Страница 371 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

68 Определите, при каких значениях $k$ система уравнений:

a) $\begin{cases} (k+2)x + 6y = 30 - 5k \\ 6x + (k+7)y = 30 \end{cases}$

б) $\begin{cases} kx + 2y = k+2 \\ (2k+1)x + (k+1)y = 2k+1 \end{cases}$

имеет бесконечное множество решений; не имеет решений.

Для анализа системы линейных уравнений вида $A_1x + B_1y = C_1$ и $A_2x + B_2y = C_2$ на количество решений используются следующие условия, основанные на пропорциональности коэффициентов:
- Бесконечное множество решений: все коэффициенты пропорциональны, то есть $ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} $. Геометрически это означает, что прямые совпадают.
- Нет решений: коэффициенты при переменных пропорциональны, но это отношение не равно отношению свободных членов: $ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2} $. Геометрически это означает, что прямые параллельны и не совпадают.
- Единственное решение: коэффициенты при переменных не пропорциональны: $ \frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2} $. Геометрически это означает, что прямые пересекаются в одной точке.

Дана система:
$ (k+2)x + 6y = 30 - 5k $
$ 6x + (k+7)y = 30 $

Коэффициенты системы: $A_1 = k+2, B_1 = 6, C_1 = 30-5k$ и $A_2 = 6, B_2 = k+7, C_2 = 30$.
Условие, при котором система имеет не единственное решение (прямые параллельны или совпадают), выражается равенством отношений коэффициентов при переменных:
$ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \implies \frac{k+2}{6} = \frac{6}{k+7} $

Решим это уравнение:
$ (k+2)(k+7) = 36 $
$ k^2 + 9k + 14 = 36 $
$ k^2 + 9k - 22 = 0 $
Корни этого квадратного уравнения (по теореме Виета или через дискриминант): $ k_1 = 2 $ и $ k_2 = -11 $.

Теперь для каждого найденного значения $k$ необходимо сравнить отношение коэффициентов при переменных с отношением свободных членов $ \frac{C_1}{C_2} = \frac{30-5k}{30} = \frac{6-k}{6} $.

Случай 1: $k=2$
Отношение коэффициентов: $ \frac{k+2}{6} = \frac{2+2}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} $.
Отношение свободных членов: $ \frac{6-k}{6} = \frac{6-2}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} $.
Поскольку все три отношения равны ($ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} $), система имеет бесконечное множество решений.

Случай 2: $k=-11$
Отношение коэффициентов: $ \frac{k+2}{6} = \frac{-11+2}{6} = \frac{-9}{6} = -\frac{3}{2} $.
Отношение свободных членов: $ \frac{6-k}{6} = \frac{6-(-11)}{6} = \frac{17}{6} $.
Поскольку $ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2} $, система не имеет решений.

Ответ: бесконечное множество решений — при $k=2$; нет решений — при $k=-11$.

Дана система:
$ kx + 2y = k+2 $
$ (2k+1)x + (k+1)y = 2k+1 $

Коэффициенты: $A_1 = k, B_1 = 2, C_1 = k+2$ и $A_2 = 2k+1, B_2 = k+1, C_2 = 2k+1$.
Условие отсутствия единственного решения: $ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \implies \frac{k}{2k+1} = \frac{2}{k+1} $.

Решим это уравнение:
$ k(k+1) = 2(2k+1) $
$ k^2 + k = 4k + 2 $
$ k^2 - 3k - 2 = 0 $
Корни: $ k = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{9+8}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2} $.

Бесконечное множество решений
Для этого необходимо, чтобы выполнялось полное равенство пропорций: $ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} $.
Рассмотрим равенство $ \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} $:
$ \frac{2}{k+1} = \frac{k+2}{2k+1} $
$ 2(2k+1) = (k+1)(k+2) \implies 4k+2 = k^2+3k+2 \implies k^2 - k = 0 $.
Корни этого уравнения: $k=0$ и $k=1$.
Для бесконечного множества решений необходимо, чтобы $k$ было решением обоих уравнений: $k^2 - 3k - 2 = 0$ и $k^2 - k = 0$. Так как у этих уравнений нет общих корней, то не существует такого $k$, при котором система имела бы бесконечное множество решений.

Нет решений
Это условие ($ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2} $) выполняется, когда $k$ является корнем уравнения $k^2 - 3k - 2 = 0$, то есть $ k = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2} $.
При этих значениях $k$ отношения $ \frac{A_1}{A_2} $ и $ \frac{B_1}{B_2} $ равны. Мы должны убедиться, что они не равны $ \frac{C_1}{C_2} $.
Это эквивалентно тому, что $k$ не является решением уравнения $k^2 - k = 0$.
Действительно, значения $ \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2} $ не равны ни 0, ни 1.
Следовательно, при $ k = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2} $ система не имеет решений.

Ответ: бесконечное множество решений — нет таких значений $k$; нет решений — при $k = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}$.

Решите систему уравнений (69—76):

69 а) $\begin{cases} \frac{2}{y^2} = \frac{1}{2} \\ \frac{y-2}{x} = 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{3}{x^2} = \frac{1}{3} \\ \frac{x+3}{y} = 1; \end{cases}$

В) $\begin{cases} \frac{y}{x+1} = 1 \\ 1-x^2 = y; \end{cases}$

Г) $\begin{cases} \frac{y}{1-x} = 1 \\ y+1 = x^2. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \frac{2}{y^2} = \frac{1}{2} \\ \frac{y-2}{x} = 1 \end{cases}$

Сначала решим первое уравнение относительно y. Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения: $y \neq 0$.

$\frac{2}{y^2} = \frac{1}{2}$

Используя основное свойство пропорции, получаем:

$y^2 = 2 \cdot 2 = 4$

Отсюда находим два возможных значения для y:

$y_1 = 2$ и $y_2 = -2$. Оба значения удовлетворяют условию $y \neq 0$.

Теперь рассмотрим второе уравнение: $\frac{y-2}{x} = 1$. ОДЗ для этого уравнения: $x \neq 0$.

Выразим x из второго уравнения: $x = y-2$.

Подставим найденные значения y:

1. Если $y = 2$, то $x = 2 - 2 = 0$. Это значение не входит в ОДЗ, так как $x \neq 0$. Следовательно, пара $(0, 2)$ не является решением.

