Номер 80, страница 372 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Решение неравенств. Задания для повторения - номер 80, страница 372.

80 а) $(x - 2)(x - 3) > 0;$

б) $(x - 4)(x - 6) < 0;$

В) $(x + 4)(x - 1) > 0;$

Г) $(x + 1)(x + 2) < 0;$

Д) $x^2 - 10x + 24 < 0;$

е) $x^2 - 14x + 66 < 3 + 2x;$

Ж) $(x - 3)(x - 5) \ge 0;$

З) $(x - 1)(x - 3) \le 0;$

И) $(x + 3)(x - 4) \ge 0;$

К) $(x + 5)(x + 2) \le 0;$

Л) $x^2 + 7x + 6 \le 0;$

М) $x^2 + 6x + 5 \le 0.$

а) $(x-2)(x-3) > 0$
Для решения этого квадратного неравенства используем метод интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $(x-2)(x-3) = 0$. Корнями являются $x_1=2$ и $x_2=3$. Эти точки делят числовую прямую на три интервала: $(-\infty; 2)$, $(2; 3)$ и $(3; +\infty)$. График функции $y=(x-2)(x-3)$ — это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Следовательно, функция положительна на интервалах, находящихся вне корней. Так как неравенство строгое ($>$), точки $2$ и $3$ не включаются в решение.
Ответ: $x \in (-\infty; 2) \cup (3; +\infty)$.

б) $(x-4)(x-6) < 0$
Находим корни уравнения $(x-4)(x-6) = 0$, получаем $x_1=4$ и $x_2=6$. График функции $y=(x-4)(x-6)$ — парабола с ветвями вверх. Функция принимает отрицательные значения на интервале между корнями. Неравенство строгое ($<$), поэтому концы интервала не включаются в решение.
Ответ: $x \in (4; 6)$.

в) $(x+4)(x-1) > 0$
Находим корни уравнения $(x+4)(x-1) = 0$, получаем $x_1=-4$ и $x_2=1$. Парабола $y=(x+4)(x-1)$ имеет ветви, направленные вверх. Функция положительна на интервалах вне корней. Неравенство строгое ($>$), поэтому точки $-4$ и $1$ не входят в решение.
Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (1; +\infty)$.

г) $(x+1)(x+2) < 0$
Находим корни уравнения $(x+1)(x+2) = 0$, получаем $x_1=-2$ и $x_2=-1$. Парабола $y=(x+1)(x+2)$ имеет ветви, направленные вверх. Функция отрицательна на интервале между корнями. Неравенство строгое ($<$), поэтому точки $-2$ и $-1$ не входят в решение.
Ответ: $x \in (-2; -1)$.

д) $x^2 - 10x + 24 < 0$
Сначала решим соответствующее квадратное уравнение $x^2 - 10x + 24 = 0$. Используя теорему Виета, находим корни: $x_1=4$ и $x_2=6$ (так как $4+6=10$ и $4 \cdot 6=24$). Неравенство можно переписать в виде $(x-4)(x-6) < 0$. Графиком является парабола с ветвями вверх, которая отрицательна между корнями. Неравенство строгое, поэтому решение — открытый интервал.
Ответ: $x \in (4; 6)$.

е) $x^2 - 14x + 66 < 3 + 2x$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное неравенство: $x^2 - 14x - 2x + 66 - 3 < 0$, что упрощается до $x^2 - 16x + 63 < 0$. Решим уравнение $x^2 - 16x + 63 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1=7$ и $x_2=9$ (так как $7+9=16$ и $7 \cdot 9=63$). Неравенство принимает вид $(x-7)(x-9) < 0$. Парабола с ветвями вверх, следовательно, выражение отрицательно между корнями.
Ответ: $x \in (7; 9)$.

ж) $(x-3)(x-5) \geq 0$
Находим корни уравнения $(x-3)(x-5) = 0$, получаем $x_1=3$ и $x_2=5$. Парабола $y=(x-3)(x-5)$ имеет ветви вверх. Функция принимает неотрицательные значения (больше или равно нулю) на интервалах вне корней, включая сами корни. Неравенство нестрогое ($\geq$), поэтому точки $3$ и $5$ включаются в решение.
Ответ: $x \in (-\infty; 3] \cup [5; +\infty)$.

з) $(x-1)(x-3) \leq 0$
Находим корни уравнения $(x-1)(x-3) = 0$, получаем $x_1=1$ и $x_2=3$. Парабола $y=(x-1)(x-3)$ имеет ветви вверх. Функция принимает неположительные значения (меньше или равно нулю) на интервале между корнями, включая сами корни. Неравенство нестрогое ($\leq$), поэтому точки $1$ и $3$ включаются в решение.
Ответ: $x \in [1; 3]$.

и) $(x+3)(x-4) \geq 0$
Находим корни уравнения $(x+3)(x-4) = 0$, получаем $x_1=-3$ и $x_2=4$. Парабола $y=(x+3)(x-4)$ имеет ветви вверх. Функция принимает неотрицательные значения на интервалах вне корней. Неравенство нестрогое ($\geq$), поэтому точки $-3$ и $4$ включаются в решение.
Ответ: $x \in (-\infty; -3] \cup [4; +\infty)$.

к) $(x+5)(x+2) \leq 0$
Находим корни уравнения $(x+5)(x+2) = 0$, получаем $x_1=-5$ и $x_2=-2$. Парабола $y=(x+5)(x+2)$ имеет ветви вверх. Функция принимает неположительные значения на интервале между корнями. Неравенство нестрогое ($\leq$), поэтому точки $-5$ и $-2$ включаются в решение.
Ответ: $x \in [-5; -2]$.

л) $x^2 + 7x + 6 \leq 0$
Решим уравнение $x^2 + 7x + 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1=-6$ и $x_2=-1$ (так как $-6 + (-1) = -7$ и $-6 \cdot (-1) = 6$). Неравенство можно переписать как $(x+6)(x+1) \leq 0$. Парабола $y=x^2 + 7x + 6$ имеет ветви вверх. Функция неположительна на интервале между корнями. Неравенство нестрогое, поэтому концы отрезка включаются.
Ответ: $x \in [-6; -1]$.

м) $x^2 + 6x + 5 \leq 0$
Решим уравнение $x^2 + 6x + 5 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1=-5$ и $x_2=-1$ (так как $-5 + (-1) = -6$ и $-5 \cdot (-1) = 5$). Неравенство можно переписать как $(x+5)(x+1) \leq 0$. Парабола $y=x^2 + 6x + 5$ имеет ветви вверх. Функция неположительна на интервале между корнями. Неравенство нестрогое, поэтому концы отрезка включаются.
Ответ: $x \in [-5; -1]$.