Номер 40, страница 367 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Линейные и квадратные уравнения. Задания для повторения - номер 40, страница 367.

40 При каком значении a уравнение:

а) $x^2 + ax + a - 1 = 0$ имеет равные корни;

б) $x^2 - 10x + a = 0$ имеет равные корни;

в) $(a - 1) x^2 - ax + a + 1 = 0$ имеет два действительных корня;

г) $ax^2 + 2(a + 1) x + a + 3 = 0$ имеет два действительных корня?

а) Квадратное уравнение имеет равные корни (один действительный корень) тогда и только тогда, когда его дискриминант $D$ равен нулю. Для уравнения $x^2 + ax + a - 1 = 0$ коэффициенты равны $A=1$, $B=a$, $C=a-1$. Вычислим дискриминант:
$D = B^2 - 4AC = a^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a - 1) = a^2 - 4a + 4$.
Приравняем дискриминант к нулю, чтобы найти искомое значение $a$:
$a^2 - 4a + 4 = 0$
Это выражение является полным квадратом: $(a - 2)^2 = 0$.
Отсюда следует, что $a - 2 = 0$, то есть $a = 2$.
Ответ: $a=2$.

б) Аналогично предыдущему пункту, уравнение $x^2 - 10x + a = 0$ будет иметь равные корни при условии, что его дискриминант $D=0$. Коэффициенты уравнения: $A=1$, $B=-10$, $C=a$. Найдем дискриминант:
$D = B^2 - 4AC = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot a = 100 - 4a$.
Решим уравнение $D=0$:
$100 - 4a = 0$
$4a = 100$
$a = 25$.
Ответ: $a=25$.

в) Уравнение $(a - 1)x^2 - ax + a + 1 = 0$ имеет два различных действительных корня, если оно является квадратным и его дискриминант $D$ строго больше нуля.
1. Уравнение является квадратным, если коэффициент при $x^2$ не равен нулю:
$a - 1 \neq 0 \implies a \neq 1$.
2. Дискриминант должен быть положительным. Коэффициенты: $A = a - 1$, $B = -a$, $C = a + 1$.
$D = B^2 - 4AC = (-a)^2 - 4(a - 1)(a + 1) = a^2 - 4(a^2 - 1) = a^2 - 4a^2 + 4 = 4 - 3a^2$.
Решим неравенство $D > 0$:
$4 - 3a^2 > 0$
$3a^2 < 4$
$a^2 < \frac{4}{3}$
$-\sqrt{\frac{4}{3}} < a < \sqrt{\frac{4}{3}}$
$-\frac{2\sqrt{3}}{3} < a < \frac{2\sqrt{3}}{3}$.
Объединяя это решение с условием $a \neq 1$ (при $a=1$ уравнение становится линейным $-x+2=0$ и имеет только один корень), получаем итоговый интервал для $a$.
Ответ: $a \in (-\frac{2\sqrt{3}}{3}; 1) \cup (1; \frac{2\sqrt{3}}{3})$.

г) Уравнение $ax^2 + 2(a + 1)x + a + 3 = 0$ имеет два различных действительных корня, если оно является квадратным ($a \neq 0$) и его дискриминант $D > 0$.
1. Коэффициент при $x^2$ не должен быть равен нулю: $a \neq 0$.
2. Найдем дискриминант. Поскольку коэффициент при $x$, равный $B = 2(a+1)$, является четным, можно использовать упрощенную формулу для $D/4 = (B/2)^2 - AC$.
$D/4 = (a+1)^2 - a(a+3) = (a^2 + 2a + 1) - (a^2 + 3a) = a^2 + 2a + 1 - a^2 - 3a = 1 - a$.
Условие $D > 0$ эквивалентно условию $D/4 > 0$.
$1 - a > 0$
$a < 1$.
Совмещая с условием $a \neq 0$ (при $a=0$ уравнение становится линейным $2x+3=0$ и имеет только один корень), получаем окончательное решение.
Ответ: $a \in (-\infty; 0) \cup (0; 1)$.