервалов.

1. Корни выражения: $x_1 = 4$, $x_2 = 6$, $x_3 = -1$.

2. Отметим корни на числовой оси: -1, 4, 6. Интервалы: $(-\infty; -1)$, $(-1; 4)$, $(4; 6)$, $(6; +\infty)$.

3. Определим знак в крайнем правом интервале (например, $x=7$):
$(7 - 4)(7 - 6)(7 + 1) = 3 \cdot 1 \cdot 8 = 24 > 0$. Знак — плюс.

4. Все корни имеют нечётную кратность (1), знаки чередуются. Расставим знаки, двигаясь справа налево: (+), (-), (+), (-).

Знаки на интервалах: $(-\infty; -1) \rightarrow -$, $(-1; 4) \rightarrow +$, $(4; 6) \rightarrow -$, $(6; +\infty) \rightarrow +$.

5. Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля (знак "-").

Это интервалы $(-\infty; -1)$ и $(4; 6)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (4; 6)$.

в)

Решим неравенство $(x + 3)(x - 4)(x - 1) > 0$ методом интервалов.

1. Корни выражения: $x_1 = -3$, $x_2 = 4$, $x_3 = 1$.

2. Отметим корни на числовой оси: -3, 1, 4. Интервалы: $(-\infty; -3)$, $(-3; 1)$, $(1; 4)$, $(4; +\infty)$.

3. Определим знак в крайнем правом интервале (например, $x=5$):
$(5 + 3)(5 - 4)(5 - 1) = 8 \cdot 1 \cdot 4 = 32 > 0$. Знак — плюс.

4. Все корни имеют нечётную кратность (1), знаки чередуются. Расставим знаки, двигаясь справа налево: (+), (-), (+), (-).

Знаки на интервалах: $(-\infty; -3) \rightarrow -$, $(-3; 1) \rightarrow +$, $(1; 4) \rightarrow -$, $(4; +\infty) \rightarrow +$.

5. Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля (знак "+").

Это интервалы $(-3; 1)$ и $(4; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-3; 1) \cup (4; +\infty)$.

г)

Решим неравенство $(x + 1)(x + 3)(x + 5) < 0$ методом интервалов.

1. Корни выражения: $x_1 = -1$, $x_2 = -3$, $x_3 = -5$.

2. Отметим корни на числовой оси: -5, -3, -1. Интервалы: $(-\infty; -5)$, $(-5; -3)$, $(-3; -1)$, $(-1; +\infty)$.

3. Определим знак в крайнем правом интервале (например, $x=0$):
$(0 + 1)(0 + 3)(0 + 5) = 1 \cdot 3 \cdot 5 = 15 > 0$. Знак — плюс.

4. Все корни имеют нечётную кратность (1), знаки чередуются. Расставим знаки, двигаясь справа налево: (+), (-), (+), (-).

Знаки на интервалах: $(-\infty; -5) \rightarrow -$, $(-5; -3) \rightarrow +$, $(-3; -1) \rightarrow -$, $(-1; +\infty) \rightarrow +$.

5. Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля (знак "-").

Это интервалы $(-\infty; -5)$ и $(-3; -1)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (-3; -1)$.

д)

Решим неравенство $(x^2 - 1)(x^2 + 4x + 4)(x + 5)^3 > 0$.

1. Разложим выражение на множители:
$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$
$x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$
Неравенство принимает вид: $(x - 1)(x + 1)(x + 2)^2(x + 5)^3 > 0$.

2. Найдём корни и их кратности: $x=1$ (кратность 1, нечётная), $x=-1$ (кратность 1, нечётная), $x=-2$ (кратность 2, чётная), $x=-5$ (кратность 3, нечётная). Знак множителя в нечётной степени совпадает со знаком основания.

3. Отметим корни на числовой оси: -5, -2, -1, 1.

4. Определим знаки на интервалах. Возьмём точку $x=2$: $(2-1)(2+1)(2+2)^2(2+5)^3 > 0$. Знак — плюс.

5. Двигаясь справа налево, меняем знак при переходе через корни нечётной кратности (-5, -1, 1) и не меняем при переходе через корень чётной кратности (-2).
$(1; +\infty) \rightarrow +$
$(-1; 1) \rightarrow -$ (смена знака в $x=1$)
$(-2; -1) \rightarrow +$ (смена знака в $x=-1$)
$(-5; -2) \rightarrow +$ (сохранение знака в $x=-2$)
$(-\infty; -5) \rightarrow -$ (смена знака в $x=-5$)

6. Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля (знак "+"). Поскольку неравенство строгое, точка $x=-2$ не входит в решение.

Это интервалы $(-5; -2)$, $(-2; -1)$ и $(1; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-5; -2) \cup (-2; -1) \cup (1; +\infty)$.

е)

Решим неравенство $(x^2 - 4)(x^2 - 5x + 6)(x + 1)^5 < 0$.

1. Разложим выражение на множители:
$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$
$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$ (корни 2 и 3)
Неравенство принимает вид: $(x - 2)(x + 2)(x - 2)(x - 3)(x + 1)^5 < 0$, что эквивалентно $(x - 2)^2(x + 2)(x - 3)(x + 1)^5 < 0$.

2. Корни и их кратности: $x=2$ (кратность 2, чётная), $x=-2$ (кратность 1, нечётная), $x=3$ (кратность 1, нечётная), $x=-1$ (кратность 5, нечётная).

3. Отметим корни на числовой оси: -2, -1, 2, 3.

4. Определим знаки на интервалах. Возьмём $x=4$: $(4-2)^2(4+2)(4-3)(4+1)^5 > 0$. Знак — плюс.

5. Двигаясь справа налево, чередуем знаки с учётом кратностей:
$(3; +\infty) \rightarrow +$
$(2; 3) \rightarrow -$ (смена знака в $x=3$)
$(-1; 2) \rightarrow -$ (сохранение знака в $x=2$)
$(-2; -1) \rightarrow +$ (смена знака в $x=-1$)
$(-\infty; -2) \rightarrow -$ (смена знака в $x=-2$)

6. Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля (знак "-"). Поскольку неравенство строгое, точка $x=2$ не входит в решение.

Это интервалы $(-\infty; -2)$, $(-1; 2)$ и $(2; 3)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (-1; 2) \cup (2; 3)$.

ж)

Решим неравенство $(x^2 + 3)(x^2 + 3x - 4)^3(x - 1)^3 > 0$.

