Номер 82, страница 372 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087768-8
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Решение неравенств. Задания для повторения - номер 82, страница 372.
№82 (с. 372)
Условие. №82 (с. 372)
скриншот условия

82 a) $(x^2 - 4x)^2 \ge 16;$
б) $(4x^2 + 4x)^2 < 1.$
Решение 1. №82 (с. 372)


Решение 2. №82 (с. 372)

Решение 3. №82 (с. 372)

Решение 5. №82 (с. 372)
а) $(x^2 - 4x)^2 \geq 16$
Данное неравенство эквивалентно тому, что выражение под квадратом больше или равно $4$ или меньше или равно $-4$. Это можно записать в виде совокупности двух неравенств:
$x^2 - 4x \geq 4$ или $x^2 - 4x \leq -4$.
Решим каждое неравенство по отдельности.
1. $x^2 - 4x \geq 4$
Перенесем все члены в одну сторону: $x^2 - 4x - 4 \geq 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 4x - 4 = 0$ с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 16 + 16 = 32$.
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{4 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{2}$.
Графиком функции $y = x^2 - 4x - 4$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, значения функции неотрицательны при $x$ за пределами корней.
Решение этого неравенства: $x \in (-\infty, 2 - 2\sqrt{2}] \cup [2 + 2\sqrt{2}, +\infty)$.
2. $x^2 - 4x \leq -4$
Перенесем все члены в одну сторону: $x^2 - 4x + 4 \leq 0$.
Левая часть является полным квадратом: $(x - 2)^2 \leq 0$.
Так как квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (т.е. $\geq 0$), это неравенство выполняется только тогда, когда $(x - 2)^2 = 0$.
Это дает единственное решение: $x = 2$.
Объединяя решения обоих случаев, получаем итоговое множество решений для исходного неравенства.
Ответ: $x \in (-\infty, 2 - 2\sqrt{2}] \cup \{2\} \cup [2 + 2\sqrt{2}, +\infty)$.
б) $(4x^2 + 4x)^2 < 1$
Данное неравенство эквивалентно двойному неравенству:
$-1 < 4x^2 + 4x < 1$.
Это двойное неравенство можно представить в виде системы двух неравенств, которые должны выполняться одновременно:
$\begin{cases} 4x^2 + 4x < 1 \\ 4x^2 + 4x > -1 \end{cases}$
Решим каждое неравенство системы.
1. $4x^2 + 4x < 1$
Перенесем все члены в одну сторону: $4x^2 + 4x - 1 < 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $4x^2 + 4x - 1 = 0$:
$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 16 + 16 = 32$.
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{32}}{8} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{2}}{8} = \frac{-1 \pm \sqrt{2}}{2}$.
Графиком функции $y = 4x^2 + 4x - 1$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, значения функции отрицательны при $x$ между корнями.
Решение этого неравенства: $x \in (\frac{-1 - \sqrt{2}}{2}, \frac{-1 + \sqrt{2}}{2})$.
2. $4x^2 + 4x > -1$
Перенесем все члены в одну сторону: $4x^2 + 4x + 1 > 0$.
Левая часть является полным квадратом: $(2x + 1)^2 > 0$.
Квадрат выражения $(2x + 1)$ положителен для всех действительных значений $x$, за исключением случая, когда он равен нулю.
$(2x + 1)^2 = 0$ при $2x + 1 = 0$, то есть при $x = -1/2$.
Таким образом, решение этого неравенства: $x \neq -1/2$.
Для получения итогового ответа найдем пересечение решений обоих неравенств. Мы должны взять интервал из первого решения и исключить из него точку $x = -1/2$.
Поскольку $\frac{-1 - \sqrt{2}}{2} \approx \frac{-1 - 1.414}{2} \approx -1.207$ и $\frac{-1 + \sqrt{2}}{2} \approx \frac{-1 + 1.414}{2} \approx 0.207$, а $-1/2 = -0.5$, точка $x = -1/2$ действительно лежит внутри интервала $(\frac{-1 - \sqrt{2}}{2}, \frac{-1 + \sqrt{2}}{2})$.
Итоговое решение — это интервал с "выколотой" точкой.
Ответ: $x \in (\frac{-1 - \sqrt{2}}{2}, -\frac{1}{2}) \cup (-\frac{1}{2}, \frac{-1 + \sqrt{2}}{2})$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 82 расположенного на странице 372 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №82 (с. 372), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.