Номер 48, страница 368 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения. Линейные и квадратные уравнения - номер 48, страница 368.

Условие.

48 Вычислите:

a) $\frac{(x_1 + x_2)^2}{x_1 \cdot x_2}$, где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 + 6x + 4 = 0;$

б) $\frac{(x_1 + x_2)^3}{x_1 \cdot x_2}$, где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 + 5x + 1 = 0;$

в) $\frac{x_1 \cdot x_2}{(x_1 + x_2)^2}$, где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0;$

г) $\frac{x_1 \cdot x_2}{(x_1 + x_2)^3}$, где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $-x^2 + 2x + 6 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

а) Для вычисления значения выражения $\frac{(x_1 + x_2)^2}{x_1 \cdot x_2}$, где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 + 6x + 4 = 0$, воспользуемся теоремой Виета.

Согласно теореме Виета для приведенного квадратного уравнения ($x^2 + px + q = 0$), сумма корней $x_1 + x_2 = -p$, а произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q$. В данном уравнении $p=6$ и $q=4$.

Таким образом, сумма корней: $x_1 + x_2 = -6$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 4$.

Подставим найденные значения в исходное выражение:

$\frac{(x_1 + x_2)^2}{x_1 \cdot x_2} = \frac{(-6)^2}{4} = \frac{36}{4} = 9$.

Ответ: 9

б) Для вычисления значения выражения $\frac{(x_1 + x_2)^3}{x_1 \cdot x_2}$, где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 + 5x + 1 = 0$, применим теорему Виета.

Для этого уравнения $p=5$ и $q=1$. По теореме Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p = -5$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q = 1$.

Подставим эти значения в выражение:

$\frac{(x_1 + x_2)^3}{x_1 \cdot x_2} = \frac{(-5)^3}{1} = \frac{-125}{1} = -125$.

Ответ: -125

в) Для вычисления значения выражения $\frac{x_1 \cdot x_2}{(x_1 + x_2)^2}$, где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$, используем теорему Виета.

Для данного уравнения $p=-5$ и $q=4$. В соответствии с теоремой Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p = -(-5) = 5$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q = 4$.

Подставим значения в заданное выражение:

$\frac{x_1 \cdot x_2}{(x_1 + x_2)^2} = \frac{4}{5^2} = \frac{4}{25}$.

Ответ: $\frac{4}{25}$

г) Для вычисления значения выражения $\frac{x_1 \cdot x_2}{(x_1 + x_2)^3}$, где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $-x^2 + 2x + 6 = 0$, воспользуемся теоремой Виета для общего вида квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$, а произведение — $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$. В нашем случае коэффициенты $a=-1, b=2, c=6$.

Следовательно, сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{2}{-1} = 2$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{6}{-1} = -6$.

Теперь подставим найденные значения в выражение:

$\frac{x_1 \cdot x_2}{(x_1 + x_2)^3} = \frac{-6}{2^3} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4}$.

Ответ: $-\frac{3}{4}$