1. Проанализируем множители:
Множитель $(x^2 + 3) > 0$ для любого $x$, так как $x^2 \ge 0$. На знак неравенства не влияет.
Разложим $x^2 + 3x - 4$. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -4$. Значит, $x^2 + 3x - 4 = (x-1)(x+4)$.

2. Неравенство преобразуется к виду: $(x^2 + 3)((x - 1)(x + 4))^3(x - 1)^3 > 0$.
$(x^2 + 3)(x - 1)^3(x + 4)^3(x - 1)^3 > 0$
$(x^2 + 3)(x - 1)^6(x + 4)^3 > 0$.

3. Так как $(x^2+3) > 0$ и $(x-1)^6 \ge 0$, неравенство сводится к $(x+4)^3 > 0$ при условии $x-1 \neq 0$.
$(x+4)^3 > 0 \implies x+4 > 0 \implies x > -4$.
Условие $x-1 \neq 0$ означает $x \neq 1$.

4. Объединяя условия, получаем решение: $x$ должен быть больше -4, но не равен 1.

Ответ: $x \in (-4; 1) \cup (1; +\infty)$.

з)

Решим неравенство $(x^2 + 1)(x^2 + x + 1)^3(x + 5)^5 < 0$.

1. Проанализируем множители:
Множитель $(x^2 + 1) > 0$ для любого $x$. На знак не влияет.
Множитель $(x^2 + x + 1)$. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$. Так как старший коэффициент положителен, выражение $(x^2 + x + 1) > 0$ для любого $x$. Следовательно, и $(x^2 + x + 1)^3 > 0$ для любого $x$. На знак не влияет.

2. Так как первые два множителя всегда положительны, мы можем разделить на них обе части неравенства, знак при этом не изменится. Неравенство становится эквивалентным:
$(x + 5)^5 < 0$.

3. Неравенство $(x + 5)^5 < 0$ равносильно неравенству $x + 5 < 0$.

4. Решаем $x + 5 < 0 \implies x < -5$.

Ответ: $x \in (-\infty; -5)$.

84 а) $(|x| - 1)^2 > 2$;

б) $|x| - 2 > (x - 2)^2$;

в) $x^2 < 2|x + 1|$;

г) $3|x - 1| > (x - 1)^2$;

д) $x^2 + x - 12 < |x - 2|$;

е) $(x + 2)|x + 3| > 1$.

а) Решим неравенство $(|x|-1)^2 > 2$.
Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств:
1) $|x|-1 > \sqrt{2}$
2) $|x|-1 < -\sqrt{2}$

Решим первое неравенство:
$|x| > 1 + \sqrt{2}$
Это означает, что $x > 1 + \sqrt{2}$ или $x < -(1 + \sqrt{2})$.

Решим второе неравенство:
$|x| < 1 - \sqrt{2}$
Поскольку $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $1 - \sqrt{2} < 0$. Абсолютная величина $|x|$ всегда неотрицательна ($|x| \ge 0$), поэтому она не может быть меньше отрицательного числа. Следовательно, это неравенство не имеет решений.

Объединяя решения, получаем итоговый ответ.
Ответ: $x \in (-\infty; -1-\sqrt{2}) \cup (1+\sqrt{2}; \infty)$.

б) Решим неравенство $|x| - 2 > (x-2)^2$.
Рассмотрим два случая.

Случай 1: $x \ge 0$.
Неравенство принимает вид $x - 2 > (x-2)^2$.
Сделаем замену $y = x - 2$. Получим $y > y^2$.
$y^2 - y < 0$
$y(y-1) < 0$
Решением этого неравенства является интервал $0 < y < 1$.
Возвращаясь к переменной $x$: $0 < x - 2 < 1$.
Прибавив 2 ко всем частям, получим $2 < x < 3$.
Этот интервал удовлетворяет условию $x \ge 0$.

Случай 2: $x < 0$.
Неравенство принимает вид $-x - 2 > (x-2)^2$.
$-x - 2 > x^2 - 4x + 4$
$x^2 - 3x + 6 < 0$
Найдем дискриминант квадратного трехчлена $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 9 - 24 = -15$.
Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен ($1 > 0$), трехчлен $x^2 - 3x + 6$ всегда положителен. Следовательно, неравенство $x^2 - 3x + 6 < 0$ не имеет решений.

Объединяя результаты двух случаев, получаем решение.
Ответ: $x \in (2; 3)$.

в) Решим неравенство $x^2 < 2|x+1|$.
Рассмотрим два случая.

Случай 1: $x+1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$.
Неравенство принимает вид $x^2 < 2(x+1)$.
$x^2 - 2x - 2 < 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 2 = 0$: $x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(-2)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$.
Решением неравенства является интервал $(1-\sqrt{3}; 1+\sqrt{3})$.
Учитывая условие $x \ge -1$, и то, что $1-\sqrt{3} \approx 1-1.732 = -0.732 > -1$, получаем решение для этого случая: $x \in (1-\sqrt{3}; 1+\sqrt{3})$.

Случай 2: $x+1 < 0$, то есть $x < -1$.
Неравенство принимает вид $x^2 < -2(x+1)$.
$x^2 + 2x + 2 < 0$.
Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4-8 = -4$.
Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен, трехчлен $x^2 + 2x + 2$ всегда положителен, и неравенство не имеет решений.

Итоговое решение — это решение из первого случая.
Ответ: $x \in (1 - \sqrt{3}; 1 + \sqrt{3})$.

г) Решим неравенство $3|x-1| > (x-1)^2$.
Так как $(x-1)^2 = |x-1|^2$, неравенство можно переписать в виде $3|x-1| > |x-1|^2$.
Сделаем замену $y = |x-1|$, где $y \ge 0$.
$3y > y^2$
$y^2 - 3y < 0$
$y(y-3) < 0$
Решением этого неравенства является интервал $0 < y < 3$.
Возвращаясь к переменной $x$, получаем $0 < |x-1| < 3$.
Это двойное неравенство равносильно системе:
$\begin{cases} |x-1| > 0 \\ |x-1| < 3 \end{cases}$
Первое неравенство $|x-1| > 0$ выполняется для всех $x$, кроме $x=1$.
Второе неравенство $|x-1| < 3$ равносильно $-3 < x-1 < 3$, что дает $-2 < x < 4$.
Объединяя эти условия, получаем решение: $x \in (-2; 4)$ и $x \neq 1$.
Ответ: $x \in (-2; 1) \cup (1; 4)$.

