Номер 54, страница 369 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Рациональные уравнения. Задания для повторения - номер 54, страница 369.

54 a) $\frac{6}{x^2 - 1} + \frac{2}{x + 1} = 2 - \frac{x - 4}{x - 1};$

б) $\frac{30}{x^2 - 1} - \frac{13}{x^2 + x + 1} = \frac{18x + 7}{x^3 - 1}.$

а) $ \frac{6}{x^2 - 1} + \frac{2}{x + 1} = 2 - \frac{x - 4}{x - 1} $

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю.
$x^2 - 1 \neq 0 \implies (x - 1)(x + 1) \neq 0 \implies x \neq 1$ и $x \neq -1$.
$x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$.
$x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$.
Следовательно, ОДЗ: $x \neq \pm 1$.

2. Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$ \frac{6}{x^2 - 1} + \frac{2}{x + 1} - 2 + \frac{x - 4}{x - 1} = 0 $

3. Приведем все слагаемые к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей это $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$.

$ \frac{6}{(x-1)(x+1)} + \frac{2(x-1)}{(x-1)(x+1)} - \frac{2(x^2-1)}{(x-1)(x+1)} + \frac{(x-4)(x+1)}{(x-1)(x+1)} = 0 $

4. Так как знаменатель не равен нулю в ОДЗ, мы можем приравнять числитель к нулю:

$ 6 + 2(x - 1) - 2(x^2 - 1) + (x - 4)(x + 1) = 0 $

5. Раскроем скобки и упростим выражение:

$ 6 + 2x - 2 - 2x^2 + 2 + x^2 + x - 4x - 4 = 0 $

Приведем подобные члены:

$ (-2x^2 + x^2) + (2x + x - 4x) + (6 - 2 + 2 - 4) = 0 $

$ -x^2 - x + 2 = 0 $

Умножим обе части уравнения на -1, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:

$ x^2 + x - 2 = 0 $

6. Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -1$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -2$
Подбором находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.

7. Проверим, соответствуют ли найденные корни ОДЗ.
Корень $x_1 = 1$ не удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 1$), поэтому это посторонний корень.
Корень $x_2 = -2$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -2.

б) $ \frac{30}{x^2 - 1} - \frac{13}{x^2 + x + 1} = \frac{18x + 7}{x^3 - 1} $

1. Найдем ОДЗ. Для этого разложим знаменатели на множители:
$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$
$x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$ (формула разности кубов)
Квадратный трехчлен $x^2 + x + 1$ не имеет действительных корней, так как его дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$, и он всегда положителен.
Таким образом, условия для ОДЗ: $x - 1 \neq 0$ и $x + 1 \neq 0$.
ОДЗ: $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

2. Общий знаменатель для всех дробей: $(x - 1)(x + 1)(x^2 + x + 1)$.

3. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей:

$ \frac{30(x^2+x+1)}{(x-1)(x+1)(x^2+x+1)} - \frac{13(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+1)(x^2+x+1)} = \frac{(18x+7)(x+1)}{(x-1)(x+1)(x^2+x+1)} $

4. Перейдем к уравнению числителей, учитывая ОДЗ:

$ 30(x^2 + x + 1) - 13(x^2 - 1) = (18x + 7)(x + 1) $

5. Раскроем скобки:

$ 30x^2 + 30x + 30 - 13x^2 + 13 = 18x^2 + 18x + 7x + 7 $

6. Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

$ 17x^2 + 30x + 43 = 18x^2 + 25x + 7 $

7. Перенесем все члены в правую часть и приравняем к нулю:

$ 0 = (18x^2 - 17x^2) + (25x - 30x) + (7 - 43) $

$ 0 = x^2 - 5x - 36 $

8. Решим полученное квадратное уравнение $x^2 - 5x - 36 = 0$ с помощью дискриминанта:

$ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169 = 13^2 $

Найдем корни:

$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 13}{2} = \frac{18}{2} = 9 $

$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 13}{2} = \frac{-8}{2} = -4 $

9. Оба корня, $x_1 = 9$ и $x_2 = -4$, удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 1$ и $x \neq -1$).

Ответ: -4; 9.