Страница 370 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Системы уравнений

Решите систему уравнений (60—62):

$\begin{cases} 3x + y = 13 \\ x - y = 3 \end{cases}$;

$\begin{cases} 2x + y = 1 \\ x - 2y = 8 \end{cases}$;

$\begin{cases} 2x + 3y = 1 \\ 3x + y = 5 \end{cases}$;

$\begin{cases} 2x + y - 1 = 0 \\ x - 2y + 5 = 0 \end{cases}$;

$\begin{cases} 2x + 3y = 165 \\ 5x + 2y = 330 \end{cases}$;

$\begin{cases} 2x + 3y = 49 \\ 3x + 2y = 46 \end{cases}$.

а) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 3x + y = 13 \\ x - y = 3 \end{cases} $
Для решения этой системы удобно использовать метод алгебраического сложения, так как коэффициенты при переменной $y$ противоположны. Сложим левые и правые части уравнений:
$(3x + y) + (x - y) = 13 + 3$
$4x = 16$
$x = \frac{16}{4}$
$x = 4$
Теперь подставим найденное значение $x$ в любое из уравнений системы, например, во второе:
$4 - y = 3$
$-y = 3 - 4$
$-y = -1$
$y = 1$
Проверим, подставив найденные значения в первое уравнение: $3(4) + 1 = 12 + 1 = 13$. Решение верное.
Ответ: (4; 1).

б) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 2x + y = 1 \\ x - 2y = 8 \end{cases} $
Решим систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $y$:
$y = 1 - 2x$
Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы:
$x - 2(1 - 2x) = 8$
$x - 2 + 4x = 8$
$5x = 8 + 2$
$5x = 10$
$x = 2$
Теперь найдем значение $y$, подставив $x = 2$ в выражение для $y$:
$y = 1 - 2(2) = 1 - 4 = -3$
Проверим, подставив найденные значения во второе уравнение: $2 - 2(-3) = 2 + 6 = 8$. Решение верное.
Ответ: (2; -3).

в) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 2x + 3y = 1 \\ 3x + y = 5 \end{cases} $
Используем метод подстановки. Из второго уравнения выразим $y$:
$y = 5 - 3x$
Подставим это выражение в первое уравнение:
$2x + 3(5 - 3x) = 1$
$2x + 15 - 9x = 1$
$-7x = 1 - 15$
$-7x = -14$
$x = \frac{-14}{-7} = 2$
Найдем $y$:
$y = 5 - 3(2) = 5 - 6 = -1$
Проверим, подставив найденные значения во второе уравнение: $3(2) + (-1) = 6 - 1 = 5$. Решение верное.
Ответ: (2; -1).

г) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 2x + y - 1 = 0 \\ x - 2y + 5 = 0 \end{cases} $
Сначала приведем уравнения к стандартному виду: $ \begin{cases} 2x + y = 1 \\ x - 2y = -5 \end{cases} $
Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 2:
$2(2x + y) = 2 \cdot 1 \implies 4x + 2y = 2$
Теперь система выглядит так: $ \begin{cases} 4x + 2y = 2 \\ x - 2y = -5 \end{cases} $
Сложим уравнения:
$(4x + 2y) + (x - 2y) = 2 + (-5)$
$5x = -3$
$x = -\frac{3}{5}$
Подставим $x = -\frac{3}{5}$ в уравнение $2x + y = 1$:
$2(-\frac{3}{5}) + y = 1$
$-\frac{6}{5} + y = 1$
$y = 1 + \frac{6}{5} = \frac{5}{5} + \frac{6}{5} = \frac{11}{5}$
Ответ: $(-\frac{3}{5}; \frac{11}{5})$.

д) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 2x + 3y = 165 \\ 5x + 2y = 330 \end{cases} $
Решим методом сложения. Умножим первое уравнение на 2, а второе на -3:
$ \begin{cases} 2(2x + 3y) = 2 \cdot 165 \\ -3(5x + 2y) = -3 \cdot 330 \end{cases} $
$ \begin{cases} 4x + 6y = 330 \\ -15x - 6y = -990 \end{cases} $
Сложим полученные уравнения:
$(4x - 15x) + (6y - 6y) = 330 - 990$
$-11x = -660$
$x = \frac{-660}{-11} = 60$
Подставим $x = 60$ в первое исходное уравнение:
$2(60) + 3y = 165$
$120 + 3y = 165$
$3y = 165 - 120$
$3y = 45$
$y = \frac{45}{3} = 15$
Проверим, подставив найденные значения во второе уравнение: $5(60) + 2(15) = 300 + 30 = 330$. Решение верное.
Ответ: (60; 15).

е) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 2x + 3y = 49 \\ 3x + 2y = 46 \end{cases} $
Решим методом сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на -2, чтобы исключить $x$:
$ \begin{cases} 3(2x + 3y) = 3 \cdot 49 \\ -2(3x + 2y) = -2 \cdot 46 \end{cases} $
$ \begin{cases} 6x + 9y = 147 \\ -6x - 4y = -92 \end{cases} $
Сложим уравнения:
$(6x - 6x) + (9y - 4y) = 147 - 92$
$5y = 55$
$y = \frac{55}{5} = 11$
Подставим $y = 11$ во второе исходное уравнение:
$3x + 2(11) = 46$
$3x + 22 = 46$
$3x = 46 - 22$
$3x = 24$
$x = \frac{24}{3} = 8$
Проверим, подставив найденные значения в первое уравнение: $2(8) + 3(11) = 16 + 33 = 49$. Решение верное.
Ответ: (8; 11).

61 a) $\begin{cases} x - 2y - 3z = -6 \\ 4x - 7y - 5z = -5 \\ 2x - y + 2z = 6; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x + 2y - z = 2 \\ 3x - 2y + z = 2 \\ 4x + 4y + z = 15. \end{cases}$

а) Решим систему уравнений:

$\begin{cases} x - 2y - 3z = -6 \\ 4x - 7y - 5z = -5 \\ 2x - y + 2z = 6 \end{cases}$

1. Выразим x из первого уравнения:

$x = 2y + 3z - 6$

2. Подставим это выражение для x во второе и третье уравнения системы.

Подставляем во второе уравнение:

$4(2y + 3z - 6) - 7y - 5z = -5$

$8y + 12z - 24 - 7y - 5z = -5$

$y + 7z = 19$

Подставляем в третье уравнение:

$2(2y + 3z - 6) - y + 2z = 6$

$4y + 6z - 12 - y + 2z = 6$

$3y + 8z = 18$

3. Теперь у нас есть новая система из двух уравнений с двумя переменными y и z:

$\begin{cases} y + 7z = 19 \\ 3y + 8z = 18 \end{cases}$

Выразим y из первого уравнения новой системы:

$y = 19 - 7z$

Подставим это выражение во второе уравнение новой системы:

$3(19 - 7z) + 8z = 18$

$57 - 21z + 8z = 18$

$-13z = 18 - 57$

$-13z = -39$

$z = 3$

4. Теперь найдем y, подставив значение z:

$y = 19 - 7(3) = 19 - 21 = -2$

5. Наконец, найдем x, подставив значения y и z:

$x = 2(-2) + 3(3) - 6 = -4 + 9 - 6 = -1$

Ответ: $x = -1, y = -2, z = 3$.

б) Решим систему уравнений:

$\begin{cases} x + 2y - z = 2 \\ 3x - 2y + z = 2 \\ 4x + 4y + z = 15 \end{cases}$

1. Сложим первое и второе уравнения системы, чтобы исключить переменные y и z:

$(x + 2y - z) + (3x - 2y + z) = 2 + 2$

$4x = 4$

$x = 1$

2. Подставим найденное значение $x=1$ в первое и третье уравнения исходной системы.