д) Решим неравенство $x^2+x-12 < |x-2|$.
Рассмотрим два случая.

Случай 1: $x-2 \ge 0$, то есть $x \ge 2$.
Неравенство принимает вид $x^2+x-12 < x-2$.
$x^2 - 10 < 0$
$x^2 < 10$
$-\sqrt{10} < x < \sqrt{10}$.
Пересекая с условием $x \ge 2$, получаем решение для этого случая: $x \in [2; \sqrt{10})$.

Случай 2: $x-2 < 0$, то есть $x < 2$.
Неравенство принимает вид $x^2+x-12 < -(x-2)$.
$x^2+x-12 < -x+2$
$x^2+2x-14 < 0$.
Найдем корни уравнения $x^2+2x-14=0$: $x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(-14)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{60}}{2} = -1 \pm \sqrt{15}$.
Решением неравенства является интервал $(-1-\sqrt{15}; -1+\sqrt{15})$.
Пересекая с условием $x < 2$, и учитывая, что $-1+\sqrt{15} \approx -1+3.87 = 2.87 > 2$, получаем решение для этого случая: $x \in (-1-\sqrt{15}; 2)$.

Объединим решения из обоих случаев: $(-1-\sqrt{15}; 2) \cup [2; \sqrt{10}) = (-1-\sqrt{15}; \sqrt{10})$.
Ответ: $x \in (-1-\sqrt{15}; \sqrt{10})$.

е) Решим неравенство $(x+2)|x+3| > 1$.
Рассмотрим два случая.

Случай 1: $x+3 > 0$, то есть $x > -3$.
Неравенство принимает вид $(x+2)(x+3) > 1$.
$x^2 + 5x + 6 > 1$
$x^2 + 5x + 5 > 0$.
Найдем корни уравнения $x^2+5x+5=0$: $x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 5}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{5}}{2}$.
Решением неравенства является $x < \frac{-5 - \sqrt{5}}{2}$ или $x > \frac{-5 + \sqrt{5}}{2}$.
Учитывая условие $x > -3$ и то, что $\frac{-5 - \sqrt{5}}{2} \approx \frac{-5 - 2.24}{2} \approx -3.62 < -3$, а $\frac{-5 + \sqrt{5}}{2} \approx \frac{-5 + 2.24}{2} \approx -1.38 > -3$, решением для этого случая будет $x > \frac{-5 + \sqrt{5}}{2}$.

Случай 2: $x+3 < 0$, то есть $x < -3$.
Неравенство принимает вид $(x+2)(-(x+3)) > 1$.
$-(x^2 + 5x + 6) > 1$
$x^2 + 5x + 6 < -1$
$x^2 + 5x + 7 < 0$.
Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 25 - 28 = -3$.
Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен, трехчлен всегда положителен, и неравенство не имеет решений.

Случай $x+3=0$ ($x=-3$) также не является решением, так как $0 > 1$ ложно.
Итоговое решение — это решение из первого случая.
Ответ: $x \in (\frac{-5 + \sqrt{5}}{2}; \infty)$.

85 а) $||x^2 - 8x + 2|-x^2| \geq 2x + 2;$

б) $||x^2 + 3x - 8|-x^2| \geq 8 - x;$

в) $||x^2 - 9x + 6|-x^2| \geq 6 - x;$

г) $||x^2 + 5x - 18|-x^2| \geq 18 - x.$

а) Исходное неравенство: $||x^2 - 8x + 2| - x^2| \ge 2x + 2$.
Это неравенство вида $|A| \ge B$, где $A = |x^2 - 8x + 2| - x^2$ и $B = 2x + 2$. Оно равносильно совокупности двух неравенств:
1) $|x^2 - 8x + 2| - x^2 \ge 2x + 2$
2) $|x^2 - 8x + 2| - x^2 \le -(2x + 2)$

Рассмотрим первое неравенство: $|x^2 - 8x + 2| \ge x^2 + 2x + 2$.Квадратный трехчлен $x^2 + 2x + 2$ имеет отрицательный дискриминант ($D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = -4 < 0$) и положительный старший коэффициент, следовательно, $x^2 + 2x + 2 > 0$ для всех $x$.Поэтому неравенство равносильно совокупности:
$x^2 - 8x + 2 \ge x^2 + 2x + 2$ или $x^2 - 8x + 2 \le -(x^2 + 2x + 2)$.
Решаем первое: $-8x + 2 \ge 2x + 2 \implies -10x \ge 0 \implies x \le 0$.
Решаем второе: $x^2 - 8x + 2 \le -x^2 - 2x - 2 \implies 2x^2 - 6x + 4 \le 0 \implies x^2 - 3x + 2 \le 0$. Корни уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$ это $x_1=1, x_2=2$. Следовательно, $1 \le x \le 2$.
Решение первого случая: $x \in (-\infty, 0] \cup [1, 2]$.

Рассмотрим второе неравенство: $|x^2 - 8x + 2| \le x^2 - 2x - 2$.Это неравенство может иметь решение только если правая часть неотрицательна: $x^2 - 2x - 2 \ge 0$. Корни уравнения $x^2 - 2x - 2 = 0$ это $x = 1 \pm \sqrt{3}$. Значит, $x \in (-\infty, 1-\sqrt{3}] \cup [1+\sqrt{3}, \infty)$.При этом условии неравенство равносильно системе:
$-(x^2 - 2x - 2) \le x^2 - 8x + 2$ и $x^2 - 8x + 2 \le x^2 - 2x - 2$.
Решаем первое: $-x^2 + 2x + 2 \le x^2 - 8x + 2 \implies 0 \le 2x^2 - 10x \implies 0 \le x(x-5) \implies x \in (-\infty, 0] \cup [5, \infty)$.
Решаем второе: $-8x + 2 \le -2x - 2 \implies 4 \le 6x \implies x \ge 2/3$.
Пересечение решений системы: $(-\infty, 0] \cup [5, \infty)$ и $[2/3, \infty)$ дает $[5, \infty)$.
Теперь учтем условие $x \in (-\infty, 1-\sqrt{3}] \cup [1+\sqrt{3}, \infty)$. Поскольку $1+\sqrt{3} \approx 2.73$, интервал $[5, \infty)$ полностью удовлетворяет этому условию.
Решение второго случая: $x \in [5, \infty)$.

