Номер 74, страница 371 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Системы уравнений. Задания для повторения - номер 74, страница 371.

74 а) $\begin{cases} x^2 + xy + y^2 = 4 \\ x + xy + y = 2 \end{cases}$

б) $\begin{cases} x + y + xy = 7 \\ x^2 + y^2 + xy = 13 \end{cases}$

а)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 + xy + y^2 = 4 \\ x + xy + y = 2 \end{cases} $

Эта система является симметрической, так как уравнения не меняются при замене $x$ на $y$ и $y$ на $x$. Для решения таких систем удобно использовать замену переменных через элементарные симметрические многочлены. Пусть $s = x + y$ и $p = xy$.

Выразим уравнения системы через $s$ и $p$.
Первое уравнение: $x^2 + xy + y^2 = (x^2 + 2xy + y^2) - xy = (x+y)^2 - xy = s^2 - p$.
Второе уравнение: $(x+y) + xy = s + p$.

Получаем новую систему уравнений относительно $s$ и $p$: $ \begin{cases} s^2 - p = 4 \\ s + p = 2 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $p$: $p = 2 - s$. Подставим это выражение в первое уравнение: $s^2 - (2 - s) = 4$
$s^2 + s - 2 = 4$
$s^2 + s - 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение для $s$. По теореме Виета, корни уравнения: $s_1 = -3$, $s_2 = 2$.

Теперь найдем соответствующие значения $p$ для каждого корня $s$:
1. Если $s_1 = -3$, то $p_1 = 2 - s_1 = 2 - (-3) = 5$.
2. Если $s_2 = 2$, то $p_2 = 2 - s_2 = 2 - 2 = 0$.

Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$, решив две системы.

Случай 1: $s_1 = -3, p_1 = 5$.
$ \begin{cases} x + y = -3 \\ xy = 5 \end{cases} $
Согласно теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - st + p = 0$:
$t^2 - (-3)t + 5 = 0$
$t^2 + 3t + 5 = 0$
Найдем дискриминант: $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 9 - 20 = -11$.
Так как $D < 0$, в этом случае действительных решений нет.

Случай 2: $s_2 = 2, p_2 = 0$.
$ \begin{cases} x + y = 2 \\ xy = 0 \end{cases} $
Составим квадратное уравнение:
$t^2 - 2t + 0 = 0$
$t(t-2) = 0$
Корни уравнения: $t_1 = 0$, $t_2 = 2$.
Следовательно, решениями системы являются пары $(0, 2)$ и $(2, 0)$.

Ответ: $(0, 2), (2, 0)$.

б)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x + y + xy = 7 \\ x^2 + y^2 + xy = 13 \end{cases} $

Эта система также является симметрической. Сделаем замену: $s = x + y$ и $p = xy$.

Выразим уравнения системы через $s$ и $p$.
Первое уравнение: $(x+y) + xy = s + p$.
Второе уравнение: $x^2 + y^2 + xy = (x^2 + 2xy + y^2) - xy = (x+y)^2 - xy = s^2 - p$.

Получаем новую систему уравнений: $ \begin{cases} s + p = 7 \\ s^2 - p = 13 \end{cases} $

Сложим два уравнения системы, чтобы исключить $p$:
$(s+p) + (s^2 - p) = 7 + 13$
$s^2 + s = 20$
$s^2 + s - 20 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение для $s$. По теореме Виета, корни уравнения: $s_1 = -5$, $s_2 = 4$.

Теперь найдем соответствующие значения $p$ для каждого корня $s$, используя уравнение $p = 7 - s$:
1. Если $s_1 = -5$, то $p_1 = 7 - (-5) = 12$.
2. Если $s_2 = 4$, то $p_2 = 7 - 4 = 3$.

Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$.

Случай 1: $s_1 = -5, p_1 = 12$.
$ \begin{cases} x + y = -5 \\ xy = 12 \end{cases} $
Составим квадратное уравнение $t^2 - st + p = 0$:
$t^2 - (-5)t + 12 = 0$
$t^2 + 5t + 12 = 0$
Найдем дискриминант: $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 25 - 48 = -23$.
Так как $D < 0$, в этом случае действительных решений нет.

Случай 2: $s_2 = 4, p_2 = 3$.
$ \begin{cases} x + y = 4 \\ xy = 3 \end{cases} $
Составим квадратное уравнение:
$t^2 - 4t + 3 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $t_1 = 1$, $t_2 = 3$.
Следовательно, решениями системы являются пары $(1, 3)$ и $(3, 1)$.

Ответ: $(1, 3), (3, 1)$.