2. Если $y = -2$, то $x = -2 - 2 = -4$. Это значение удовлетворяет ОДЗ.

Проверим пару $(-4, -2)$ в исходной системе:

Первое уравнение: $\frac{2}{(-2)^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. Верно.

Второе уравнение: $\frac{-2 - 2}{-4} = \frac{-4}{-4} = 1$. Верно.

Следовательно, система имеет одно решение.

Ответ: $(-4, -2)$.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \frac{3}{x^2} = \frac{1}{3} \\ \frac{x+3}{y} = 1 \end{cases}$

Решим первое уравнение относительно x. ОДЗ: $x \neq 0$.

$\frac{3}{x^2} = \frac{1}{3}$

$x^2 = 3 \cdot 3 = 9$

Отсюда $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$. Оба значения удовлетворяют ОДЗ.

Из второго уравнения $\frac{x+3}{y} = 1$ (ОДЗ: $y \neq 0$) выразим y: $y = x+3$.

Рассмотрим два случая:

1. Если $x = 3$, то $y = 3 + 3 = 6$. Пара $(3, 6)$ удовлетворяет ОДЗ ($y \neq 0$).

2. Если $x = -3$, то $y = -3 + 3 = 0$. Это значение не входит в ОДЗ ($y \neq 0$), поэтому пара $(-3, 0)$ не является решением.

Проверим пару $(3, 6)$:

Первое уравнение: $\frac{3}{3^2} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$. Верно.

Второе уравнение: $\frac{3+3}{6} = \frac{6}{6} = 1$. Верно.

Таким образом, система имеет одно решение.

Ответ: $(3, 6)$.

в)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \frac{y}{x+1} = 1 \\ 1 - x^2 = y \end{cases}$

ОДЗ системы определяется первым уравнением: $x+1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$.

Из первого уравнения выразим y:

$y = x+1$

Подставим это выражение для y во второе уравнение:

$1 - x^2 = x+1$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 + x + 1 - 1 = 0$

$x^2 + x = 0$

Вынесем x за скобки:

$x(x+1) = 0$

Получаем два возможных значения для x: $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$.

Согласно ОДЗ, $x \neq -1$, поэтому корень $x_2 = -1$ является посторонним.

Остается единственный корень $x = 0$.

Найдем соответствующее значение y, подставив $x=0$ в выражение $y = x+1$:

$y = 0 + 1 = 1$

Решением является пара $(0, 1)$. Проверим его:

Первое уравнение: $\frac{1}{0+1} = 1$. Верно.

Второе уравнение: $1 - 0^2 = 1$, что равно $y=1$. Верно.

Ответ: $(0, 1)$.

г)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \frac{y}{1-x} = 1 \\ y+1 = x^2 \end{cases}$

ОДЗ системы определяется первым уравнением: $1-x \neq 0$, то есть $x \neq 1$.

Из первого уравнения выразим y:

$y = 1-x$

Подставим это выражение для y во второе уравнение:

$(1-x) + 1 = x^2$

$2 - x = x^2$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$x^2 + x - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Корни можно найти по теореме Виета: их сумма равна -1, а произведение равно -2. Это числа -2 и 1. Или можно разложить на множители:

$(x+2)(x-1) = 0$

Отсюда получаем два значения для x: $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$.

Проверим корни с учетом ОДЗ ($x \neq 1$). Корень $x_2 = 1$ не удовлетворяет ОДЗ и является посторонним.

Единственный подходящий корень $x = -2$.

Найдем соответствующее значение y, подставив $x=-2$ в выражение $y=1-x$:

$y = 1 - (-2) = 1 + 2 = 3$

Решением является пара $(-2, 3)$. Проверим его:

Первое уравнение: $\frac{3}{1-(-2)} = \frac{3}{3} = 1$. Верно.

Второе уравнение: $y+1 = 3+1 = 4$; $x^2 = (-2)^2 = 4$. Равенство $4=4$ верно.

Ответ: $(-2, 3)$.

70 а) $\begin{cases} x^2 - xy = 20y \\ 5xy - 5y^2 = 4x \end{cases}$

б) $\begin{cases} x + 2y = 6 \\ 3x^2 - xy + 4y^2 = 48 \end{cases}$

а) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x^2 - xy = 20y \\ 5xy - 5y^2 = 4x \end{cases} $$ Заметим, что пара $(0, 0)$ является решением системы, так как при подстановке $x=0$ и $y=0$ оба уравнения превращаются в верные равенства $0=0$.
Рассмотрим случай, когда $x \neq 0$ и $y \neq 0$. Преобразуем уравнения, вынеся общие множители: $$ \begin{cases} x(x - y) = 20y & (1) \\ 5y(x - y) = 4x & (2) \end{cases} $$ Если $x - y = 0$, то есть $x = y$, то из первого уравнения следует $0 = 20y$, откуда $y=0$, и, следовательно, $x=0$. Мы вернулись к уже найденному решению $(0,0)$.
Если $x - y \neq 0$, $x \neq 0$, $y \neq 0$, мы можем разделить левые и правые части уравнений. Разделим уравнение (1) на уравнение (2): $$ \frac{x(x - y)}{5y(x - y)} = \frac{20y}{4x} $$ Сократив дробь в левой части на $(x-y)$, а в правой на 4, получим: $$ \frac{x}{5y} = \frac{5y}{x} $$ Используя основное свойство пропорции, имеем: $$ x^2 = 25y^2 $$ Это уравнение распадается на два: $x = 5y$ и $x = -5y$. Рассмотрим каждый случай.

1. Пусть $x = 5y$. Подставим это выражение в первое уравнение исходной системы: $$ (5y)^2 - (5y)y = 20y $$ $$ 25y^2 - 5y^2 = 20y $$ $$ 20y^2 = 20y $$ $$ 20y(y - 1) = 0 $$ Поскольку мы рассматриваем случай $y \neq 0$, получаем $y - 1 = 0$, откуда $y = 1$.
Тогда $x = 5y = 5 \cdot 1 = 5$. Найдено решение $(5, 1)$.