Объединяя решения обоих случаев, получаем итоговый ответ.
Ответ: $x \in (-\infty, 0] \cup [1, 2] \cup [5, \infty)$.

б) Исходное неравенство: $||x^2 + 3x - 8| - x^2| \ge 8 - x$.
Это неравенство равносильно совокупности:
1) $|x^2 + 3x - 8| - x^2 \ge 8 - x$
2) $|x^2 + 3x - 8| - x^2 \le -(8 - x)$

Рассмотрим первое неравенство: $|x^2 + 3x - 8| \ge x^2 - x + 8$.Квадратный трехчлен $x^2 - x + 8$ имеет $D < 0$ и всегда положителен. Неравенство равносильно совокупности:
$x^2 + 3x - 8 \ge x^2 - x + 8$ или $x^2 + 3x - 8 \le -(x^2 - x + 8)$.
Решаем первое: $4x \ge 16 \implies x \ge 4$.
Решаем второе: $x^2 + 3x - 8 \le -x^2 + x - 8 \implies 2x^2 + 2x \le 0 \implies 2x(x+1) \le 0 \implies -1 \le x \le 0$.
Решение первого случая: $x \in [-1, 0] \cup [4, \infty)$.

Рассмотрим второе неравенство: $|x^2 + 3x - 8| \le x^2 + x - 8$.Условие $x^2 + x - 8 \ge 0$. Корни $x = \frac{-1 \pm \sqrt{33}}{2}$. Значит, $x \in (-\infty, \frac{-1-\sqrt{33}}{2}] \cup [\frac{-1+\sqrt{33}}{2}, \infty)$.При этом условии решаем систему:
$-(x^2 + x - 8) \le x^2 + 3x - 8$ и $x^2 + 3x - 8 \le x^2 + x - 8$.
Решаем первое: $0 \le 2x^2 + 4x - 16 \implies x^2+2x-8 \ge 0 \implies (x+4)(x-2) \ge 0 \implies x \in (-\infty, -4] \cup [2, \infty)$.
Решаем второе: $2x \le 0 \implies x \le 0$.
Пересечение решений системы дает $x \in (-\infty, -4]$.
Учтем условие: $\frac{-1-\sqrt{33}}{2} \approx -3.37$. Так как $-4 < \frac{-1-\sqrt{33}}{2}$, интервал $(-\infty, -4]$ удовлетворяет условию.
Решение второго случая: $x \in (-\infty, -4]$.

Объединяя решения обоих случаев, получаем итоговый ответ.
Ответ: $x \in (-\infty, -4] \cup [-1, 0] \cup [4, \infty)$.

в) Исходное неравенство: $||x^2 - 9x + 6| - x^2| \ge 6 - x$.
Это неравенство равносильно совокупности:
1) $|x^2 - 9x + 6| - x^2 \ge 6 - x$
2) $|x^2 - 9x + 6| - x^2 \le -(6 - x)$

Рассмотрим первое неравенство: $|x^2 - 9x + 6| \ge x^2 - x + 6$.Квадратный трехчлен $x^2 - x + 6$ имеет $D < 0$ и всегда положителен. Неравенство равносильно совокупности:
$x^2 - 9x + 6 \ge x^2 - x + 6$ или $x^2 - 9x + 6 \le -(x^2 - x + 6)$.
Решаем первое: $-8x \ge 0 \implies x \le 0$.
Решаем второе: $2x^2 - 10x + 12 \le 0 \implies x^2 - 5x + 6 \le 0 \implies (x-2)(x-3) \le 0 \implies 2 \le x \le 3$.
Решение первого случая: $x \in (-\infty, 0] \cup [2, 3]$.

Рассмотрим второе неравенство: $|x^2 - 9x + 6| \le x^2 + x - 6$.Условие $x^2 + x - 6 \ge 0 \implies (x+3)(x-2) \ge 0$. Значит, $x \in (-\infty, -3] \cup [2, \infty)$.При этом условии решаем систему:
$-(x^2 + x - 6) \le x^2 - 9x + 6$ и $x^2 - 9x + 6 \le x^2 + x - 6$.
Решаем первое: $0 \le 2x^2 - 8x \implies 0 \le 2x(x-4) \implies x \in (-\infty, 0] \cup [4, \infty)$.
Решаем второе: $12 \le 10x \implies x \ge 1.2$.
Пересечение решений системы дает $x \in [4, \infty)$.
Учтем условие: интервал $[4, \infty)$ полностью содержится в $(-\infty, -3] \cup [2, \infty)$.
Решение второго случая: $x \in [4, \infty)$.

Объединяя решения обоих случаев, получаем итоговый ответ.
Ответ: $x \in (-\infty, 0] \cup [2, 3] \cup [4, \infty)$.

г) Исходное неравенство: $||x^2 + 5x - 18| - x^2| \ge 18 - x$.
Это неравенство равносильно совокупности:
1) $|x^2 + 5x - 18| - x^2 \ge 18 - x$
2) $|x^2 + 5x - 18| - x^2 \le -(18 - x)$

Рассмотрим первое неравенство: $|x^2 + 5x - 18| \ge x^2 - x + 18$.Квадратный трехчлен $x^2 - x + 18$ имеет $D < 0$ и всегда положителен. Неравенство равносильно совокупности:
$x^2 + 5x - 18 \ge x^2 - x + 18$ или $x^2 + 5x - 18 \le -(x^2 - x + 18)$.
Решаем первое: $6x \ge 36 \implies x \ge 6$.
Решаем второе: $2x^2 + 4x \le 0 \implies 2x(x+2) \le 0 \implies -2 \le x \le 0$.
Решение первого случая: $x \in [-2, 0] \cup [6, \infty)$.

Рассмотрим второе неравенство: $|x^2 + 5x - 18| \le x^2 + x - 18$.Условие $x^2 + x - 18 \ge 0$. Корни $x = \frac{-1 \pm \sqrt{73}}{2}$. Значит, $x \in (-\infty, \frac{-1-\sqrt{73}}{2}] \cup [\frac{-1+\sqrt{73}}{2}, \infty)$.При этом условии решаем систему:
$-(x^2 + x - 18) \le x^2 + 5x - 18$ и $x^2 + 5x - 18 \le x^2 + x - 18$.
Решаем первое: $0 \le 2x^2 + 6x - 36 \implies x^2+3x-18 \ge 0 \implies (x+6)(x-3) \ge 0 \implies x \in (-\infty, -6] \cup [3, \infty)$.
Решаем второе: $4x \le 0 \implies x \le 0$.
Пересечение решений системы дает $x \in (-\infty, -6]$.
Учтем условие: $\frac{-1-\sqrt{73}}{2} \approx -4.77$. Так как $-6 < \frac{-1-\sqrt{73}}{2}$, интервал $(-\infty, -6]$ удовлетворяет условию.
Решение второго случая: $x \in (-\infty, -6]$.