Подставляем в первое уравнение:

$1 + 2y - z = 2$

$2y - z = 1$

Подставляем в третье уравнение:

$4(1) + 4y + z = 15$

$4 + 4y + z = 15$

$4y + z = 11$

3. Теперь у нас есть новая система из двух уравнений с двумя переменными y и z:

$\begin{cases} 2y - z = 1 \\ 4y + z = 11 \end{cases}$

Сложим эти два уравнения, чтобы исключить z:

$(2y - z) + (4y + z) = 1 + 11$

$6y = 12$

$y = 2$

4. Теперь найдем z, подставив значение y в одно из уравнений новой системы, например, в $2y - z = 1$:

$2(2) - z = 1$

$4 - z = 1$

$z = 3$

Ответ: $x = 1, y = 2, z = 3$.

62 a) $$\begin{cases} -x+y-z=14 \\ 3x+y+2z=-2 \\ 2x-y-3z=1 \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} x+2y+3z=6 \\ 2x+3y+z=6 \\ 3x+y+2z=6 \end{cases}$$

а)

Дана система линейных уравнений:

$\begin{cases} -x + y - z = 14 \\ 3x + y + 2z = -2 \\ 2x - y - 3z = 1 \end{cases}$

Решим систему методом алгебраического сложения (методом исключения). Цель — избавиться от одной из переменных в двух уравнениях.

1. Сложим второе и третье уравнения, чтобы исключить переменную $y$:

$(3x + y + 2z) + (2x - y - 3z) = -2 + 1$

$5x - z = -1$

2. Вычтем первое уравнение из второго, чтобы также исключить $y$:

$(3x + y + 2z) - (-x + y - z) = -2 - 14$

$3x + y + 2z + x - y + z = -16$

$4x + 3z = -16$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными $x$ и $z$:

$\begin{cases} 5x - z = -1 \\ 4x + 3z = -16 \end{cases}$

Из первого уравнения новой системы выразим $z$ через $x$:

$z = 5x + 1$

Подставим это выражение для $z$ во второе уравнение новой системы:

$4x + 3(5x + 1) = -16$

$4x + 15x + 3 = -16$

$19x = -19$

$x = -1$

Теперь найдем $z$, подставив найденное значение $x$ в выражение $z = 5x + 1$:

$z = 5(-1) + 1 = -5 + 1 = -4$

Наконец, найдем $y$, подставив значения $x = -1$ и $z = -4$ в любое из исходных уравнений. Возьмем первое уравнение: $-x + y - z = 14$.

$-(-1) + y - (-4) = 14$

$1 + y + 4 = 14$

$y + 5 = 14$

$y = 9$

Проверим найденное решение $(-1; 9; -4)$, подставив его во все уравнения исходной системы:

1) $-(-1) + 9 - (-4) = 1 + 9 + 4 = 14$ (Верно)

2) $3(-1) + 9 + 2(-4) = -3 + 9 - 8 = -2$ (Верно)

3) $2(-1) - 9 - 3(-4) = -2 - 9 + 12 = 1$ (Верно)

Ответ: $x = -1, y = 9, z = -4$.

б)

Дана система линейных уравнений:

$\begin{cases} x + 2y + 3z = 6 \\ 2x + 3y + z = 6 \\ 3x + y + 2z = 6 \end{cases}$

Это симметричная система. Заметим, что правые части всех уравнений равны. Сложим все три уравнения системы:

$(x + 2y + 3z) + (2x + 3y + z) + (3x + y + 2z) = 6 + 6 + 6$

$(x+2x+3x) + (2y+3y+y) + (3z+z+2z) = 18$

$6x + 6y + 6z = 18$

Разделим обе части полученного уравнения на 6:

$x + y + z = 3$

Теперь у нас есть более простое четвертое уравнение. Мы можем использовать его для нахождения переменных. Вычтем это новое уравнение из первого исходного уравнения:

$(x + 2y + 3z) - (x + y + z) = 6 - 3$

$y + 2z = 3$

Теперь вычтем второе исходное уравнение из удвоенного нового уравнения $2(x+y+z) = 6$:

$(2x + 2y + 2z) - (2x + 3y + z) = 6 - 6$

$-y + z = 0$, откуда следует, что $z = y$.