2. Пусть $x = -5y$. Подставим это выражение в первое уравнение: $$ (-5y)^2 - (-5y)y = 20y $$ $$ 25y^2 + 5y^2 = 20y $$ $$ 30y^2 = 20y $$ $$ 10y(3y - 2) = 0 $$ Так как $y \neq 0$, получаем $3y - 2 = 0$, откуда $y = \frac{2}{3}$.
Тогда $x = -5y = -5 \cdot \frac{2}{3} = -\frac{10}{3}$. Найдено решение $(-\frac{10}{3}, \frac{2}{3})$.

Ответ: $(0, 0)$, $(5, 1)$, $(-\frac{10}{3}, \frac{2}{3})$.

б) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x + 2y = 6 \\ 3x^2 - xy + 4y^2 = 48 \end{cases} $$ Решим эту систему методом подстановки. Из первого (линейного) уравнения выразим $x$: $$ x = 6 - 2y $$ Подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы: $$ 3(6 - 2y)^2 - (6 - 2y)y + 4y^2 = 48 $$ Раскроем скобки и упростим: $$ 3(36 - 24y + 4y^2) - (6y - 2y^2) + 4y^2 = 48 $$ $$ 108 - 72y + 12y^2 - 6y + 2y^2 + 4y^2 = 48 $$ Приведем подобные слагаемые: $$ (12 + 2 + 4)y^2 + (-72 - 6)y + (108 - 48) = 0 $$ $$ 18y^2 - 78y + 60 = 0 $$ Разделим все члены уравнения на 6, чтобы упростить его: $$ 3y^2 - 13y + 10 = 0 $$ Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$. Вычислим дискриминант: $$ D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 10 = 169 - 120 = 49 = 7^2 $$ Найдем корни уравнения: $$ y_1 = \frac{-(-13) + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{13 + 7}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3} $$ $$ y_2 = \frac{-(-13) - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{13 - 7}{6} = \frac{6}{6} = 1 $$ Теперь для каждого найденного значения $y$ найдем соответствующее значение $x$ по формуле $x = 6 - 2y$.

1. Если $y_1 = \frac{10}{3}$: $$ x_1 = 6 - 2 \cdot \frac{10}{3} = 6 - \frac{20}{3} = \frac{18 - 20}{3} = -\frac{2}{3} $$ Получаем решение $(-\frac{2}{3}, \frac{10}{3})$.

2. Если $y_2 = 1$: $$ x_2 = 6 - 2 \cdot 1 = 4 $$ Получаем решение $(4, 1)$.

Ответ: $(4, 1)$, $(-\frac{2}{3}, \frac{10}{3})$.

71 a) $\begin{cases} x^2 + y^2 + 2(x - y) + 2 = 0 \\ z^2 + xz + yz - 4 = 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + y^2 + 4(x - y) + 8 = 0 \\ z^2 + xz + yz - 9 = 0. \end{cases}$

а)
Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 + y^2 + 2(x - y) + 2 = 0 \\ z^2 + xz + yz - 4 = 0 \end{cases} $
Рассмотрим первое уравнение системы. Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые, чтобы выделить полные квадраты:
$x^2 + y^2 + 2x - 2y + 2 = 0$
$(x^2 + 2x + 1) + (y^2 - 2y + 1) = 0$
$(x + 1)^2 + (y - 1)^2 = 0$
Сумма квадратов двух действительных чисел равна нулю только в том случае, если каждое из этих чисел равно нулю. Поэтому:
$\begin{cases} x + 1 = 0 \\ y - 1 = 0 \end{cases}$
Из этой системы находим значения $x$ и $y$:
$x = -1$
$y = 1$
Теперь подставим найденные значения $x$ и $y$ во второе уравнение исходной системы:
$z^2 + (-1)z + (1)z - 4 = 0$
$z^2 - z + z - 4 = 0$
$z^2 - 4 = 0$
$z^2 = 4$
Отсюда получаем два значения для $z$:
$z_1 = 2$ и $z_2 = -2$.
Таким образом, система имеет два решения.
Ответ: $(-1, 1, 2)$, $(-1, 1, -2)$.

б)
Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 + y^2 + 4(x - y) + 8 = 0 \\ z^2 + xz + yz - 9 = 0 \end{cases} $
Рассмотрим первое уравнение системы. Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые для выделения полных квадратов:
$x^2 + y^2 + 4x - 4y + 8 = 0$
$(x^2 + 4x + 4) + (y^2 - 4y + 4) = 0$
$(x + 2)^2 + (y - 2)^2 = 0$
Сумма квадратов двух действительных чисел равна нулю только в том случае, если каждое из этих чисел равно нулю. Поэтому:
$\begin{cases} x + 2 = 0 \\ y - 2 = 0 \end{cases}$
Из этой системы находим значения $x$ и $y$:
$x = -2$
$y = 2$
Теперь подставим найденные значения $x$ и $y$ во второе уравнение исходной системы:
$z^2 + (-2)z + (2)z - 9 = 0$
$z^2 - 2z + 2z - 9 = 0$
$z^2 - 9 = 0$
$z^2 = 9$
Отсюда получаем два значения для $z$:
$z_1 = 3$ и $z_2 = -3$.
Таким образом, система имеет два решения.
Ответ: $(-2, 2, 3)$, $(-2, 2, -3)$.

72 а) $\begin{cases} 2x^4 + y^2 = 10 \\ x^2 + 2y^4 = 10 \end{cases};$

б) $\begin{cases} x^4 + y^2 = 30 \\ x^2 + y^4 = 30 \end{cases};$

в) $\begin{cases} x^4 + 2y^2 = 15 \\ 2x^2 + y^4 = 15 \end{cases}.$

Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} 2x^4+y^2=10 \\ x^2+2y^4=10 \end{cases} $

Поскольку правые части уравнений равны, приравняем их левые части: $ 2x^4+y^2 = x^2+2y^4 $ Перенесем все члены в одну сторону: $ 2x^4 - 2y^4 - x^2 + y^2 = 0 $ Сгруппируем и вынесем общие множители: $ 2(x^4 - y^4) - (x^2 - y^2) = 0 $ Применим формулу разности квадратов $ a^2-b^2 = (a-b)(a+b) $: $ 2(x^2 - y^2)(x^2 + y^2) - (x^2 - y^2) = 0 $ Вынесем общий множитель $ (x^2 - y^2) $: $ (x^2 - y^2)(2(x^2 + y^2) - 1) = 0 $