Объединяя решения обоих случаев, получаем итоговый ответ.
Ответ: $x \in (-\infty, -6] \cup [-2, 0] \cup [6, \infty)$.

86 а) $ \frac{2x + 1}{x + 9} < 1; $

б) $ \frac{x + 5}{x - 4} > 1; $

в) $ \frac{x + 4}{x} < 1; $

г) $ x + 7 < - \frac{16}{x - 1}; $

д) $ x < 7 - \frac{16}{x + 1}; $

е) $ x > \frac{2}{x - 1}. $

а) $\frac{2x + 1}{x + 9} < 1$

Перенесем 1 в левую часть неравенства и приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{2x + 1}{x + 9} - 1 < 0$

$\frac{2x + 1 - (x + 9)}{x + 9} < 0$

$\frac{2x + 1 - x - 9}{x + 9} < 0$

$\frac{x - 8}{x + 9} < 0$

Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдем точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль:

Нуль числителя: $x - 8 = 0 \Rightarrow x = 8$.

Нуль знаменателя: $x + 9 = 0 \Rightarrow x = -9$.

Отметим эти точки на числовой оси. Так как неравенство строгое, обе точки будут "выколотыми". Точки -9 и 8 разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty, -9)$, $(-9, 8)$ и $(8, \infty)$.

Определим знак выражения $\frac{x - 8}{x + 9}$ на каждом из интервалов:

• Интервал $(-\infty, -9)$: возьмем $x = -10$. $\frac{-10 - 8}{-10 + 9} = \frac{-18}{-1} = 18 > 0$. Знак "+".
• Интервал $(-9, 8)$: возьмем $x = 0$. $\frac{0 - 8}{0 + 9} = -\frac{8}{9} < 0$. Знак "-".
• Интервал $(8, \infty)$: возьмем $x = 10$. $\frac{10 - 8}{10 + 9} = \frac{2}{19} > 0$. Знак "+".

Так как нас интересует, где выражение меньше нуля, выбираем интервал со знаком "-".

Ответ: $x \in (-9, 8)$.

б) $\frac{x + 5}{x - 4} > 1$

Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{x + 5}{x - 4} - 1 > 0$

$\frac{x + 5 - (x - 4)}{x - 4} > 0$

$\frac{x + 5 - x + 4}{x - 4} > 0$

$\frac{9}{x - 4} > 0$

Числитель дроби, равный 9, является положительным числом. Следовательно, для того чтобы вся дробь была больше нуля, ее знаменатель также должен быть положителен.

$x - 4 > 0$

$x > 4$

Ответ: $x \in (4, \infty)$.

в) $\frac{x + 4}{x} < 1$

Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{x + 4}{x} - 1 < 0$

$\frac{x + 4 - x}{x} < 0$

$\frac{4}{x} < 0$

Числитель дроби, равный 4, является положительным числом. Для того чтобы вся дробь была меньше нуля, ее знаменатель должен быть отрицателен.

$x < 0$

Ответ: $x \in (-\infty, 0)$.

г) $x + 7 < -\frac{16}{x - 1}$

Перенесем все слагаемые в левую часть неравенства:

$x + 7 + \frac{16}{x - 1} < 0$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{(x + 7)(x - 1) + 16}{x - 1} < 0$

$\frac{x^2 - x + 7x - 7 + 16}{x - 1} < 0$

$\frac{x^2 + 6x + 9}{x - 1} < 0$

В числителе стоит полный квадрат суммы:

$\frac{(x + 3)^2}{x - 1} < 0$

Выражение $(x + 3)^2$ неотрицательно при любых значениях $x$, т.е. $(x + 3)^2 \ge 0$. Так как неравенство строгое, равенство нулю исключается, поэтому $x \neq -3$. При $x \neq -3$ числитель $(x + 3)^2$ строго положителен. Чтобы вся дробь была отрицательной, знаменатель должен быть отрицательным:

$x - 1 < 0 \Rightarrow x < 1$.

Объединяем два условия: $x < 1$ и $x \neq -3$.

Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup (-3, 1)$.

д) $x < 7 - \frac{16}{x + 1}$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$x - 7 + \frac{16}{x + 1} < 0$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{(x - 7)(x + 1) + 16}{x + 1} < 0$

$\frac{x^2 + x - 7x - 7 + 16}{x + 1} < 0$

$\frac{x^2 - 6x + 9}{x + 1} < 0$

В числителе стоит полный квадрат разности:

$\frac{(x - 3)^2}{x + 1} < 0$

Выражение $(x - 3)^2$ неотрицательно при любых значениях $x$. Так как неравенство строгое, равенство нулю исключается, поэтому $x \neq 3$. При $x \neq 3$ числитель $(x - 3)^2$ строго положителен. Чтобы вся дробь была отрицательной, знаменатель должен быть отрицательным:

$x + 1 < 0 \Rightarrow x < -1$.

Условие $x < -1$ автоматически исключает значение $x=3$, поэтому дополнительно его учитывать не нужно.

Ответ: $x \in (-\infty, -1)$.

е) $x > \frac{2}{x - 1}$

Перенесем дробь в левую часть:

$x - \frac{2}{x - 1} > 0$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{x(x - 1) - 2}{x - 1} > 0$

$\frac{x^2 - x - 2}{x - 1} > 0$

Разложим числитель на множители. Для этого найдем корни квадратного уравнения $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета, $x_1 + x_2 = 1$ и $x_1 \cdot x_2 = -2$. Корни равны $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Тогда неравенство принимает вид:

$\frac{(x - 2)(x + 1)}{x - 1} > 0$

Решим методом интервалов. Нули числителя: $x = 2, x = -1$. Нуль знаменателя: $x = 1$.

Отметим точки -1, 1, 2 на числовой оси (все точки выколотые). Они разбивают ось на интервалы: $(-\infty, -1)$, $(-1, 1)$, $(1, 2)$ и $(2, \infty)$.