Теперь у нас есть простая система из двух уравнений:

$\begin{cases} y + 2z = 3 \\ z = y \end{cases}$

Подставим $z = y$ в первое уравнение этой системы:

$y + 2y = 3$

$3y = 3$

$y = 1$

Так как $z = y$, то $z = 1$.

Теперь найдем $x$, подставив значения $y=1$ и $z=1$ в уравнение $x + y + z = 3$:

$x + 1 + 1 = 3$

$x + 2 = 3$

$x = 1$

Проверим найденное решение $(1; 1; 1)$, подставив его во все уравнения исходной системы:

1) $1 + 2(1) + 3(1) = 1 + 2 + 3 = 6$ (Верно)

2) $2(1) + 3(1) + 1 = 2 + 3 + 1 = 6$ (Верно)

3) $3(1) + 1 + 2(1) = 3 + 1 + 2 = 6$ (Верно)

Ответ: $x = 1, y = 1, z = 1$.

ИССЛЕДУЕМ (63–68):

63 При каком значении a система уравнений

$\begin{cases} ax + 3y = 5 \\ 4x + (4 + a)y = 10 \end{cases}$

a) не имеет решений;

б) имеет бесконечно много решений;

в) имеет единственное решение?

Для анализа системы линейных уравнений $ \begin{cases} ax + 3y = 5 \\ 4x + (4 + a)y = 10 \end{cases} $ воспользуемся условиями, связывающими коэффициенты уравнений вида $ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $.

Коэффициенты нашей системы: $ a_1 = a $, $ b_1 = 3 $, $ c_1 = 5 $, $ a_2 = 4 $, $ b_2 = 4+a $, $ c_2 = 10 $.

Составим отношения коэффициентов:

$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{a}{4} $

$ \frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{4+a} $

$ \frac{c_1}{c_2} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} $

Ключевым для определения количества решений является соотношение $ \frac{a}{4} = \frac{3}{4+a} $. Решим это уравнение относительно $ a $ (при условии $ 4+a \neq 0 $):

$ a(4+a) = 4 \cdot 3 $

$ 4a + a^2 = 12 $

$ a^2 + 4a - 12 = 0 $

Найдем корни этого квадратного уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна -4, а произведение -12. Корнями являются $ a = 2 $ и $ a = -6 $.

Теперь рассмотрим каждый из требуемых случаев.

а) не имеет решений

Система не имеет решений, если отношения коэффициентов при переменных равны, но не равны отношению свободных членов. То есть, должно выполняться условие: $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} $.

В нашем случае: $ \frac{a}{4} = \frac{3}{4+a} \neq \frac{1}{2} $.

Мы уже нашли, что равенство $ \frac{a}{4} = \frac{3}{4+a} $ выполняется при $ a = 2 $ и $ a = -6 $. Теперь нужно проверить, для какого из этих значений выполняется неравенство с $ \frac{1}{2} $.

1. Проверяем $ a = 2 $:

$ \frac{a}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $.

Так как $ \frac{1}{2} = \frac{1}{2} $, условие $ \neq \frac{1}{2} $ не выполняется. Значит, $ a=2 $ не подходит.

2. Проверяем $ a = -6 $:

$ \frac{a}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2} $.

Сравниваем с $ \frac{1}{2} $: $ -\frac{3}{2} \neq \frac{1}{2} $. Условие выполняется.

Следовательно, при $ a = -6 $ система не имеет решений.

Ответ: $ a = -6 $.

б) имеет бесконечно много решений

Система имеет бесконечно много решений, если отношения коэффициентов при переменных и отношения свободных членов равны. То есть, должно выполняться условие: $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} $.

В нашем случае: $ \frac{a}{4} = \frac{3}{4+a} = \frac{1}{2} $.

Из пункта а) мы знаем, что при $ a = 2 $ все три отношения равны $ \frac{1}{2} $.

$ \frac{2}{4} = \frac{3}{4+2} = \frac{5}{10} \implies \frac{1}{2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \implies \frac{1}{2} = \frac{1}{2} = \frac{1}{2} $.