Это равенство выполняется в двух случаях:
1) $ x^2 - y^2 = 0 \implies x^2 = y^2 $
2) $ 2(x^2 + y^2) - 1 = 0 \implies x^2 + y^2 = \frac{1}{2} $

Случай 1: $ x^2 = y^2 $. Подставим $ y^2 = x^2 $ в первое уравнение исходной системы: $ 2x^4 + x^2 = 10 $ $ 2(x^2)^2 + x^2 - 10 = 0 $ Сделаем замену $ t = x^2 $. Поскольку $ x^2 $ не может быть отрицательным, $ t \ge 0 $. $ 2t^2 + t - 10 = 0 $ Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $ D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-10) = 1 + 80 = 81 = 9^2 $ $ t = \frac{-1 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm 9}{4} $ Получаем два корня: $ t_1 = \frac{-1 + 9}{4} = \frac{8}{4} = 2 $ $ t_2 = \frac{-1 - 9}{4} = \frac{-10}{4} = -2.5 $ Так как $ t \ge 0 $, корень $ t_2 = -2.5 $ не подходит. Следовательно, $ x^2 = 2 $. Так как $ x^2 = y^2 $, то и $ y^2 = 2 $. Из этого получаем значения для $ x $ и $ y $: $ x = \pm \sqrt{2} $ и $ y = \pm \sqrt{2} $. Это дает нам четыре пары решений: $ (\sqrt{2}, \sqrt{2}) $, $ (\sqrt{2}, -\sqrt{2}) $, $ (-\sqrt{2}, \sqrt{2}) $, $ (-\sqrt{2}, -\sqrt{2}) $.

Случай 2: $ x^2 + y^2 = \frac{1}{2} $. Отсюда $ y^2 = \frac{1}{2} - x^2 $. Поскольку $ y^2 \ge 0 $, должно выполняться условие $ x^2 \le \frac{1}{2} $. Подставим выражение для $ y^2 $ в первое уравнение системы: $ 2x^4 + (\frac{1}{2} - x^2) = 10 $ $ 2(x^2)^2 - x^2 + \frac{1}{2} - 10 = 0 $ $ 2(x^2)^2 - x^2 - \frac{19}{2} = 0 $ $ 4(x^2)^2 - 2x^2 - 19 = 0 $ Сделаем замену $ t = x^2 $, где $ 0 \le t \le \frac{1}{2} $. $ 4t^2 - 2t - 19 = 0 $ $ D = (-2)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-19) = 4 + 304 = 308 $ $ t = \frac{2 \pm \sqrt{308}}{8} = \frac{2 \pm 2\sqrt{77}}{8} = \frac{1 \pm \sqrt{77}}{4} $ Корень $ t = \frac{1 - \sqrt{77}}{4} < 0 $, так как $ \sqrt{77} > 1 $, он не подходит. Корень $ t = \frac{1 + \sqrt{77}}{4} $. Так как $ \sqrt{77} > \sqrt{4} = 2 $, то $ t > \frac{1+2}{4} = \frac{3}{4} $. Это значение не удовлетворяет условию $ t \le \frac{1}{2} $. Следовательно, в этом случае действительных решений нет.

Ответ: $ (\sqrt{2}; \sqrt{2}) $, $ (\sqrt{2}; -\sqrt{2}) $, $ (-\sqrt{2}; \sqrt{2}) $, $ (-\sqrt{2}; -\sqrt{2}) $.

Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} x^4+y^2=30 \\ x^2+y^4=30 \end{cases} $

Вычтем второе уравнение из первого: $ (x^4+y^2) - (x^2+y^4) = 30 - 30 $ $ x^4 - y^4 - x^2 + y^2 = 0 $ $ (x^2 - y^2)(x^2 + y^2) - (x^2 - y^2) = 0 $ $ (x^2 - y^2)(x^2 + y^2 - 1) = 0 $

Это равенство выполняется в двух случаях:
1) $ x^2 - y^2 = 0 \implies x^2 = y^2 $
2) $ x^2 + y^2 - 1 = 0 \implies x^2 + y^2 = 1 $

Случай 1: $ x^2 = y^2 $. Подставим $ y^2 = x^2 $ в первое уравнение системы: $ x^4 + x^2 = 30 $ $ (x^2)^2 + x^2 - 30 = 0 $ Сделаем замену $ t = x^2 $ ($ t \ge 0 $). $ t^2 + t - 30 = 0 $ По теореме Виета, корни уравнения $ t_1 = 5 $ и $ t_2 = -6 $. Корень $ t_2 = -6 $ не подходит, так как $ t \ge 0 $. Следовательно, $ x^2 = 5 $. Тогда и $ y^2 = 5 $. $ x = \pm \sqrt{5} $ и $ y = \pm \sqrt{5} $. Это дает четыре пары решений: $ (\sqrt{5}, \sqrt{5}) $, $ (\sqrt{5}, -\sqrt{5}) $, $ (-\sqrt{5}, \sqrt{5}) $, $ (-\sqrt{5}, -\sqrt{5}) $.

Случай 2: $ x^2 + y^2 = 1 $. Отсюда $ y^2 = 1 - x^2 $. Условие $ y^2 \ge 0 $ влечет $ x^2 \le 1 $. Подставим $ y^2 $ в первое уравнение системы: $ x^4 + (1 - x^2) = 30 $ $ (x^2)^2 - x^2 - 29 = 0 $ Сделаем замену $ t = x^2 $, где $ 0 \le t \le 1 $. $ t^2 - t - 29 = 0 $ $ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-29) = 1 + 116 = 117 $ $ t = \frac{1 \pm \sqrt{117}}{2} $ Корень $ t = \frac{1 - \sqrt{117}}{2} < 0 $, не подходит. Корень $ t = \frac{1 + \sqrt{117}}{2} $. Так как $ \sqrt{117} > \sqrt{1} = 1 $, то $ t > \frac{1+1}{2}=1 $. Это значение не удовлетворяет условию $ t \le 1 $. В этом случае действительных решений нет.

