Номер 61, страница 370 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения. Системы уравнений - номер 61, страница 370.

Условие.

61 a) $\begin{cases} x - 2y - 3z = -6 \\ 4x - 7y - 5z = -5 \\ 2x - y + 2z = 6; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x + 2y - z = 2 \\ 3x - 2y + z = 2 \\ 4x + 4y + z = 15. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

а) Решим систему уравнений:

$\begin{cases} x - 2y - 3z = -6 \\ 4x - 7y - 5z = -5 \\ 2x - y + 2z = 6 \end{cases}$

1. Выразим x из первого уравнения:

$x = 2y + 3z - 6$

2. Подставим это выражение для x во второе и третье уравнения системы.

Подставляем во второе уравнение:

$4(2y + 3z - 6) - 7y - 5z = -5$

$8y + 12z - 24 - 7y - 5z = -5$

$y + 7z = 19$

Подставляем в третье уравнение:

$2(2y + 3z - 6) - y + 2z = 6$

$4y + 6z - 12 - y + 2z = 6$

$3y + 8z = 18$

3. Теперь у нас есть новая система из двух уравнений с двумя переменными y и z:

$\begin{cases} y + 7z = 19 \\ 3y + 8z = 18 \end{cases}$

Выразим y из первого уравнения новой системы:

$y = 19 - 7z$

Подставим это выражение во второе уравнение новой системы:

$3(19 - 7z) + 8z = 18$

$57 - 21z + 8z = 18$

$-13z = 18 - 57$

$-13z = -39$

$z = 3$

4. Теперь найдем y, подставив значение z:

$y = 19 - 7(3) = 19 - 21 = -2$

5. Наконец, найдем x, подставив значения y и z:

$x = 2(-2) + 3(3) - 6 = -4 + 9 - 6 = -1$

Ответ: $x = -1, y = -2, z = 3$.

б) Решим систему уравнений:

$\begin{cases} x + 2y - z = 2 \\ 3x - 2y + z = 2 \\ 4x + 4y + z = 15 \end{cases}$

1. Сложим первое и второе уравнения системы, чтобы исключить переменные y и z:

$(x + 2y - z) + (3x - 2y + z) = 2 + 2$

$4x = 4$

$x = 1$

2. Подставим найденное значение $x=1$ в первое и третье уравнения исходной системы.

Подставляем в первое уравнение:

$1 + 2y - z = 2$

$2y - z = 1$

Подставляем в третье уравнение:

$4(1) + 4y + z = 15$

$4 + 4y + z = 15$

$4y + z = 11$

3. Теперь у нас есть новая система из двух уравнений с двумя переменными y и z:

$\begin{cases} 2y - z = 1 \\ 4y + z = 11 \end{cases}$

Сложим эти два уравнения, чтобы исключить z:

$(2y - z) + (4y + z) = 1 + 11$

$6y = 12$

$y = 2$

4. Теперь найдем z, подставив значение y в одно из уравнений новой системы, например, в $2y - z = 1$:

$2(2) - z = 1$

$4 - z = 1$

$z = 3$

Ответ: $x = 1, y = 2, z = 3$.