Все части равенства верны. Следовательно, при $ a = 2 $ система имеет бесконечно много решений.

Ответ: $ a = 2 $.

в) имеет единственное решение

Система имеет единственное решение, если отношения коэффициентов при переменных не равны. То есть, должно выполняться условие: $ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} $.

В нашем случае: $ \frac{a}{4} \neq \frac{3}{4+a} $.

Мы выяснили, что равенство $ \frac{a}{4} = \frac{3}{4+a} $ выполняется при $ a = 2 $ и $ a = -6 $. Следовательно, неравенство будет выполняться при всех остальных значениях $ a $.

Таким образом, система имеет единственное решение при всех значениях $ a $, кроме 2 и -6.

Ответ: $ a \neq 2 $ и $ a \neq -6 $, что можно записать в виде объединения интервалов: $ a \in (-\infty; -6) \cup (-6; 2) \cup (2; +\infty) $.

64 При каком значении a система уравнений $\begin{cases} ax + y = a \\ x + (2a + 1)y = a + 2 \end{cases}$

a) не имеет решений;

б) имеет бесконечно много решений;

в) имеет единственное решение?

Для анализа количества решений данной системы линейных уравнений воспользуемся методом Крамера. Система имеет вид:

$$\begin{cases}ax + 1 \cdot y = a \\1 \cdot x + (2a + 1)y = a + 2\end{cases}$$

Вычислим главный определитель системы $\Delta$:

$$\Delta = \begin{vmatrix} a & 1 \\ 1 & 2a+1 \end{vmatrix} = a(2a+1) - 1 \cdot 1 = 2a^2 + a - 1$$

Также вычислим вспомогательные определители $\Delta_x$ и $\Delta_y$:

$$\Delta_x = \begin{vmatrix} a & 1 \\ a+2 & 2a+1 \end{vmatrix} = a(2a+1) - 1(a+2) = 2a^2 + a - a - 2 = 2a^2 - 2$$

$$\Delta_y = \begin{vmatrix} a & a \\ 1 & a+2 \end{vmatrix} = a(a+2) - 1 \cdot a = a^2 + 2a - a = a^2 + a$$

Количество решений системы зависит от значений этих определителей. Рассмотрим каждый случай, заданный в вопросе.

а) не имеет решений;

Система не имеет решений, если ее главный определитель равен нулю ($\Delta = 0$), а хотя бы один из вспомогательных определителей ($\Delta_x$ или $\Delta_y$) отличен от нуля.

Сначала найдем значения $a$, при которых $\Delta = 0$. Решим квадратное уравнение:

$$2a^2 + a - 1 = 0$$

Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 9$. Корни уравнения: $a_1 = \frac{-1-3}{4} = -1$ и $a_2 = \frac{-1+3}{4} = 0.5$.

Теперь проверим эти значения. Рассмотрим $a = 0.5$:

При $a = 0.5$, главный определитель $\Delta = 2(0.5)^2 + 0.5 - 1 = 0.5 + 0.5 - 1 = 0$.

Вычислим вспомогательный определитель $\Delta_x$ при $a=0.5$:

$$\Delta_x = 2(0.5)^2 - 2 = 2 \cdot 0.25 - 2 = 0.5 - 2 = -1.5 \neq 0$$

Поскольку при $a = 0.5$ главный определитель $\Delta = 0$, а вспомогательный определитель $\Delta_x \neq 0$, система не имеет решений.

Ответ: при $a = 0.5$.

б) имеет бесконечно много решений;

Система имеет бесконечно много решений, если все определители равны нулю: $\Delta = 0$, $\Delta_x = 0$ и $\Delta_y = 0$.

Мы уже знаем, что $\Delta = 0$ при $a = -1$ и $a = 0.5$. Случай $a = 0.5$ рассмотрен выше.

Проверим значение $a = -1$:

При $a = -1$, главный определитель $\Delta = 2(-1)^2 + (-1) - 1 = 2 - 1 - 1 = 0$.