Определим знак выражения в каждом интервале:

• Интервал $(-\infty, -1)$: возьмем $x = -2$. $\frac{(-)(-)}{(-)} < 0$. Знак "-".
• Интервал $(-1, 1)$: возьмем $x = 0$. $\frac{(-)(+)}{(-)} > 0$. Знак "+".
• Интервал $(1, 2)$: возьмем $x = 1.5$. $\frac{(-)(+)}{(+)} < 0$. Знак "-".
• Интервал $(2, \infty)$: возьмем $x = 3$. $\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$. Знак "+".

Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля (со знаком "+").

Ответ: $x \in (-1, 1) \cup (2, \infty)$.

87 a) $4x + 7 \le \frac{2}{x}$;

б) $\frac{1}{x - 1} > 1$;

в) $\frac{x + 1}{x - 1} > 3$;

г) $\frac{x}{2x - 1} < \frac{1}{3}$.

а) $4x+7 \le \frac{2}{x}$
Для решения данного неравенства перенесем все его члены в левую часть и приведем к общему знаменателю. Область допустимых значений (ОДЗ) для этого неравенства: $x \ne 0$.
$4x + 7 - \frac{2}{x} \le 0$
$\frac{4x^2 + 7x - 2}{x} \le 0$
Теперь решим это неравенство методом интервалов. Для этого найдем нули числителя и знаменателя.
Нули числителя: $4x^2 + 7x - 2 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-2) = 49 + 32 = 81$.
Найдем корни: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm 9}{8}$.
$x_1 = \frac{-7 - 9}{8} = \frac{-16}{8} = -2$.
$x_2 = \frac{-7 + 9}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
Нуль знаменателя: $x=0$.
Нанесем найденные точки на числовую ось. Точки $x=-2$ и $x=\frac{1}{4}$ будут закрашенными, так как неравенство нестрогое ($\le$), а точка $x=0$ будет выколотой, так как она обращает знаменатель в ноль.
Определим знаки выражения $\frac{4x^2 + 7x - 2}{x}$ на полученных интервалах:
- при $x > \frac{1}{4}$ (например, $x=1$): $\frac{4(1)^2+7(1)-2}{1} = 9 > 0$. Знак «+».
- при $0 < x < \frac{1}{4}$ (например, $x=0.1$): $\frac{4(0.01)+7(0.1)-2}{0.1} = \frac{-1.26}{0.1} < 0$. Знак «−».
- при $-2 < x < 0$ (например, $x=-1$): $\frac{4(-1)^2+7(-1)-2}{-1} = \frac{-5}{-1} = 5 > 0$. Знак «+».
- при $x < -2$ (например, $x=-3$): $\frac{4(-3)^2+7(-3)-2}{-3} = \frac{13}{-3} < 0$. Знак «−».
Нам нужны интервалы, где выражение меньше или равно нулю. Это $(-\infty; -2]$ и $(0; \frac{1}{4}]$.
Ответ: $x \in (-\infty; -2] \cup (0; \frac{1}{4}]$.

б) $\frac{1}{x-1} > 1$
Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю. ОДЗ: $x \ne 1$.
$\frac{1}{x-1} - 1 > 0$
$\frac{1 - (x-1)}{x-1} > 0$
$\frac{1 - x + 1}{x-1} > 0$
$\frac{2 - x}{x-1} > 0$
Решаем методом интервалов. Нули числителя: $2-x=0 \Rightarrow x=2$. Нули знаменателя: $x-1=0 \Rightarrow x=1$.
Нанесем точки $x=1$ и $x=2$ на числовую ось. Обе точки выколотые, так как неравенство строгое.
Определим знаки на интервалах:
- при $x > 2$ (например, $x=3$): $\frac{2-3}{3-1} = \frac{-1}{2} < 0$. Знак «−».
- при $1 < x < 2$ (например, $x=1.5$): $\frac{2-1.5}{1.5-1} = \frac{0.5}{0.5} > 0$. Знак «+».
- при $x < 1$ (например, $x=0$): $\frac{2-0}{0-1} = -2 < 0$. Знак «−».
Нам нужен интервал, где выражение больше нуля. Это $(1; 2)$.
Ответ: $x \in (1; 2)$.

в) $\frac{x+1}{x-1} > 3$
Перенесем 3 в левую часть и приведем к общему знаменателю. ОДЗ: $x \ne 1$.
$\frac{x+1}{x-1} - 3 > 0$
$\frac{x+1 - 3(x-1)}{x-1} > 0$
$\frac{x+1 - 3x + 3}{x-1} > 0$
$\frac{4 - 2x}{x-1} > 0$
Решаем методом интервалов. Нули числителя: $4-2x=0 \Rightarrow x=2$. Нули знаменателя: $x-1=0 \Rightarrow x=1$.
Нанесем точки $x=1$ и $x=2$ на числовую ось. Обе точки выколотые.
Определим знаки на интервалах:
- при $x > 2$ (например, $x=3$): $\frac{4-2(3)}{3-1} = \frac{-2}{2} < 0$. Знак «−».
- при $1 < x < 2$ (например, $x=1.5$): $\frac{4-2(1.5)}{1.5-1} = \frac{1}{0.5} > 0$. Знак «+».
- при $x < 1$ (например, $x=0$): $\frac{4-0}{0-1} = -4 < 0$. Знак «−».
Нам нужен интервал, где выражение больше нуля. Это $(1; 2)$.
Ответ: $x \in (1; 2)$.

г) $\frac{x}{2x-1} < \frac{1}{3}$
Перенесем $\frac{1}{3}$ в левую часть и приведем к общему знаменателю. ОДЗ: $2x-1 \ne 0 \Rightarrow x \ne \frac{1}{2}$.
$\frac{x}{2x-1} - \frac{1}{3} < 0$
$\frac{3x - (2x-1)}{3(2x-1)} < 0$
$\frac{3x - 2x + 1}{3(2x-1)} < 0$
$\frac{x+1}{3(2x-1)} < 0$
Решаем методом интервалов. Нули числителя: $x+1=0 \Rightarrow x=-1$. Нули знаменателя: $2x-1=0 \Rightarrow x=\frac{1}{2}$.
Нанесем точки $x=-1$ и $x=\frac{1}{2}$ на числовую ось. Обе точки выколотые.
Определим знаки на интервалах:
- при $x > \frac{1}{2}$ (например, $x=1$): $\frac{1+1}{3(2-1)} > 0$. Знак «+».
- при $-1 < x < \frac{1}{2}$ (например, $x=0$): $\frac{0+1}{3(0-1)} < 0$. Знак «−».
- при $x < -1$ (например, $x=-2$): $\frac{-2+1}{3(-4-1)} > 0$. Знак «+».
Нам нужен интервал, где выражение меньше нуля. Это $(-1; \frac{1}{2})$.
Ответ: $x \in (-1; \frac{1}{2})$.

