Номер 43, страница 367 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Линейные и квадратные уравнения. Задания для повторения - номер 43, страница 367.

43 Дано: $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$). Составьте уравнение, корни которого $\frac{1}{x_1}$ и $\frac{1}{x_2}$.

Пусть искомое уравнение имеет переменную $y$. По условию, его корни $y_1$ и $y_2$ связаны с корнями $x_1$ и $x_2$ исходного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ соотношениями $y_1 = \frac{1}{x_1}$ и $y_2 = \frac{1}{x_2}$. В общем виде можно записать, что корень нового уравнения $y$ связан с корнем старого уравнения $x$ как $y = \frac{1}{x}$.

Чтобы найти уравнение для $y$, выразим $x$ через $y$: $x = \frac{1}{y}$. Это преобразование корректно, если $x \neq 0$.

Поскольку $x$ является корнем уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, мы можем подставить в него выражение $x = \frac{1}{y}$:
$a\left(\frac{1}{y}\right)^2 + b\left(\frac{1}{y}\right) + c = 0$

Выполним алгебраические преобразования:
$\frac{a}{y^2} + \frac{b}{y} + c = 0$

Чтобы избавиться от дробей в знаменателе, умножим обе части уравнения на $y^2$. Это действие является корректным, так как $y \neq 0$ (если бы $y$ был равен нулю, то $x = \frac{1}{y}$ не был бы определён, что противоречит условию, что $x$ — корень исходного уравнения).
$y^2 \left( \frac{a}{y^2} + \frac{b}{y} + c \right) = y^2 \cdot 0$
$a + by + cy^2 = 0$

Запишем полученное уравнение в стандартном виде, расположив слагаемые по убыванию степеней переменной $y$:
$cy^2 + by + a = 0$

Это и есть искомое уравнение. Проверим его применимость в частном случае, когда один из исходных корней равен нулю. Корень квадратного уравнения равен нулю тогда и только тогда, когда его свободный член равен нулю, то есть $c=0$. В этом случае исходное уравнение принимает вид $ax^2+bx=0$, или $x(ax+b)=0$. Его корни: $x_1=0$ и $x_2 = -\frac{b}{a}$. Для корня $x_1=0$ обратная величина $\frac{1}{x_1}$ не определена. Следовательно, у нового уравнения должен быть только один корень, равный $\frac{1}{x_2} = \frac{1}{-b/a} = -\frac{a}{b}$.
Подставив $c=0$ в наше полученное уравнение $cy^2+by+a=0$, мы получаем $0 \cdot y^2 + by+a=0$, то есть $by+a=0$, откуда $y = -a/b$. Результат полностью совпадает с ожидаемым, что подтверждает универсальность найденной формулы.

Для стандартной формы записи итогового уравнения принято использовать переменную $x$.
Ответ: $cx^2 + bx + a = 0$