Номер 49, страница 368 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Линейные и квадратные уравнения. Задания для повторения - номер 49, страница 368.

ИССЛЕДУЕМ (49–50):

49 а) Найдите значение p, если корни уравнения $2x^2 - 5x + p = 0$ удовлетворяют условию $\frac{x_2^2}{x_1} + \frac{x_1^2}{x_2} = \frac{65}{8}$.

б) Найдите значение p, если корни уравнения $6x^2 + 3x - p = 0$ удовлетворяют условию $x_1 \cdot x_2^4 + x_2 \cdot x_1^4 = \frac{63}{8}$.

в) Найдите отрицательное значение q, если корни уравнения $3x^2 - 2qx - 15 = 0$ удовлетворяют условию $x_1 \cdot x_2^3 + x_2 \cdot x_1^3 = -\frac{530}{9}$.

г) Найдите положительное значение q, если корни уравнения $2x^2 + qx - 18 = 0$ удовлетворяют условию $\frac{1}{x_1^2} - \frac{1}{x_2^2} = \frac{65}{324}$.

а) Для квадратного уравнения $2x^2 - 5x + p = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ по теореме Виета имеем:

$x_1 + x_2 = -(\frac{-5}{2}) = \frac{5}{2}$

$x_1 \cdot x_2 = \frac{p}{2}$

Преобразуем данное в условии выражение:

$\frac{x_2^2}{x_1} + \frac{x_1^2}{x_2} = \frac{x_2^3 + x_1^3}{x_1 x_2}$

Известно, что сумма кубов $x_1^3 + x_2^3$ может быть выражена через сумму и произведение корней: $x_1^3 + x_2^3 = (x_1+x_2)(x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2) = (x_1+x_2)((x_1+x_2)^2 - 3x_1x_2)$.

Тогда исходное условие принимает вид:

$\frac{(x_1+x_2)((x_1+x_2)^2 - 3x_1x_2)}{x_1 x_2} = \frac{65}{8}$

Подставим значения из теоремы Виета:

$\frac{\frac{5}{2} \cdot ((\frac{5}{2})^2 - 3 \cdot \frac{p}{2})}{\frac{p}{2}} = \frac{65}{8}$

$\frac{\frac{5}{2} \cdot (\frac{25}{4} - \frac{3p}{2})}{\frac{p}{2}} = \frac{65}{8}$

$\frac{5 \cdot (\frac{25 - 6p}{4})}{p} = \frac{65}{8}$

$\frac{5(25 - 6p)}{4p} = \frac{65}{8}$

Сократим обе части на 5:

$\frac{25 - 6p}{4p} = \frac{13}{8}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):

$8(25 - 6p) = 13(4p)$

$200 - 48p = 52p$

$200 = 100p$

$p = 2$

Для существования действительных корней дискриминант $D = (-5)^2 - 4(2)p = 25 - 8p$ должен быть неотрицателен. При $p=2$, $D = 25 - 16 = 9 > 0$, что подтверждает наличие корней.

Ответ: 2.

б) Для уравнения $6x^2 + 3x - p = 0$ по теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}$

$x_1 x_2 = \frac{-p}{6}$

Преобразуем условие $x_1 x_2^4 + x_2 x_1^4 = \frac{63}{8}$:

$x_1 x_2 (x_2^3 + x_1^3) = \frac{63}{8}$

Используя формулу для суммы кубов $x_1^3 + x_2^3 = (x_1+x_2)((x_1+x_2)^2 - 3x_1x_2)$, получаем:

$x_1 x_2 (x_1+x_2)((x_1+x_2)^2 - 3x_1x_2) = \frac{63}{8}$

Подставим значения из теоремы Виета:

$(\frac{-p}{6}) \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot ( (-\frac{1}{2})^2 - 3(\frac{-p}{6}) ) = \frac{63}{8}$

$\frac{p}{12} \cdot (\frac{1}{4} + \frac{p}{2}) = \frac{63}{8}$

$\frac{p}{12} \cdot (\frac{1+2p}{4}) = \frac{63}{8}$

$\frac{p(1+2p)}{48} = \frac{63}{8}$

$p(1+2p) = 63 \cdot \frac{48}{8} = 63 \cdot 6$

$2p^2 + p = 378 \implies 2p^2 + p - 378 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $p$. Дискриминант $D_p = 1^2 - 4(2)(-378) = 1 + 3024 = 3025 = 55^2$.