88 a) $\frac{x-3}{3x} \ge \frac{1}{2};$

б) $\frac{x-2}{2x} \le \frac{1}{3}.$

а)

Решим неравенство $\frac{x-3}{3x} \ge \frac{1}{2}$.

Сначала перенесем все члены в левую часть неравенства, чтобы сравнить выражение с нулем:

$\frac{x-3}{3x} - \frac{1}{2} \ge 0$

Приведем дроби к общему знаменателю, который равен $6x$:

$\frac{2(x-3)}{6x} - \frac{3x}{6x} \ge 0$

Выполним вычитание дробей:

$\frac{2x - 6 - 3x}{6x} \ge 0$

$\frac{-x - 6}{6x} \ge 0$

Теперь решим полученное неравенство методом интервалов. Для этого найдем нули числителя и знаменателя.

1. Найдем нуль числителя: $-x - 6 = 0 \implies -x = 6 \implies x = -6$. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), эта точка будет входить в решение.

2. Найдем нуль знаменателя: $6x = 0 \implies x = 0$. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому эта точка не будет входить в решение (будет "выколотой").

Нанесем точки $-6$ и $0$ на числовую ось. Они разбивают ее на три интервала: $(-\infty, -6]$, $(-6, 0)$ и $(0, \infty)$.

Определим знак выражения $\frac{-x - 6}{6x}$ в каждом из интервалов:

• В интервале $(-\infty, -6]$ (возьмем $x=-7$): $\frac{-(-7) - 6}{6(-7)} = \frac{7 - 6}{-42} = \frac{1}{-42} < 0$. Знак "минус".
• В интервале $(-6, 0)$ (возьмем $x=-1$): $\frac{-(-1) - 6}{6(-1)} = \frac{1 - 6}{-6} = \frac{-5}{-6} > 0$. Знак "плюс".
• В интервале $(0, \infty)$ (возьмем $x=1$): $\frac{-1 - 6}{6(1)} = \frac{-7}{6} < 0$. Знак "минус".

Поскольку мы ищем, где выражение больше или равно нулю ($\ge 0$), нас интересует интервал со знаком "плюс", включая корень числителя. Это интервал от $-6$ до $0$.

Ответ: $x \in [-6, 0)$.

б)

Решим неравенство $\frac{x-2}{2x} \le \frac{1}{3}$.

Перенесем все члены в левую часть:

$\frac{x-2}{2x} - \frac{1}{3} \le 0$

Приведем дроби к общему знаменателю $6x$:

$\frac{3(x-2)}{6x} - \frac{2x}{6x} \le 0$

Объединим дроби:

$\frac{3x - 6 - 2x}{6x} \le 0$

$\frac{x - 6}{6x} \le 0$

Решим это неравенство методом интервалов.

1. Найдем нуль числителя: $x - 6 = 0 \implies x = 6$. Так как неравенство нестрогое ($\le$), эта точка будет входить в решение.

2. Найдем нуль знаменателя: $6x = 0 \implies x = 0$. Эта точка не входит в область определения, поэтому она не будет входить в решение.

Нанесем точки $0$ и $6$ на числовую ось. Они разбивают ее на три интервала: $(-\infty, 0)$, $(0, 6]$ и $[6, \infty)$.

Определим знак выражения $\frac{x - 6}{6x}$ в каждом из интервалов:

• В интервале $(-\infty, 0)$ (возьмем $x=-1$): $\frac{-1 - 6}{6(-1)} = \frac{-7}{-6} > 0$. Знак "плюс".
• В интервале $(0, 6]$ (возьмем $x=1$): $\frac{1 - 6}{6(1)} = \frac{-5}{6} < 0$. Знак "минус".
• В интервале $[6, \infty)$ (возьмем $x=7$): $\frac{7 - 6}{6(7)} = \frac{1}{42} > 0$. Знак "плюс".

Поскольку мы ищем, где выражение меньше или равно нулю ($\le 0$), нас интересует интервал со знаком "минус", включая корень числителя. Это интервал от $0$ до $6$.

Ответ: $x \in (0, 6]$.

89 a) $\frac{2-3x}{x+2} \le 5;$

б) $\frac{3-4x}{x-1} \ge 2.$

a) Решим неравенство $\frac{2-3x}{x+2} \le 5$.

Для решения перенесем все слагаемые в левую часть и приведем их к общему знаменателю. Знаменатель $x+2$ не должен быть равен нулю, то есть $x \ne -2$.

$\frac{2-3x}{x+2} - 5 \le 0$

$\frac{2-3x - 5(x+2)}{x+2} \le 0$

$\frac{2-3x - 5x - 10}{x+2} \le 0$

$\frac{-8x - 8}{x+2} \le 0$

Вынесем общий множитель $-8$ в числителе:

$\frac{-8(x+1)}{x+2} \le 0$

Разделим обе части неравенства на $-8$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

$\frac{x+1}{x+2} \ge 0$

Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдем точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль.

Нуль числителя: $x+1=0 \implies x=-1$. Так как неравенство нестрогое, эта точка является решением.

Нуль знаменателя: $x+2=0 \implies x=-2$. Эта точка не является решением, так как знаменатель не может быть равен нулю.

Отметим точки $-2$ (выколотая) и $-1$ (закрашенная) на числовой оси. Они разбивают ось на три интервала: $(-\infty, -2)$, $(-2, -1]$ и $[-1, \infty)$.

Определим знаки выражения $\frac{x+1}{x+2}$ на каждом интервале.

- В интервале $(-\infty, -2)$ (возьмем $x=-3$): $\frac{-3+1}{-3+2} = \frac{-2}{-1} = 2 > 0$. Знак «+».

- В интервале $(-2, -1]$ (возьмем $x=-1.5$): $\frac{-1.5+1}{-1.5+2} = \frac{-0.5}{0.5} = -1 < 0$. Знак «−».

