Номер 84, страница 372 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Решение неравенств. Задания для повторения - номер 84, страница 372.

84 а) $(|x| - 1)^2 > 2$;

б) $|x| - 2 > (x - 2)^2$;

в) $x^2 < 2|x + 1|$;

г) $3|x - 1| > (x - 1)^2$;

д) $x^2 + x - 12 < |x - 2|$;

е) $(x + 2)|x + 3| > 1$.

а) Решим неравенство $(|x|-1)^2 > 2$.
Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств:
1) $|x|-1 > \sqrt{2}$
2) $|x|-1 < -\sqrt{2}$

Решим первое неравенство:
$|x| > 1 + \sqrt{2}$
Это означает, что $x > 1 + \sqrt{2}$ или $x < -(1 + \sqrt{2})$.

Решим второе неравенство:
$|x| < 1 - \sqrt{2}$
Поскольку $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $1 - \sqrt{2} < 0$. Абсолютная величина $|x|$ всегда неотрицательна ($|x| \ge 0$), поэтому она не может быть меньше отрицательного числа. Следовательно, это неравенство не имеет решений.

Объединяя решения, получаем итоговый ответ.
Ответ: $x \in (-\infty; -1-\sqrt{2}) \cup (1+\sqrt{2}; \infty)$.

б) Решим неравенство $|x| - 2 > (x-2)^2$.
Рассмотрим два случая.

Случай 1: $x \ge 0$.
Неравенство принимает вид $x - 2 > (x-2)^2$.
Сделаем замену $y = x - 2$. Получим $y > y^2$.
$y^2 - y < 0$
$y(y-1) < 0$
Решением этого неравенства является интервал $0 < y < 1$.
Возвращаясь к переменной $x$: $0 < x - 2 < 1$.
Прибавив 2 ко всем частям, получим $2 < x < 3$.
Этот интервал удовлетворяет условию $x \ge 0$.

Случай 2: $x < 0$.
Неравенство принимает вид $-x - 2 > (x-2)^2$.
$-x - 2 > x^2 - 4x + 4$
$x^2 - 3x + 6 < 0$
Найдем дискриминант квадратного трехчлена $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 9 - 24 = -15$.
Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен ($1 > 0$), трехчлен $x^2 - 3x + 6$ всегда положителен. Следовательно, неравенство $x^2 - 3x + 6 < 0$ не имеет решений.

Объединяя результаты двух случаев, получаем решение.
Ответ: $x \in (2; 3)$.

в) Решим неравенство $x^2 < 2|x+1|$.
Рассмотрим два случая.

Случай 1: $x+1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$.
Неравенство принимает вид $x^2 < 2(x+1)$.
$x^2 - 2x - 2 < 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 2 = 0$: $x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(-2)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$.
Решением неравенства является интервал $(1-\sqrt{3}; 1+\sqrt{3})$.
Учитывая условие $x \ge -1$, и то, что $1-\sqrt{3} \approx 1-1.732 = -0.732 > -1$, получаем решение для этого случая: $x \in (1-\sqrt{3}; 1+\sqrt{3})$.

Случай 2: $x+1 < 0$, то есть $x < -1$.
Неравенство принимает вид $x^2 < -2(x+1)$.
$x^2 + 2x + 2 < 0$.
Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4-8 = -4$.
Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен, трехчлен $x^2 + 2x + 2$ всегда положителен, и неравенство не имеет решений.

Итоговое решение — это решение из первого случая.
Ответ: $x \in (1 - \sqrt{3}; 1 + \sqrt{3})$.

г) Решим неравенство $3|x-1| > (x-1)^2$.
Так как $(x-1)^2 = |x-1|^2$, неравенство можно переписать в виде $3|x-1| > |x-1|^2$.
Сделаем замену $y = |x-1|$, где $y \ge 0$.
$3y > y^2$
$y^2 - 3y < 0$
$y(y-3) < 0$
Решением этого неравенства является интервал $0 < y < 3$.
Возвращаясь к переменной $x$, получаем $0 < |x-1| < 3$.
Это двойное неравенство равносильно системе:
$\begin{cases} |x-1| > 0 \\ |x-1| < 3 \end{cases}$
Первое неравенство $|x-1| > 0$ выполняется для всех $x$, кроме $x=1$.
Второе неравенство $|x-1| < 3$ равносильно $-3 < x-1 < 3$, что дает $-2 < x < 4$.
Объединяя эти условия, получаем решение: $x \in (-2; 4)$ и $x \neq 1$.
Ответ: $x \in (-2; 1) \cup (1; 4)$.

д) Решим неравенство $x^2+x-12 < |x-2|$.
Рассмотрим два случая.

Случай 1: $x-2 \ge 0$, то есть $x \ge 2$.
Неравенство принимает вид $x^2+x-12 < x-2$.
$x^2 - 10 < 0$
$x^2 < 10$
$-\sqrt{10} < x < \sqrt{10}$.
Пересекая с условием $x \ge 2$, получаем решение для этого случая: $x \in [2; \sqrt{10})$.

Случай 2: $x-2 < 0$, то есть $x < 2$.
Неравенство принимает вид $x^2+x-12 < -(x-2)$.
$x^2+x-12 < -x+2$
$x^2+2x-14 < 0$.
Найдем корни уравнения $x^2+2x-14=0$: $x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(-14)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{60}}{2} = -1 \pm \sqrt{15}$.
Решением неравенства является интервал $(-1-\sqrt{15}; -1+\sqrt{15})$.
Пересекая с условием $x < 2$, и учитывая, что $-1+\sqrt{15} \approx -1+3.87 = 2.87 > 2$, получаем решение для этого случая: $x \in (-1-\sqrt{15}; 2)$.

Объединим решения из обоих случаев: $(-1-\sqrt{15}; 2) \cup [2; \sqrt{10}) = (-1-\sqrt{15}; \sqrt{10})$.
Ответ: $x \in (-1-\sqrt{15}; \sqrt{10})$.

е) Решим неравенство $(x+2)|x+3| > 1$.
Рассмотрим два случая.

Случай 1: $x+3 > 0$, то есть $x > -3$.
Неравенство принимает вид $(x+2)(x+3) > 1$.
$x^2 + 5x + 6 > 1$
$x^2 + 5x + 5 > 0$.
Найдем корни уравнения $x^2+5x+5=0$: $x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 5}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{5}}{2}$.
Решением неравенства является $x < \frac{-5 - \sqrt{5}}{2}$ или $x > \frac{-5 + \sqrt{5}}{2}$.
Учитывая условие $x > -3$ и то, что $\frac{-5 - \sqrt{5}}{2} \approx \frac{-5 - 2.24}{2} \approx -3.62 < -3$, а $\frac{-5 + \sqrt{5}}{2} \approx \frac{-5 + 2.24}{2} \approx -1.38 > -3$, решением для этого случая будет $x > \frac{-5 + \sqrt{5}}{2}$.

Случай 2: $x+3 < 0$, то есть $x < -3$.
Неравенство принимает вид $(x+2)(-(x+3)) > 1$.
$-(x^2 + 5x + 6) > 1$
$x^2 + 5x + 6 < -1$
$x^2 + 5x + 7 < 0$.
Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 25 - 28 = -3$.
Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен, трехчлен всегда положителен, и неравенство не имеет решений.

Случай $x+3=0$ ($x=-3$) также не является решением, так как $0 > 1$ ложно.
Итоговое решение — это решение из первого случая.
Ответ: $x \in (\frac{-5 + \sqrt{5}}{2}; \infty)$.