Ответ: $ (\sqrt{5}; \sqrt{5}) $, $ (\sqrt{5}; -\sqrt{5}) $, $ (-\sqrt{5}; \sqrt{5}) $, $ (-\sqrt{5}; -\sqrt{5}) $.

Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} x^4+2y^2=15 \\ 2x^2+y^4=15 \end{cases} $

Вычтем второе уравнение из первого: $ (x^4+2y^2) - (2x^2+y^4) = 15 - 15 $ $ x^4 - y^4 - 2x^2 + 2y^2 = 0 $ $ (x^2 - y^2)(x^2 + y^2) - 2(x^2 - y^2) = 0 $ $ (x^2 - y^2)(x^2 + y^2 - 2) = 0 $

Это равенство выполняется в двух случаях:
1) $ x^2 - y^2 = 0 \implies x^2 = y^2 $
2) $ x^2 + y^2 - 2 = 0 \implies x^2 + y^2 = 2 $

Случай 1: $ x^2 = y^2 $. Подставим $ y^2 = x^2 $ в первое уравнение системы: $ x^4 + 2x^2 = 15 $ $ (x^2)^2 + 2x^2 - 15 = 0 $ Сделаем замену $ t = x^2 $ ($ t \ge 0 $). $ t^2 + 2t - 15 = 0 $ По теореме Виета, корни уравнения $ t_1 = 3 $ и $ t_2 = -5 $. Корень $ t_2 = -5 $ не подходит, так как $ t \ge 0 $. Следовательно, $ x^2 = 3 $. Тогда и $ y^2 = 3 $. $ x = \pm \sqrt{3} $ и $ y = \pm \sqrt{3} $. Это дает четыре пары решений: $ (\sqrt{3}, \sqrt{3}) $, $ (\sqrt{3}, -\sqrt{3}) $, $ (-\sqrt{3}, \sqrt{3}) $, $ (-\sqrt{3}, -\sqrt{3}) $.

Случай 2: $ x^2 + y^2 = 2 $. Отсюда $ y^2 = 2 - x^2 $. Условие $ y^2 \ge 0 $ влечет $ x^2 \le 2 $. Подставим $ y^2 $ в первое уравнение системы: $ x^4 + 2(2 - x^2) = 15 $ $ (x^2)^2 + 4 - 2x^2 = 15 $ $ (x^2)^2 - 2x^2 - 11 = 0 $ Сделаем замену $ t = x^2 $, где $ 0 \le t \le 2 $. $ t^2 - 2t - 11 = 0 $ $ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-11) = 4 + 44 = 48 $ $ t = \frac{2 \pm \sqrt{48}}{2} = \frac{2 \pm 4\sqrt{3}}{2} = 1 \pm 2\sqrt{3} $ Корень $ t = 1 - 2\sqrt{3} < 0 $, не подходит. Корень $ t = 1 + 2\sqrt{3} $. Так как $ 2\sqrt{3} = \sqrt{12} > \sqrt{4} = 2 $, то $ t > 1+2 = 3 $. Это значение не удовлетворяет условию $ t \le 2 $. В этом случае действительных решений нет.

Ответ: $ (\sqrt{3}; \sqrt{3}) $, $ (\sqrt{3}; -\sqrt{3}) $, $ (-\sqrt{3}; \sqrt{3}) $, $ (-\sqrt{3}; -\sqrt{3}) $.

73 $\begin{cases} |x-1| + |y-5| = 1 \\ y = 5 + |x-1|. \end{cases}$

Для решения данной системы уравнений воспользуемся методом подстановки. Рассмотрим второе уравнение системы:

$y = 5 + |x - 1|$

Из этого уравнения можно выразить $|x - 1|$:

$|x - 1| = y - 5$

Так как значение модуля любого выражения не может быть отрицательным, то есть $|x - 1| \ge 0$, мы можем сделать вывод, что $y - 5 \ge 0$, а значит $y \ge 5$.

Теперь подставим полученное выражение для $|x - 1|$ в первое уравнение системы:

$|x - 1| + |y - 5| = 1$

$(y - 5) + |y - 5| = 1$

Поскольку мы уже установили, что $y \ge 5$, то выражение под знаком модуля $y - 5$ является неотрицательным. Это означает, что $|y - 5| = y - 5$. Подставим это в уравнение:

$(y - 5) + (y - 5) = 1$

Теперь решим это линейное уравнение относительно $y$:

$2(y - 5) = 1$

$y - 5 = \frac{1}{2}$

$y = 5 + \frac{1}{2}$

$y = 5.5$

Найденное значение $y=5.5$ удовлетворяет условию $y \ge 5$.

Теперь найдем соответствующие значения $x$. Для этого подставим значение $y$ в выражение $|x - 1| = y - 5$:

$|x - 1| = 5.5 - 5$

$|x - 1| = 0.5$

Данное уравнение с модулем имеет два решения:

1) $x - 1 = 0.5 \implies x = 1.5$

2) $x - 1 = -0.5 \implies x = 0.5$

Таким образом, система имеет два решения: $(1.5; 5.5)$ и $(0.5; 5.5)$.

Проверим найденные решения, подставив их в исходную систему.

Для точки $(1.5; 5.5)$:

$|1.5 - 1| + |5.5 - 5| = |0.5| + |0.5| = 0.5 + 0.5 = 1$

$5.5 = 5 + |1.5 - 1| \implies 5.5 = 5 + 0.5 \implies 5.5 = 5.5$

Оба равенства верны, решение корректно.

Для точки $(0.5; 5.5)$:

$|0.5 - 1| + |5.5 - 5| = |-0.5| + |0.5| = 0.5 + 0.5 = 1$

$5.5 = 5 + |0.5 - 1| \implies 5.5 = 5 + |-0.5| \implies 5.5 = 5 + 0.5 \implies 5.5 = 5.5$

Оба равенства верны, второе решение также корректно.

Ответ: $(0.5; 5.5), (1.5; 5.5)$.

74 а) $\begin{cases} x^2 + xy + y^2 = 4 \\ x + xy + y = 2 \end{cases}$

б) $\begin{cases} x + y + xy = 7 \\ x^2 + y^2 + xy = 13 \end{cases}$

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 + xy + y^2 = 4 \\ x + xy + y = 2 \end{cases} $

Эта система является симметрической, так как уравнения не меняются при замене $x$ на $y$ и $y$ на $x$. Для решения таких систем удобно использовать замену переменных через элементарные симметрические многочлены. Пусть $s = x + y$ и $p = xy$.

