Номер 71, страница 371 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Системы уравнений. Задания для повторения - номер 71, страница 371.

71 a) $\begin{cases} x^2 + y^2 + 2(x - y) + 2 = 0 \\ z^2 + xz + yz - 4 = 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + y^2 + 4(x - y) + 8 = 0 \\ z^2 + xz + yz - 9 = 0. \end{cases}$

а)
Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 + y^2 + 2(x - y) + 2 = 0 \\ z^2 + xz + yz - 4 = 0 \end{cases} $
Рассмотрим первое уравнение системы. Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые, чтобы выделить полные квадраты:
$x^2 + y^2 + 2x - 2y + 2 = 0$
$(x^2 + 2x + 1) + (y^2 - 2y + 1) = 0$
$(x + 1)^2 + (y - 1)^2 = 0$
Сумма квадратов двух действительных чисел равна нулю только в том случае, если каждое из этих чисел равно нулю. Поэтому:
$\begin{cases} x + 1 = 0 \\ y - 1 = 0 \end{cases}$
Из этой системы находим значения $x$ и $y$:
$x = -1$
$y = 1$
Теперь подставим найденные значения $x$ и $y$ во второе уравнение исходной системы:
$z^2 + (-1)z + (1)z - 4 = 0$
$z^2 - z + z - 4 = 0$
$z^2 - 4 = 0$
$z^2 = 4$
Отсюда получаем два значения для $z$:
$z_1 = 2$ и $z_2 = -2$.
Таким образом, система имеет два решения.
Ответ: $(-1, 1, 2)$, $(-1, 1, -2)$.

б)
Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 + y^2 + 4(x - y) + 8 = 0 \\ z^2 + xz + yz - 9 = 0 \end{cases} $
Рассмотрим первое уравнение системы. Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые для выделения полных квадратов:
$x^2 + y^2 + 4x - 4y + 8 = 0$
$(x^2 + 4x + 4) + (y^2 - 4y + 4) = 0$
$(x + 2)^2 + (y - 2)^2 = 0$
Сумма квадратов двух действительных чисел равна нулю только в том случае, если каждое из этих чисел равно нулю. Поэтому:
$\begin{cases} x + 2 = 0 \\ y - 2 = 0 \end{cases}$
Из этой системы находим значения $x$ и $y$:
$x = -2$
$y = 2$
Теперь подставим найденные значения $x$ и $y$ во второе уравнение исходной системы:
$z^2 + (-2)z + (2)z - 9 = 0$
$z^2 - 2z + 2z - 9 = 0$
$z^2 - 9 = 0$
$z^2 = 9$
Отсюда получаем два значения для $z$:
$z_1 = 3$ и $z_2 = -3$.
Таким образом, система имеет два решения.
Ответ: $(-2, 2, 3)$, $(-2, 2, -3)$.