Номер 82, страница 372 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения. Решение неравенств - номер 82, страница 372.

Условие.

82 a) $(x^2 - 4x)^2 \ge 16;$

б) $(4x^2 + 4x)^2 < 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

а) $(x^2 - 4x)^2 \geq 16$

Данное неравенство эквивалентно тому, что выражение под квадратом больше или равно $4$ или меньше или равно $-4$. Это можно записать в виде совокупности двух неравенств:

$x^2 - 4x \geq 4$ или $x^2 - 4x \leq -4$.

Решим каждое неравенство по отдельности.

1. $x^2 - 4x \geq 4$

Перенесем все члены в одну сторону: $x^2 - 4x - 4 \geq 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 4x - 4 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 16 + 16 = 32$.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{4 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{2}$.

Графиком функции $y = x^2 - 4x - 4$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, значения функции неотрицательны при $x$ за пределами корней.

Решение этого неравенства: $x \in (-\infty, 2 - 2\sqrt{2}] \cup [2 + 2\sqrt{2}, +\infty)$.

2. $x^2 - 4x \leq -4$

Перенесем все члены в одну сторону: $x^2 - 4x + 4 \leq 0$.

Левая часть является полным квадратом: $(x - 2)^2 \leq 0$.

Так как квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (т.е. $\geq 0$), это неравенство выполняется только тогда, когда $(x - 2)^2 = 0$.

Это дает единственное решение: $x = 2$.

Объединяя решения обоих случаев, получаем итоговое множество решений для исходного неравенства.

Ответ: $x \in (-\infty, 2 - 2\sqrt{2}] \cup \{2\} \cup [2 + 2\sqrt{2}, +\infty)$.

---

б) $(4x^2 + 4x)^2 < 1$

Данное неравенство эквивалентно двойному неравенству:

$-1 < 4x^2 + 4x < 1$.

Это двойное неравенство можно представить в виде системы двух неравенств, которые должны выполняться одновременно:

$\begin{cases} 4x^2 + 4x < 1 \\ 4x^2 + 4x > -1 \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы.

1. $4x^2 + 4x < 1$

Перенесем все члены в одну сторону: $4x^2 + 4x - 1 < 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $4x^2 + 4x - 1 = 0$:

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 16 + 16 = 32$.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{32}}{8} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{2}}{8} = \frac{-1 \pm \sqrt{2}}{2}$.

Графиком функции $y = 4x^2 + 4x - 1$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, значения функции отрицательны при $x$ между корнями.

Решение этого неравенства: $x \in (\frac{-1 - \sqrt{2}}{2}, \frac{-1 + \sqrt{2}}{2})$.

2. $4x^2 + 4x > -1$

Перенесем все члены в одну сторону: $4x^2 + 4x + 1 > 0$.

Левая часть является полным квадратом: $(2x + 1)^2 > 0$.

Квадрат выражения $(2x + 1)$ положителен для всех действительных значений $x$, за исключением случая, когда он равен нулю.

$(2x + 1)^2 = 0$ при $2x + 1 = 0$, то есть при $x = -1/2$.

Таким образом, решение этого неравенства: $x \neq -1/2$.

Для получения итогового ответа найдем пересечение решений обоих неравенств. Мы должны взять интервал из первого решения и исключить из него точку $x = -1/2$.

Поскольку $\frac{-1 - \sqrt{2}}{2} \approx \frac{-1 - 1.414}{2} \approx -1.207$ и $\frac{-1 + \sqrt{2}}{2} \approx \frac{-1 + 1.414}{2} \approx 0.207$, а $-1/2 = -0.5$, точка $x = -1/2$ действительно лежит внутри интервала $(\frac{-1 - \sqrt{2}}{2}, \frac{-1 + \sqrt{2}}{2})$.

Итоговое решение — это интервал с "выколотой" точкой.

Ответ: $x \in (\frac{-1 - \sqrt{2}}{2}, -\frac{1}{2}) \cup (-\frac{1}{2}, \frac{-1 + \sqrt{2}}{2})$.