Номер 44, страница 368 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Линейные и квадратные уравнения. Задания для повторения - номер 44, страница 368.

ИССЛЕДУЕМ (44–47):

44 Найдите $a$, если равны корни уравнения $x^2 - 2ax + a + 2 = 0$.

44

Дано квадратное уравнение $x^2 - 2ax + a + 2 = 0$. Корни квадратного уравнения равны тогда и только тогда, когда его дискриминант $D$ равен нулю.

Квадратное уравнение имеет общий вид $Ax^2 + Bx + C = 0$. Дискриминант вычисляется по формуле $D = B^2 - 4AC$. В нашем уравнении коэффициенты равны: $A = 1$, $B = -2a$, $C = a + 2$.

Подставим эти коэффициенты в формулу для дискриминанта и приравняем его к нулю:

$D = (-2a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a + 2) = 0$

Теперь раскроем скобки и упростим полученное выражение:

$4a^2 - 4(a + 2) = 0$

$4a^2 - 4a - 8 = 0$

Мы получили новое квадратное уравнение относительно переменной $a$. Для упрощения решения разделим обе части этого уравнения на 4:

$a^2 - a - 2 = 0$

Теперь найдем значения $a$, решив это уравнение. Это можно сделать, например, через дискриминант или по теореме Виета.

1-й способ: через дискриминант (для уравнения с переменной $a$)
$D_a = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$
$a_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = 2$
$a_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 3}{2} = -1$

2-й способ: по теореме Виета
Для уравнения $a^2 - a - 2 = 0$ сумма корней $a_1 + a_2 = 1$, а произведение корней $a_1 \cdot a_2 = -2$.
Подбором находим, что этим условиям удовлетворяют числа $2$ и $-1$.

Таким образом, исходное уравнение имеет равные корни при двух значениях параметра $a$.

Ответ: $a = -1$ или $a = 2$.