- В интервале $[-1, \infty)$ (возьмем $x=0$): $\frac{0+1}{0+2} = \frac{1}{2} > 0$. Знак «+».

Мы ищем значения $x$, при которых выражение $\frac{x+1}{x+2}$ больше или равно нулю. Это соответствует интервалам со знаком «+» и точке, где числитель равен нулю.

Следовательно, решением является объединение интервалов $(-\infty, -2)$ и $[-1, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup [-1, \infty)$.

б) Решим неравенство $\frac{3-4x}{x-1} \ge 2$.

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем к общему знаменателю. Область допустимых значений: $x-1 \ne 0$, то есть $x \ne 1$.

$\frac{3-4x}{x-1} - 2 \ge 0$

$\frac{3-4x - 2(x-1)}{x-1} \ge 0$

$\frac{3-4x - 2x + 2}{x-1} \ge 0$

$\frac{5-6x}{x-1} \ge 0$

Решим неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.

Нуль числителя: $5-6x=0 \implies 6x=5 \implies x=\frac{5}{6}$. Точка включается в решение, так как неравенство нестрогое.

Нуль знаменателя: $x-1=0 \implies x=1$. Точка не включается в решение.

Отметим точки $\frac{5}{6}$ (закрашенная) и $1$ (выколотая) на числовой оси. Они разбивают ось на три интервала: $(-\infty, \frac{5}{6}]$, $[\frac{5}{6}, 1)$ и $(1, \infty)$.

Определим знаки выражения $\frac{5-6x}{x-1}$ на каждом интервале.

- В интервале $(-\infty, \frac{5}{6}]$ (возьмем $x=0$): $\frac{5-0}{0-1} = -5 < 0$. Знак «−».

- В интервале $[\frac{5}{6}, 1)$ (возьмем $x=0.9$): $\frac{5-6(0.9)}{0.9-1} = \frac{5-5.4}{-0.1} = \frac{-0.4}{-0.1} = 4 > 0$. Знак «+».

- В интервале $(1, \infty)$ (возьмем $x=2$): $\frac{5-6(2)}{2-1} = \frac{5-12}{1} = -7 < 0$. Знак «−».

Мы ищем значения $x$, при которых выражение $\frac{5-6x}{x-1}$ больше или равно нулю. Это соответствует интервалу со знаком «+» и точке, где числитель равен нулю.

Следовательно, решением является интервал $[\frac{5}{6}, 1)$.

Ответ: $x \in [\frac{5}{6}, 1)$.

90 a) $x \le \frac{8x - 2}{x + 5};$

б) $\frac{6x + 6}{x + 7} \ge x.$

Решим неравенство $x \le \frac{8x - 2}{x + 5}$.

Для решения перенесем все члены в левую часть, чтобы сравнить выражение с нулем:

$x - \frac{8x - 2}{x + 5} \le 0$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{x(x + 5) - (8x - 2)}{x + 5} \le 0$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{x^2 + 5x - 8x + 2}{x + 5} \le 0$

$\frac{x^2 - 3x + 2}{x + 5} \le 0$

Теперь разложим числитель на множители. Для этого найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а их произведение равно 2. Следовательно, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.

Таким образом, неравенство принимает вид:

$\frac{(x - 1)(x - 2)}{x + 5} \le 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль:
Нули числителя: $x = 1$, $x = 2$. Так как неравенство нестрогое ($\le$), эти точки будут входить в решение (закрашенные точки на числовой оси).
Нуль знаменателя: $x = -5$. Эта точка не входит в решение, так как знаменатель не может быть равен нулю (выколотая точка на числовой оси).

Нанесем эти точки на числовую ось и определим знаки выражения на получившихся интервалах:

• При $x < -5$ (например, $x=-6$): $\frac{(-)(-)_}{(-)} = -$. Интервал $(-\infty, -5)$ является решением.
• При $-5 < x < 1$ (например, $x=0$): $\frac{(-)(-)_}{(+)} = +$. Этот интервал не является решением.
• При $1 \le x \le 2$ (например, $x=1.5$): $\frac{(+)(-)_}{(+)} = -$. Интервал $[1, 2]$ является решением.
• При $x > 2$ (например, $x=3$): $\frac{(+)(+)_}{(+)} = +$. Этот интервал не является решением.

Объединяя интервалы, где выражение меньше или равно нулю, получаем окончательное решение.

Ответ: $x \in (-\infty, -5) \cup [1, 2]$.

Решим неравенство $\frac{6x + 6}{x + 7} \ge x$.

Перенесем $x$ в левую часть:

$\frac{6x + 6}{x + 7} - x \ge 0$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{6x + 6 - x(x + 7)}{x + 7} \ge 0$

Упростим числитель:

$\frac{6x + 6 - x^2 - 7x}{x + 7} \ge 0$

$\frac{-x^2 - x + 6}{x + 7} \ge 0$

Для удобства умножим обе части неравенства на $-1$, изменив при этом знак неравенства на противоположный:

$\frac{x^2 + x - 6}{x + 7} \le 0$

Разложим числитель $x^2 + x - 6$ на множители. Найдем корни уравнения $x^2 + x - 6 = 0$. Используя формулу корней квадратного уравнения $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$, получаем:
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-6)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1+24}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2}$.
Корни: $x_1 = \frac{-1-5}{2} = -3$ и $x_2 = \frac{-1+5}{2} = 2$.

Неравенство можно переписать в виде:

$\frac{(x + 3)(x - 2)}{x + 7} \le 0$

Применим метод интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:
Нули числителя: $x = -3$, $x = 2$. Эти точки включаются в решение.
Нуль знаменателя: $x = -7$. Эта точка исключается из решения.

Отметим точки $-7, -3, 2$ на числовой оси и определим знаки выражения в каждом интервале:

• При $x < -7$ (например, $x=-8$): $\frac{(-)(-)_}{(-)} = -$. Интервал $(-\infty, -7)$ является решением.
• При $-7 < x < -3$ (например, $x=-5$): $\frac{(-)(-)_}{(+)} = +$. Этот интервал не является решением.
• При $-3 \le x \le 2$ (например, $x=0$): $\frac{(+)(-)_}{(+)} = -$. Интервал $[-3, 2]$ является решением.
• При $x > 2$ (например, $x=3$): $\frac{(+)(+)_}{(+)} = +$. Этот интервал не является решением.

Объединяем полученные интервалы.

Ответ: $x \in (-\infty, -7) \cup [-3, 2]$.