Выразим уравнения системы через $s$ и $p$.
Первое уравнение: $x^2 + xy + y^2 = (x^2 + 2xy + y^2) - xy = (x+y)^2 - xy = s^2 - p$.
Второе уравнение: $(x+y) + xy = s + p$.

Получаем новую систему уравнений относительно $s$ и $p$: $ \begin{cases} s^2 - p = 4 \\ s + p = 2 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $p$: $p = 2 - s$. Подставим это выражение в первое уравнение: $s^2 - (2 - s) = 4$
$s^2 + s - 2 = 4$
$s^2 + s - 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение для $s$. По теореме Виета, корни уравнения: $s_1 = -3$, $s_2 = 2$.

Теперь найдем соответствующие значения $p$ для каждого корня $s$:
1. Если $s_1 = -3$, то $p_1 = 2 - s_1 = 2 - (-3) = 5$.
2. Если $s_2 = 2$, то $p_2 = 2 - s_2 = 2 - 2 = 0$.

Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$, решив две системы.

Случай 1: $s_1 = -3, p_1 = 5$.
$ \begin{cases} x + y = -3 \\ xy = 5 \end{cases} $
Согласно теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - st + p = 0$:
$t^2 - (-3)t + 5 = 0$
$t^2 + 3t + 5 = 0$
Найдем дискриминант: $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 9 - 20 = -11$.
Так как $D < 0$, в этом случае действительных решений нет.

Случай 2: $s_2 = 2, p_2 = 0$.
$ \begin{cases} x + y = 2 \\ xy = 0 \end{cases} $
Составим квадратное уравнение:
$t^2 - 2t + 0 = 0$
$t(t-2) = 0$
Корни уравнения: $t_1 = 0$, $t_2 = 2$.
Следовательно, решениями системы являются пары $(0, 2)$ и $(2, 0)$.

Ответ: $(0, 2), (2, 0)$.

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x + y + xy = 7 \\ x^2 + y^2 + xy = 13 \end{cases} $

Эта система также является симметрической. Сделаем замену: $s = x + y$ и $p = xy$.

Выразим уравнения системы через $s$ и $p$.
Первое уравнение: $(x+y) + xy = s + p$.
Второе уравнение: $x^2 + y^2 + xy = (x^2 + 2xy + y^2) - xy = (x+y)^2 - xy = s^2 - p$.

Получаем новую систему уравнений: $ \begin{cases} s + p = 7 \\ s^2 - p = 13 \end{cases} $

Сложим два уравнения системы, чтобы исключить $p$:
$(s+p) + (s^2 - p) = 7 + 13$
$s^2 + s = 20$
$s^2 + s - 20 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение для $s$. По теореме Виета, корни уравнения: $s_1 = -5$, $s_2 = 4$.

Теперь найдем соответствующие значения $p$ для каждого корня $s$, используя уравнение $p = 7 - s$:
1. Если $s_1 = -5$, то $p_1 = 7 - (-5) = 12$.
2. Если $s_2 = 4$, то $p_2 = 7 - 4 = 3$.

Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$.

Случай 1: $s_1 = -5, p_1 = 12$.
$ \begin{cases} x + y = -5 \\ xy = 12 \end{cases} $
Составим квадратное уравнение $t^2 - st + p = 0$:
$t^2 - (-5)t + 12 = 0$
$t^2 + 5t + 12 = 0$
Найдем дискриминант: $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 25 - 48 = -23$.
Так как $D < 0$, в этом случае действительных решений нет.

Случай 2: $s_2 = 4, p_2 = 3$.
$ \begin{cases} x + y = 4 \\ xy = 3 \end{cases} $
Составим квадратное уравнение:
$t^2 - 4t + 3 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $t_1 = 1$, $t_2 = 3$.
Следовательно, решениями системы являются пары $(1, 3)$ и $(3, 1)$.

Ответ: $(1, 3), (3, 1)$.

75 а) $\begin{cases} x^2 - 4x - 2y - 1 = 0 \\ y^2 - 2x + 6y + 14 = 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 - 4x + 4y + 27 = 0 \\ y^2 + 2x + 8y + 10 = 0; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x^2 - 6x - 3y - 1 = 0 \\ y^2 + 2x + 9y + 14 = 0; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x^2 + 7x - y + 11 = 0 \\ y^2 + 3x - y + 15 = 0. \end{cases}$

а)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - 4x - 2y - 1 = 0 \\ y^2 - 2x + 6y + 14 = 0 \end{cases} $

Сложим два уравнения системы, чтобы получить одно уравнение с двумя переменными, которое может быть проще.

$(x^2 - 4x - 2y - 1) + (y^2 - 2x + 6y + 14) = 0$

Сгруппируем слагаемые с $x$ и с $y$:

$x^2 - 6x + y^2 + 4y + 13 = 0$

Это уравнение похоже на уравнение окружности. Выделим полные квадраты для переменных $x$ и $y$.

$(x^2 - 6x + 9) - 9 + (y^2 + 4y + 4) - 4 + 13 = 0$

$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 - 13 + 13 = 0$

$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 0$

Сумма двух неотрицательных чисел (квадратов) равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю.

Отсюда получаем систему:

$ \begin{cases} (x - 3)^2 = 0 \\ (y + 2)^2 = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x - 3 = 0 \\ y + 2 = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = 3 \\ y = -2 \end{cases} $

Мы получили единственное возможное решение $(3, -2)$. Выполним проверку, подставив эти значения в оба исходных уравнения.

Проверка для первого уравнения: $x^2 - 4x - 2y - 1 = 0$

$3^2 - 4(3) - 2(-2) - 1 = 9 - 12 + 4 - 1 = 0$

$0 = 0$. Верно.

Проверка для второго уравнения: $y^2 - 2x + 6y + 14 = 0$

$(-2)^2 - 2(3) + 6(-2) + 14 = 4 - 6 - 12 + 14 = 0$

$0 = 0$. Верно.