Вычислим вспомогательные определители при $a=-1$:

$$\Delta_x = 2(-1)^2 - 2 = 2 - 2 = 0$$

$$\Delta_y = (-1)^2 + (-1) = 1 - 1 = 0$$

Так как при $a = -1$ все три определителя равны нулю, система имеет бесконечно много решений.

Ответ: при $a = -1$.

в) имеет единственное решение?

Система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда ее главный определитель не равен нулю: $\Delta \neq 0$.

Мы установили, что $\Delta = 0$ при $a = -1$ и $a = 0.5$.

Следовательно, при всех остальных значениях $a$ определитель $\Delta \neq 0$, и система будет иметь единственное решение.

Ответ: при $a \in (-\infty; -1) \cup (-1; 0.5) \cup (0.5; +\infty)$.

65 При каком значении $a$ система уравнений $ \begin{cases} 2x + (a + 1)y = 5 \\ (a + 2)x + 6y = 8 + a \end{cases} $

а) не имеет решений;

б) имеет бесконечно много решений;

в) имеет единственное решение?

Рассмотрим данную систему линейных уравнений с параметром $a$:

$$ \begin{cases} 2x + (a + 1)y = 5 \\ (a + 2)x + 6y = 8 + a \end{cases} $$

Количество решений такой системы зависит от определителя матрицы коэффициентов и соотношения свободных членов. Общий вид системы:

$$ \begin{cases} A_1x + B_1y = C_1 \\ A_2x + B_2y = C_2 \end{cases} $$

В нашем случае коэффициенты равны:

$A_1 = 2$, $B_1 = a + 1$, $C_1 = 5$

$A_2 = a + 2$, $B_2 = 6$, $C_2 = 8 + a$

Система имеет единственное решение, если определитель основной матрицы отличен от нуля. Найдем этот определитель (Δ):

$ \Delta = A_1 B_2 - A_2 B_1 = 2 \cdot 6 - (a + 2)(a + 1) $

$ \Delta = 12 - (a^2 + a + 2a + 2) = 12 - (a^2 + 3a + 2) = -a^2 - 3a + 10 $

Система имеет единственное решение при $ \Delta \ne 0 $. Если $ \Delta = 0 $, система может не иметь решений или иметь бесконечно много решений.

Найдем значения $a$, при которых определитель равен нулю:

$ -a^2 - 3a + 10 = 0 $

Умножим на -1 для удобства:

$ a^2 + 3a - 10 = 0 $

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью теоремы Виета или через дискриминант. Корни легко находятся подбором: это числа 2 и -5, так как их произведение равно -10, а сумма равна -3.

Итак, $ \Delta = 0 $ при $ a = 2 $ и $ a = -5 $. Эти два случая требуют отдельного рассмотрения. Во всех остальных случаях система будет иметь единственное решение.

а) не имеет решений;

Система не имеет решений, если определитель $ \Delta = 0 $, но при этом уравнения противоречат друг другу. Это соответствует условию $ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \ne \frac{C_1}{C_2} $. Проверим значения $ a = 2 $ и $ a = -5 $.

Случай 1: $ a = -5 $

Подставим $ a = -5 $ в исходную систему:

$$ \begin{cases} 2x + (-5 + 1)y = 5 \\ (-5 + 2)x + 6y = 8 + (-5) \end{cases} $$

$$ \begin{cases} 2x - 4y = 5 \\ -3x + 6y = 3 \end{cases} $$

Упростим второе уравнение, разделив его на 3:

$$ \begin{cases} 2x - 4y = 5 \\ -x + 2y = 1 \end{cases} $$

Умножим второе уравнение на -2:

$$ \begin{cases} 2x - 4y = 5 \\ 2x - 4y = -2 \end{cases} $$

Мы получили противоречие: выражение $ 2x - 4y $ не может одновременно быть равно 5 и -2. Следовательно, при $ a = -5 $ система не имеет решений.

Ответ: при $a = -5$.

б) имеет бесконечно много решений;

Система имеет бесконечно много решений, если $ \Delta = 0 $ и уравнения являются пропорциональными (одно является следствием другого). Это соответствует условию $ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} $. Проверим оставшееся значение $ a = 2 $.

