Номер 47, страница 368 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Линейные и квадратные уравнения. Задания для повторения - номер 47, страница 368.

47 При каком наименьшем целом положительном значении b корни уравнения $(b+1)x^2 - 4bx + b - 5 = 0$ положительны?

Для того чтобы оба корня квадратного уравнения $(b + 1)x^2 - 4bx + b - 5 = 0$ были положительными, необходимо и достаточно, чтобы выполнялась система из нескольких условий. По условию задачи, мы ищем наименьшее целое положительное значение $b$. Рассмотрим каждое условие по отдельности.

1. Условие, что уравнение является квадратным

Коэффициент при $x^2$ должен быть отличен от нуля: $b + 1 \neq 0$, что равносильно $b \neq -1$. Так как ищется целое положительное значение $b$ (то есть $b \ge 1$), это условие выполняется автоматически.

2. Условие существования действительных корней

Дискриминант $D$ уравнения должен быть неотрицательным ($D \ge 0$).$D = (-4b)^2 - 4(b+1)(b-5) = 16b^2 - 4(b^2 - 5b + b - 5) = 16b^2 - 4(b^2 - 4b - 5) = 16b^2 - 4b^2 + 16b + 20 = 12b^2 + 16b + 20$.Чтобы определить знак этого выражения, рассмотрим его как квадратный трехчлен относительно $b$. Его дискриминант $D_b = 16^2 - 4 \cdot 12 \cdot 20 = 256 - 960 = -704$.Поскольку $D_b < 0$ и старший коэффициент $12 > 0$, значение трехчлена $12b^2 + 16b + 20$ положительно при любых действительных $b$.Таким образом, $D > 0$ для любого $b$, и уравнение всегда имеет два различных действительных корня.

3. Условие положительности суммы корней

Согласно теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = -\frac{-4b}{b+1} = \frac{4b}{b+1}$.Требуется, чтобы выполнялось неравенство $\frac{4b}{b+1} > 0$.Для любого целого положительного $b$, числитель $4b$ положителен и знаменатель $b+1$ также положителен. Следовательно, вся дробь положительна, и это условие выполняется для всех целых положительных $b$.

4. Условие положительности произведения корней

Согласно теореме Виета, произведение корней $x_1 \cdot x_2 = \frac{b-5}{b+1}$.Требуется, чтобы выполнялось неравенство $\frac{b-5}{b+1} > 0$.Так как для целого положительного $b$ знаменатель $b+1$ всегда положителен, знак дроби совпадает со знаком числителя. Неравенство равносильно следующему:$b-5 > 0$$b > 5$

Определение наименьшего целого положительного значения b

Мы должны найти наименьшее целое положительное значение $b$, которое удовлетворяет всем четырем условиям. Первые три условия выполняются для любого целого положительного $b$. Четвертое условие накладывает ограничение $b > 5$.Таким образом, нам нужно найти наименьшее целое число, которое больше 5. Таким числом является 6.
Ответ: 6