Решение $(3, -2)$ удовлетворяет обоим уравнениям системы.

Ответ: $(3, -2)$.

б)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - 4x + 4y + 27 = 0 \\ y^2 + 2x + 8y + 10 = 0 \end{cases} $

Сложим два уравнения системы:

$(x^2 - 4x + 4y + 27) + (y^2 + 2x + 8y + 10) = 0$

$x^2 - 2x + y^2 + 12y + 37 = 0$

Выделим полные квадраты для переменных $x$ и $y$:

$(x^2 - 2x + 1) - 1 + (y^2 + 12y + 36) - 36 + 37 = 0$

$(x - 1)^2 + (y + 6)^2 - 37 + 37 = 0$

$(x - 1)^2 + (y + 6)^2 = 0$

Сумма квадратов равна нулю, только если каждое слагаемое равно нулю.

$ \begin{cases} x - 1 = 0 \\ y + 6 = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = 1 \\ y = -6 \end{cases} $

Получили решение $(1, -6)$. Проверим его, подставив в исходную систему.

Проверка для первого уравнения: $x^2 - 4x + 4y + 27 = 0$

$1^2 - 4(1) + 4(-6) + 27 = 1 - 4 - 24 + 27 = 0$

$0 = 0$. Верно.

Проверка для второго уравнения: $y^2 + 2x + 8y + 10 = 0$

$(-6)^2 + 2(1) + 8(-6) + 10 = 36 + 2 - 48 + 10 = 0$

$0 = 0$. Верно.

Решение $(1, -6)$ является верным.

Ответ: $(1, -6)$.

в)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - 6x - 3y - 1 = 0 \\ y^2 + 2x + 9y + 14 = 0 \end{cases} $

Сложим оба уравнения:

$(x^2 - 6x - 3y - 1) + (y^2 + 2x + 9y + 14) = 0$

$x^2 - 4x + y^2 + 6y + 13 = 0$

Выделим полные квадраты:

$(x^2 - 4x + 4) - 4 + (y^2 + 6y + 9) - 9 + 13 = 0$

$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 - 13 + 13 = 0$

$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 0$

Это равенство возможно только если оба слагаемых равны нулю.

$ \begin{cases} x - 2 = 0 \\ y + 3 = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = 2 \\ y = -3 \end{cases} $

Получили решение $(2, -3)$. Проверим его.

Проверка для первого уравнения: $x^2 - 6x - 3y - 1 = 0$

$2^2 - 6(2) - 3(-3) - 1 = 4 - 12 + 9 - 1 = 0$

$0 = 0$. Верно.

Проверка для второго уравнения: $y^2 + 2x + 9y + 14 = 0$

$(-3)^2 + 2(2) + 9(-3) + 14 = 9 + 4 - 27 + 14 = 0$

$0 = 0$. Верно.

Решение $(2, -3)$ является верным.

Ответ: $(2, -3)$.

г)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + 7x - y + 11 = 0 \\ y^2 + 3x - y + 15 = 0 \end{cases} $

В этой системе вычитание одного уравнения из другого привело бы к упрощению, но метод сложения также работает и приводит к результату аналогично предыдущим пунктам. Сложим уравнения:

$(x^2 + 7x - y + 11) + (y^2 + 3x - y + 15) = 0$

Такой подход не упрощает задачу. Попробуем сложить по-другому или вычесть. Если вычесть второе из первого, то получим $x^2 - y^2 + 4x - 4 = 0$, что не сильно помогает. Посмотрим, нет ли опечатки в условии. Предположим, что во втором уравнении перед $y$ должен быть плюс. Если бы система была $x^2+7x-y+11=0$ и $y^2+3x+y+15=0$, то при сложении получили бы $x^2+y^2+10x+26=0$, что тоже не упрощается до точки.

Вернемся к исходной системе и попробуем снова сложить уравнения, возможно, я допустил ошибку в расчетах ранее.$(x^2 + 7x - y + 11) + (y^2 + 3x - y + 15) = x^2+y^2+10x-2y+26=0$.Да, это уравнение окружности. Выделим полные квадраты.$(x^2 + 10x + 25) - 25 + (y^2 - 2y + 1) - 1 + 26 = 0$$(x + 5)^2 + (y - 1)^2 - 26 + 26 = 0$$(x + 5)^2 + (y - 1)^2 = 0$

Сумма квадратов равна нулю, если каждый квадрат равен нулю.

$ \begin{cases} x + 5 = 0 \\ y - 1 = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = -5 \\ y = 1 \end{cases} $

Получили решение $(-5, 1)$. Выполним проверку.

Проверка для первого уравнения: $x^2 + 7x - y + 11 = 0$

$(-5)^2 + 7(-5) - 1 + 11 = 25 - 35 - 1 + 11 = -10 - 1 + 11 = 0$

$0 = 0$. Верно.

Проверка для второго уравнения: $y^2 + 3x - y + 15 = 0$

$1^2 + 3(-5) - 1 + 15 = 1 - 15 - 1 + 15 = 0$

$0 = 0$. Верно.

Решение $(-5, 1)$ является верным.

Ответ: $(-5, 1)$.

76 a) $\begin{cases} \frac{x}{a-b} - \frac{y}{a+b} = 2ab \\ y - x = 2b^3; \end{cases}$

где $a, b, c, d$ — данные числа и

б) $\begin{cases} (c+d)x + (c-d)y = 2c^3 \\ \frac{x+cd}{y-cd} = 1, \end{cases}$

$|a| \ne |b|, cd \ne 0.$

a)

Дана система уравнений:

$$\begin{cases}\frac{x}{a-b} - \frac{y}{a+b} = 2ab \\y - x = 2b^3\end{cases}$$

Условие $|a| \neq |b|$ гарантирует, что знаменатели $a-b$ и $a+b$ не равны нулю.