Случай 2: $ a = 2 $

Подставим $ a = 2 $ в исходную систему:

$$ \begin{cases} 2x + (2 + 1)y = 5 \\ (2 + 2)x + 6y = 8 + 2 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ 4x + 6y = 10 \end{cases} $$

Разделим второе уравнение на 2:

$$ \begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ 2x + 3y = 5 \end{cases} $$

Оба уравнения стали идентичными. Это означает, что любое решение, удовлетворяющее первому уравнению, также удовлетворяет и второму. Система имеет бесконечно много решений (все точки, лежащие на прямой $ 2x + 3y = 5 $).

Ответ: при $a = 2$.

в) имеет единственное решение?

Система имеет единственное решение, когда определитель основной матрицы не равен нулю, то есть $ \Delta \ne 0 $.

Мы ранее нашли, что $ \Delta = -a^2 - 3a + 10 $.

Условие $ \Delta \ne 0 $ эквивалентно $ -a^2 - 3a + 10 \ne 0 $, или $ a^2 + 3a - 10 \ne 0 $.

Корнями уравнения $ a^2 + 3a - 10 = 0 $ являются $ a = 2 $ и $ a = -5 $.

Следовательно, система будет иметь единственное решение при всех значениях $a$, кроме 2 и -5.

Ответ: при $a \in (-\infty; -5) \cup (-5; 2) \cup (2; +\infty)$, или $a \ne -5$ и $a \ne 2$.

66 При каком значении $a$ система уравнений $\begin{cases} x + (a^2 - 3)y = a \\ x + y = 2 \end{cases}$

а) не имеет решений;

б) имеет бесконечно много решений;

в) имеет единственное решение?

Дана система линейных уравнений: $$ \begin{cases} x + (a^2 - 3)y = a \\ x + y = 2 \end{cases} $$ Для исследования количества решений системы воспользуемся методом подстановки. Выразим переменную x из второго уравнения и подставим её в первое уравнение.

Из второго уравнения получаем: $x = 2 - y$.

Подставляем это выражение для x в первое уравнение системы: $(2 - y) + (a^2 - 3)y = a$

Теперь решим полученное уравнение относительно y. Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: $2 - y + a^2y - 3y = a$ $(a^2 - 1 - 3)y = a - 2$ $(a^2 - 4)y = a - 2$

Мы получили линейное уравнение вида $C \cdot y = D$, где коэффициент $C = a^2 - 4$, а свободный член $D = a - 2$. Количество решений этого уравнения, а значит и всей системы, зависит от значений параметра a.

Система не будет иметь решений в том случае, если уравнение $(a^2 - 4)y = a - 2$ не имеет решений. Линейное уравнение не имеет решений, когда коэффициент при переменной равен нулю, а правая часть не равна нулю. То есть, должны выполняться условия: $$ \begin{cases} a^2 - 4 = 0 \\ a - 2 \neq 0 \end{cases} $$

Из первого уравнения $a^2 - 4 = 0$ находим, что $(a-2)(a+2) = 0$, откуда $a = 2$ или $a = -2$.

Теперь проверим второе условие $a - 2 \neq 0$ для найденных значений a.

- При $a = 2$, правая часть $a - 2 = 2 - 2 = 0$. Условие $a - 2 \neq 0$ не выполняется.

- При $a = -2$, правая часть $a - 2 = -2 - 2 = -4$. Условие $a - 2 \neq 0$ выполняется.

Следовательно, система не имеет решений только при $a = -2$. В этом случае уравнение для y принимает вид $0 \cdot y = -4$, что невозможно.
Ответ: при $a = -2$.

Система имеет бесконечно много решений, если уравнение $(a^2 - 4)y = a - 2$ имеет бесконечно много решений. Это возможно, если и коэффициент при переменной, и правая часть равны нулю. То есть, должны выполняться условия: $$ \begin{cases} a^2 - 4 = 0 \\ a - 2 = 0 \end{cases} $$

Из второго уравнения $a - 2 = 0$ следует, что $a = 2$.

