Номер 77, страница 371 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Решение неравенств. Задания для повторения - номер 77, страница 371.

Решение неравенств

Решите неравенство (77—102):

77

а) $5x + 7 > 3x + 20$;

б) $10x + 5 < 7x + 16$;

в) $3x + 11 < 7x - 5$;

г) $11x - 8 > -x - 13$;

д) $-x + 6 \leq 4x - 9$;

е) $-2x + 3 \geq 5x - 12$.

а) $5x + 7 > 3x + 20$

Для решения линейного неравенства перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а постоянные слагаемые — в правую часть. При переносе слагаемого из одной части в другую его знак меняется на противоположный.

$5x - 3x > 20 - 7$

Далее приведем подобные слагаемые в каждой части неравенства.

$2x > 13$

Разделим обе части неравенства на коэффициент при $x$, то есть на 2. Так как мы делим на положительное число, знак неравенства ($>$) сохраняется.

$x > \frac{13}{2}$

$x > 6.5$

Решением неравенства является числовой промежуток от 6.5 до плюс бесконечности, не включая 6.5.

Ответ: $(6.5; +\infty)$.

б) $10x + 5 < 7x + 16$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части неравенства, а числовые слагаемые — в правой.

$10x - 7x < 16 - 5$

Приведем подобные слагаемые.

$3x < 11$

Разделим обе части на 3. Знак неравенства ($<$) не меняется, так как 3 — положительное число.

$x < \frac{11}{3}$

Решением является интервал от минус бесконечности до $\frac{11}{3}$, не включая $\frac{11}{3}$.

Ответ: $(-\infty; \frac{11}{3})$.

в) $3x + 11 < 7x - 5$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую.

$3x - 7x < -5 - 11$

Упростим обе части неравенства.

$-4x < -16$

Разделим обе части на -4. При делении на отрицательное число знак неравенства ($<$) меняется на противоположный ($>$).

$x > \frac{-16}{-4}$

$x > 4$

Решением является интервал от 4 до плюс бесконечности, не включая 4.

Ответ: $(4; +\infty)$.

г) $11x - 8 > -x - 13$

Соберем все слагаемые с $x$ в левой части, а числа — в правой.

$11x + x > -13 + 8$

Приведем подобные слагаемые.

$12x > -5$

Разделим обе части на 12. Знак неравенства ($>$) сохраняется.

$x > -\frac{5}{12}$

Решением является интервал от $-\frac{5}{12}$ до плюс бесконечности, не включая $-\frac{5}{12}$.

Ответ: $(-\frac{5}{12}; +\infty)$.

д) $-x + 6 \le 4x - 9$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а константы — в правую.

$-x - 4x \le -9 - 6$

Упростим обе части неравенства.

$-5x \le -15$

Разделим обе части на -5. При делении на отрицательное число знак нестрогого неравенства ($\le$) меняется на противоположный ($\ge$).

$x \ge \frac{-15}{-5}$

$x \ge 3$

Решением является числовой промежуток от 3 до плюс бесконечности, включая 3.

Ответ: $[3; +\infty)$.

е) $-2x + 3 \ge 5x - 12$

Сгруппируем слагаемые с $x$ слева, а числа — справа.

$-2x - 5x \ge -12 - 3$

Приведем подобные слагаемые.

$-7x \ge -15$

Разделим обе части на -7. При делении на отрицательное число знак нестрогого неравенства ($\ge$) меняется на противоположный ($\le$).

$x \le \frac{-15}{-7}$

$x \le \frac{15}{7}$

Решением является числовой промежуток от минус бесконечности до $\frac{15}{7}$, включая $\frac{15}{7}$.

Ответ: $(-\infty; \frac{15}{7}]$.