1. Преобразуем первое уравнение системы, приведя левую часть к общему знаменателю $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$$ \frac{x(a+b) - y(a-b)}{(a-b)(a+b)} = 2ab $$

$$ x(a+b) - y(a-b) = 2ab(a^2 - b^2) $$

2. Из второго уравнения системы выразим $y$ через $x$:

$$ y = x + 2b^3 $$

3. Подставим полученное выражение для $y$ в преобразованное первое уравнение:

$$ x(a+b) - (x + 2b^3)(a-b) = 2ab(a^2 - b^2) $$

4. Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:

$$ ax + bx - (ax - bx + 2ab^3 - 2b^4) = 2ab(a^2 - b^2) $$

$$ ax + bx - ax + bx - 2ab^3 + 2b^4 = 2ab(a^2 - b^2) $$

$$ 2bx = 2ab(a^2 - b^2) + 2ab^3 - 2b^4 $$

Предполагая, что $b \neq 0$, разделим обе части на $2b$:

$$ x = a(a^2 - b^2) + ab^2 - b^3 $$

$$ x = a^3 - ab^2 + ab^2 - b^3 $$

$$ x = a^3 - b^3 $$

5. Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в выражение $y = x + 2b^3$:

$$ y = (a^3 - b^3) + 2b^3 $$

$$ y = a^3 + b^3 $$

Таким образом, решение системы найдено.

Ответ: $x = a^3 - b^3, y = a^3 + b^3$.

б)

Дана система уравнений:

$$\begin{cases}(c+d)x + (c-d)y = 2c^3 \\\frac{x+cd}{y-cd} = 1\end{cases}$$

Условие $cd \neq 0$ означает, что $c \neq 0$ и $d \neq 0$. Также из второго уравнения следует, что $y-cd \neq 0$.

1. Преобразуем второе уравнение системы:

$$ x+cd = y-cd $$

Отсюда выразим $y$ через $x$:

$$ y = x + 2cd $$

2. Подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение системы:

$$ (c+d)x + (c-d)(x + 2cd) = 2c^3 $$

3. Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:

$$ (c+d)x + (c-d)x + (c-d)(2cd) = 2c^3 $$

Сгруппируем члены с $x$:

$$ (c+d+c-d)x = 2c^3 - 2cd(c-d) $$

$$ 2cx = 2c^3 - 2c^2d + 2cd^2 $$

Поскольку по условию $c \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $2c$:

$$ x = c^2 - cd + d^2 $$

4. Теперь найдем $y$, подставив найденное значение $x$ в выражение $y = x + 2cd$:

$$ y = (c^2 - cd + d^2) + 2cd $$

$$ y = c^2 + cd + d^2 $$

Решение найдено. Заметим, что $y-cd = (c^2+cd+d^2) - cd = c^2+d^2$. Так как $c, d$ - вещественные числа и $cd \neq 0$, то $c^2+d^2>0$, что удовлетворяет условию $y-cd \neq 0$.

Ответ: $x = c^2 - cd + d^2, y = c^2 + cd + d^2$.

Решение неравенств

Решите неравенство (77—102):

77

а) $5x + 7 > 3x + 20$;

б) $10x + 5 < 7x + 16$;

в) $3x + 11 < 7x - 5$;

г) $11x - 8 > -x - 13$;

д) $-x + 6 \leq 4x - 9$;

е) $-2x + 3 \geq 5x - 12$.

а) $5x + 7 > 3x + 20$

Для решения линейного неравенства перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а постоянные слагаемые — в правую часть. При переносе слагаемого из одной части в другую его знак меняется на противоположный.

$5x - 3x > 20 - 7$

Далее приведем подобные слагаемые в каждой части неравенства.

$2x > 13$

Разделим обе части неравенства на коэффициент при $x$, то есть на 2. Так как мы делим на положительное число, знак неравенства ($>$) сохраняется.

$x > \frac{13}{2}$

$x > 6.5$

Решением неравенства является числовой промежуток от 6.5 до плюс бесконечности, не включая 6.5.

Ответ: $(6.5; +\infty)$.

б) $10x + 5 < 7x + 16$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части неравенства, а числовые слагаемые — в правой.

$10x - 7x < 16 - 5$

Приведем подобные слагаемые.

$3x < 11$

Разделим обе части на 3. Знак неравенства ($<$) не меняется, так как 3 — положительное число.

$x < \frac{11}{3}$

Решением является интервал от минус бесконечности до $\frac{11}{3}$, не включая $\frac{11}{3}$.

Ответ: $(-\infty; \frac{11}{3})$.

в) $3x + 11 < 7x - 5$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую.

$3x - 7x < -5 - 11$

Упростим обе части неравенства.

$-4x < -16$

Разделим обе части на -4. При делении на отрицательное число знак неравенства ($<$) меняется на противоположный ($>$).

$x > \frac{-16}{-4}$

$x > 4$

Решением является интервал от 4 до плюс бесконечности, не включая 4.

Ответ: $(4; +\infty)$.

г) $11x - 8 > -x - 13$

Соберем все слагаемые с $x$ в левой части, а числа — в правой.

$11x + x > -13 + 8$

Приведем подобные слагаемые.

$12x > -5$

Разделим обе части на 12. Знак неравенства ($>$) сохраняется.

$x > -\frac{5}{12}$

Решением является интервал от $-\frac{5}{12}$ до плюс бесконечности, не включая $-\frac{5}{12}$.

Ответ: $(-\frac{5}{12}; +\infty)$.

д) $-x + 6 \le 4x - 9$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а константы — в правую.

$-x - 4x \le -9 - 6$

Упростим обе части неравенства.

$-5x \le -15$

Разделим обе части на -5. При делении на отрицательное число знак нестрогого неравенства ($\le$) меняется на противоположный ($\ge$).

$x \ge \frac{-15}{-5}$

$x \ge 3$

Решением является числовой промежуток от 3 до плюс бесконечности, включая 3.

Ответ: $[3; +\infty)$.

е) $-2x + 3 \ge 5x - 12$

Сгруппируем слагаемые с $x$ слева, а числа — справа.

$-2x - 5x \ge -12 - 3$

Приведем подобные слагаемые.

$-7x \ge -15$

Разделим обе части на -7. При делении на отрицательное число знак нестрогого неравенства ($\ge$) меняется на противоположный ($\le$).

$x \le \frac{-15}{-7}$

$x \le \frac{15}{7}$

Решением является числовой промежуток от минус бесконечности до $\frac{15}{7}$, включая $\frac{15}{7}$.

Ответ: $(-\infty; \frac{15}{7}]$.