Проверим, выполняется ли при этом значении первое условие: $2^2 - 4 = 4 - 4 = 0$. Условие выполняется.

Таким образом, при $a = 2$ оба коэффициента обращаются в ноль, и уравнение для y принимает вид $0 \cdot y = 0$. Это равенство верно для любого значения y, что означает наличие бесконечного множества решений системы.
Ответ: при $a = 2$.

Система имеет единственное решение, если уравнение $(a^2 - 4)y = a - 2$ имеет единственное решение. Это происходит тогда, когда коэффициент при переменной y не равен нулю. То есть, должно выполняться условие: $a^2 - 4 \neq 0$

Решая это неравенство, получаем: $a^2 \neq 4$ $a \neq 2$ и $a \neq -2$.

При всех значениях a, кроме $2$ и $-2$, мы можем найти единственное значение y: $y = \frac{a-2}{a^2-4} = \frac{a-2}{(a-2)(a+2)} = \frac{1}{a+2}$. Ему будет соответствовать единственное значение $x = 2 - y$.
Ответ: при $a \neq 2$ и $a \neq -2$.

67 При каком наибольшем значении $a$ система уравнений

$$\begin{cases} x + ay = a + 1 \\ (a + 1)x + 2y = a + 2 \end{cases}$$

не имеет решений?

Рассмотрим данную систему линейных уравнений:

$$\begin{cases}x + ay = a + 1 \\(a+1)x + 2y = a + 2\end{cases}$$

Система из двух линейных уравнений с двумя переменными не имеет решений в том случае, если прямые, которые задаются этими уравнениями, параллельны и не совпадают. Для системы вида $$\begin{cases}A_1x + B_1y = C_1 \\A_2x + B_2y = C_2\end{cases}$$это условие записывается как пропорциональность коэффициентов при переменных и их непропорциональность свободным членам:

$$\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$$

Для нашей системы коэффициенты имеют следующие значения:

$A_1 = 1$, $B_1 = a$, $C_1 = a + 1$

$A_2 = a + 1$, $B_2 = 2$, $C_2 = a + 2$

Запишем первую часть условия, которая соответствует параллельности прямых (пропорциональность коэффициентов при $x$ и $y$):

$$\frac{1}{a+1} = \frac{a}{2}$$

Данная пропорция определена при $a+1 \neq 0$, то есть $a \neq -1$. Применим основное свойство пропорции (перекрестное умножение):

$1 \cdot 2 = a \cdot (a+1)$

$2 = a^2 + a$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$a^2 + a - 2 = 0$

Корни этого уравнения можно найти по теореме Виета: произведение корней равно $-2$, а их сумма равна $-1$. Подбором находим корни: $a_1 = 1$ и $a_2 = -2$. Оба значения удовлетворяют условию $a \neq -1$.

Теперь для каждого найденного значения $a$ нужно проверить выполнение второй части условия, то есть неравенства, которое гарантирует, что прямые не совпадают. Проверим, что $\frac{A_1}{A_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$.

При $a = 1$ проверяем неравенство:

$$\frac{1}{1+1} \neq \frac{1+1}{1+2} \implies \frac{1}{2} \neq \frac{2}{3}$$

Неравенство верно, значит, при $a = 1$ система не имеет решений.

При $a = -2$ проверяем неравенство:

$$\frac{1}{-2+1} \neq \frac{-2+1}{-2+2} \implies \frac{1}{-1} \neq \frac{-1}{0}$$

Выражение в правой части не определено, так как знаменатель равен нулю. Это означает, что равенство $\frac{A_1}{A_2} = \frac{C_1}{C_2}$ не выполняется. Следовательно, при $a = -2$ система также не имеет решений.

Мы получили два значения параметра $a$, при которых система не имеет решений: $a = 1$ и $a = -2$.

Согласно условию задачи, необходимо найти наибольшее из этих значений. Сравнивая $1$ и $-2$, делаем вывод, что наибольшее значение равно $1$.

Ответ: 1