Номер 70, страница 371 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Системы уравнений. Задания для повторения - номер 70, страница 371.

70 а) $\begin{cases} x^2 - xy = 20y \\ 5xy - 5y^2 = 4x \end{cases}$

б) $\begin{cases} x + 2y = 6 \\ 3x^2 - xy + 4y^2 = 48 \end{cases}$

а) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x^2 - xy = 20y \\ 5xy - 5y^2 = 4x \end{cases} $$ Заметим, что пара $(0, 0)$ является решением системы, так как при подстановке $x=0$ и $y=0$ оба уравнения превращаются в верные равенства $0=0$.
Рассмотрим случай, когда $x \neq 0$ и $y \neq 0$. Преобразуем уравнения, вынеся общие множители: $$ \begin{cases} x(x - y) = 20y & (1) \\ 5y(x - y) = 4x & (2) \end{cases} $$ Если $x - y = 0$, то есть $x = y$, то из первого уравнения следует $0 = 20y$, откуда $y=0$, и, следовательно, $x=0$. Мы вернулись к уже найденному решению $(0,0)$.
Если $x - y \neq 0$, $x \neq 0$, $y \neq 0$, мы можем разделить левые и правые части уравнений. Разделим уравнение (1) на уравнение (2): $$ \frac{x(x - y)}{5y(x - y)} = \frac{20y}{4x} $$ Сократив дробь в левой части на $(x-y)$, а в правой на 4, получим: $$ \frac{x}{5y} = \frac{5y}{x} $$ Используя основное свойство пропорции, имеем: $$ x^2 = 25y^2 $$ Это уравнение распадается на два: $x = 5y$ и $x = -5y$. Рассмотрим каждый случай.

1. Пусть $x = 5y$. Подставим это выражение в первое уравнение исходной системы: $$ (5y)^2 - (5y)y = 20y $$ $$ 25y^2 - 5y^2 = 20y $$ $$ 20y^2 = 20y $$ $$ 20y(y - 1) = 0 $$ Поскольку мы рассматриваем случай $y \neq 0$, получаем $y - 1 = 0$, откуда $y = 1$.
Тогда $x = 5y = 5 \cdot 1 = 5$. Найдено решение $(5, 1)$.

2. Пусть $x = -5y$. Подставим это выражение в первое уравнение: $$ (-5y)^2 - (-5y)y = 20y $$ $$ 25y^2 + 5y^2 = 20y $$ $$ 30y^2 = 20y $$ $$ 10y(3y - 2) = 0 $$ Так как $y \neq 0$, получаем $3y - 2 = 0$, откуда $y = \frac{2}{3}$.
Тогда $x = -5y = -5 \cdot \frac{2}{3} = -\frac{10}{3}$. Найдено решение $(-\frac{10}{3}, \frac{2}{3})$.

Ответ: $(0, 0)$, $(5, 1)$, $(-\frac{10}{3}, \frac{2}{3})$.

б) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x + 2y = 6 \\ 3x^2 - xy + 4y^2 = 48 \end{cases} $$ Решим эту систему методом подстановки. Из первого (линейного) уравнения выразим $x$: $$ x = 6 - 2y $$ Подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы: $$ 3(6 - 2y)^2 - (6 - 2y)y + 4y^2 = 48 $$ Раскроем скобки и упростим: $$ 3(36 - 24y + 4y^2) - (6y - 2y^2) + 4y^2 = 48 $$ $$ 108 - 72y + 12y^2 - 6y + 2y^2 + 4y^2 = 48 $$ Приведем подобные слагаемые: $$ (12 + 2 + 4)y^2 + (-72 - 6)y + (108 - 48) = 0 $$ $$ 18y^2 - 78y + 60 = 0 $$ Разделим все члены уравнения на 6, чтобы упростить его: $$ 3y^2 - 13y + 10 = 0 $$ Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$. Вычислим дискриминант: $$ D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 10 = 169 - 120 = 49 = 7^2 $$ Найдем корни уравнения: $$ y_1 = \frac{-(-13) + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{13 + 7}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3} $$ $$ y_2 = \frac{-(-13) - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{13 - 7}{6} = \frac{6}{6} = 1 $$ Теперь для каждого найденного значения $y$ найдем соответствующее значение $x$ по формуле $x = 6 - 2y$.

1. Если $y_1 = \frac{10}{3}$: $$ x_1 = 6 - 2 \cdot \frac{10}{3} = 6 - \frac{20}{3} = \frac{18 - 20}{3} = -\frac{2}{3} $$ Получаем решение $(-\frac{2}{3}, \frac{10}{3})$.

2. Если $y_2 = 1$: $$ x_2 = 6 - 2 \cdot 1 = 4 $$ Получаем решение $(4, 1)$.

Ответ: $(4, 1)$, $(-\frac{2}{3}, \frac{10}{3})$.