Номер 52, страница 369 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Рациональные уравнения. Задания для повторения - номер 52, страница 369.

52 а) $\frac{2x - 18}{x^2 - 13x + 36} = 1;$

б) $\frac{3x - 6}{x^2 - 5x + 6} = 1;$

в) $\frac{2x - 6}{5x^2 - 17x + 6} = 1.$

а)

Решим уравнение $\frac{2x - 18}{x^2 - 13x + 36} = 1$.

Данное уравнение равносильно системе, в которой числитель равен знаменателю, а знаменатель при этом не равен нулю:

$ \begin{cases} 2x - 18 = x^2 - 13x + 36, \\ x^2 - 13x + 36 \neq 0. \end{cases} $

Сначала решим первое уравнение системы, перенеся все члены в одну сторону:

$x^2 - 13x - 2x + 36 + 18 = 0$

$x^2 - 15x + 54 = 0$

Используя теорему Виета, находим корни. Сумма корней равна $15$, а их произведение $54$. Отсюда $x_1 = 6$, $x_2 = 9$.

Теперь проверим, удовлетворяют ли найденные корни второму условию системы (области допустимых значений). Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:

$x^2 - 13x + 36 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна $13$, а их произведение $36$. Отсюда корни $x_3 = 4$, $x_4 = 9$.

Таким образом, область допустимых значений (ОДЗ) исключает значения $x = 4$ и $x = 9$.

Сравниваем полученные решения ($6$ и $9$) с ОДЗ. Корень $x=9$ является посторонним, так как он не входит в ОДЗ. Корень $x=6$ удовлетворяет условию.

Ответ: $6$.

б)

Решим уравнение $\frac{3x - 6}{x^2 - 5x + 6} = 1$.

Уравнение эквивалентно системе:

$ \begin{cases} 3x - 6 = x^2 - 5x + 6, \\ x^2 - 5x + 6 \neq 0. \end{cases} $

Решим первое уравнение системы:

$x^2 - 5x - 3x + 6 + 6 = 0$

$x^2 - 8x + 12 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна $8$, а их произведение $12$. Отсюда $x_1 = 2$, $x_2 = 6$.

Теперь найдем ОДЗ. Знаменатель не должен быть равен нулю:

$x^2 - 5x + 6 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна $5$, а их произведение $6$. Отсюда корни $x_3 = 2$, $x_4 = 3$.

Следовательно, ОДЗ: $x \neq 2$ и $x \neq 3$.

Сравниваем полученные решения ($2$ и $6$) с ОДЗ. Корень $x=2$ является посторонним. Корень $x=6$ удовлетворяет условию.

Ответ: $6$.

в)

Решим уравнение $\frac{2x - 6}{5x^2 - 17x + 6} = 1$.

Уравнение эквивалентно системе:

$ \begin{cases} 2x - 6 = 5x^2 - 17x + 6, \\ 5x^2 - 17x + 6 \neq 0. \end{cases} $

Решим первое уравнение системы:

$5x^2 - 17x - 2x + 6 + 6 = 0$

$5x^2 - 19x + 12 = 0$

Найдем корни через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-19)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 12 = 361 - 240 = 121 = 11^2$.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{19 \pm 11}{2 \cdot 5}$

$x_1 = \frac{19 + 11}{10} = \frac{30}{10} = 3$

$x_2 = \frac{19 - 11}{10} = \frac{8}{10} = 0.8$

Теперь найдем ОДЗ. Знаменатель не должен быть равен нулю:

$5x^2 - 17x + 6 = 0$

Найдем корни через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 6 = 289 - 120 = 169 = 13^2$.

$x_{3,4} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 \pm 13}{2 \cdot 5}$

$x_3 = \frac{17 + 13}{10} = \frac{30}{10} = 3$

$x_4 = \frac{17 - 13}{10} = \frac{4}{10} = 0.4$

Следовательно, ОДЗ: $x \neq 3$ и $x \neq 0.4$.

Сравниваем полученные решения ($3$ и $0.8$) с ОДЗ. Корень $x=3$ является посторонним. Корень $x=0.8$ удовлетворяет условию.

Ответ: $0.8$.