Номер 41, страница 367 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Линейные и квадратные уравнения. Задания для повторения - номер 41, страница 367.

41 a) В уравнении $x^2 - kx + 2 = 0$ определите наибольшее значение $k$, при котором разность корней уравнения равна 1.

б) Найдите значение $q$ в уравнении $x^2 - 6x + q = 0$, один корень которого больше другого на 4.

в) Найдите наибольшее значение $p$, при котором разность корней уравнения $x^2 + px + 12 = 0$ равна 1.

а)

В уравнении $x^2 - kx + 2 = 0$ обозначим корни как $x_1$ и $x_2$. По условию, разность корней равна 1, то есть $|x_1 - x_2| = 1$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета, согласно которой для приведенного квадратного уравнения $x^2 + bx + c = 0$ справедливы соотношения:

• $x_1 + x_2 = -b$
• $x_1 \cdot x_2 = c$

В нашем случае коэффициенты равны $b = -k$ и $c = 2$. Следовательно:

• $x_1 + x_2 = -(-k) = k$
• $x_1 \cdot x_2 = 2$

Также воспользуемся тождеством, связывающим сумму, произведение и разность корней: $(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$.

Подставим в него известные нам значения:

$1^2 = k^2 - 4 \cdot 2$

$1 = k^2 - 8$

$k^2 = 9$

Из этого уравнения получаем два возможных значения для $k$: $k_1 = 3$ и $k_2 = -3$.

По условию требуется найти наибольшее значение $k$. Сравнивая 3 и -3, получаем, что наибольшее значение равно 3.

Убедимся, что при этом значении $k$ уравнение имеет действительные корни. Дискриминант $D = (-k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = k^2 - 8$. При $k = 3$ дискриминант $D = 3^2 - 8 = 9 - 8 = 1 > 0$, значит, корни действительные и различные.

Ответ: 3

б)

В уравнении $x^2 - 6x + q = 0$ обозначим корни как $x_1$ и $x_2$. По условию, один корень больше другого на 4. Пусть $x_1 = x_2 + 4$.

Применим теорему Виета для данного уравнения:

• $x_1 + x_2 = -(-6) = 6$
• $x_1 \cdot x_2 = q$

Мы получили систему уравнений:

$\begin{cases} x_1 = x_2 + 4 \\ x_1 + x_2 = 6 \end{cases}$

Подставим первое уравнение во второе:

$(x_2 + 4) + x_2 = 6$

$2x_2 + 4 = 6$

$2x_2 = 2$

$x_2 = 1$

Теперь найдем первый корень: $x_1 = x_2 + 4 = 1 + 4 = 5$.

Зная оба корня, можем найти значение $q$ из второго соотношения теоремы Виета:

$q = x_1 \cdot x_2 = 5 \cdot 1 = 5$.

Проверим дискриминант: $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot q = 36 - 4 \cdot 5 = 16 > 0$, корни действительные.

Ответ: 5

в)

В уравнении $x^2 + px + 12 = 0$ обозначим корни как $x_1$ и $x_2$. По условию, разность корней равна 1, то есть $|x_1 - x_2| = 1$.

По теореме Виета:

• $x_1 + x_2 = -p$
• $x_1 \cdot x_2 = 12$

Используем тождество $(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$.

Подставим в него известные нам значения:

$1^2 = (-p)^2 - 4 \cdot 12$

$1 = p^2 - 48$

$p^2 = 49$

Из этого уравнения получаем два возможных значения для $p$: $p_1 = 7$ и $p_2 = -7$.

По условию требуется найти наибольшее значение $p$. Сравнивая 7 и -7, получаем, что наибольшее значение равно 7.

Убедимся, что при этом значении $p$ уравнение имеет действительные корни. Дискриминант $D = p^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = p^2 - 48$. При $p = 7$ дискриминант $D = 7^2 - 48 = 49 - 48 = 1 > 0$, значит, корни действительные и различные.

Ответ: 7