$p = \frac{-1 \pm 55}{4}$

$p_1 = \frac{54}{4} = \frac{27}{2} = 13.5$

$p_2 = \frac{-56}{4} = -14$

Корни исходного уравнения существуют, если его дискриминант $D_x = 3^2 - 4(6)(-p) = 9+24p$ неотрицателен. $9+24p \ge 0 \implies 24p \ge -9 \implies p \ge -\frac{3}{8}$.

Значение $p_1 = 13.5$ удовлетворяет этому условию. Значение $p_2 = -14$ не удовлетворяет, так как $-14 < -3/8$, и является посторонним решением.

Ответ: 13.5.

в) Для уравнения $3x^2 - 2qx - 15 = 0$ по теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -(\frac{-2q}{3}) = \frac{2q}{3}$

$x_1 x_2 = \frac{-15}{3} = -5$

Преобразуем условие $x_1 x_2^3 + x_2 x_1^3 = -\frac{530}{9}$:

$x_1 x_2 (x_2^2 + x_1^2) = -\frac{530}{9}$

Используя тождество $x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2$, получаем:

$x_1 x_2 ((x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2) = -\frac{530}{9}$

Подставим значения из теоремы Виета:

$(-5) \cdot ((\frac{2q}{3})^2 - 2(-5)) = -\frac{530}{9}$

$(-5) \cdot (\frac{4q^2}{9} + 10) = -\frac{530}{9}$

Разделим обе части на -5:

$\frac{4q^2}{9} + 10 = \frac{106}{9}$

$\frac{4q^2}{9} = \frac{106}{9} - 10 = \frac{106-90}{9} = \frac{16}{9}$

$4q^2 = 16 \implies q^2 = 4 \implies q = \pm 2$

По условию требуется найти отрицательное значение $q$.

Ответ: -2.

г) Для уравнения $2x^2 + qx - 18 = 0$ по теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -\frac{q}{2}$

$x_1 x_2 = \frac{-18}{2} = -9$

Преобразуем условие $\frac{1}{x_1^2} - \frac{1}{x_2^2} = \frac{65}{324}$:

$\frac{x_2^2 - x_1^2}{x_1^2 x_2^2} = \frac{(x_2 - x_1)(x_2 + x_1)}{(x_1 x_2)^2} = \frac{65}{324}$

Подставим известные значения:

$\frac{(x_2 - x_1)(-\frac{q}{2})}{(-9)^2} = \frac{65}{324}$

$\frac{(x_2 - x_1)(-\frac{q}{2})}{81} = \frac{65}{324}$

$(x_2 - x_1)(-\frac{q}{2}) = \frac{65 \cdot 81}{324} = \frac{65}{4}$

Выразим $(x_1 - x_2)$: $x_1 - x_2 = \frac{65}{4} \cdot \frac{2}{q} = \frac{65}{2q}$

Возведем обе части в квадрат:

$(x_1 - x_2)^2 = (\frac{65}{2q})^2 = \frac{4225}{4q^2}$

С другой стороны, $(x_1 - x_2)^2 = (x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2$. Подставим значения из теоремы Виета:

$(x_1 - x_2)^2 = (-\frac{q}{2})^2 - 4(-9) = \frac{q^2}{4} + 36$

Приравняем два выражения для $(x_1 - x_2)^2$:

$\frac{q^2}{4} + 36 = \frac{4225}{4q^2}$

Умножим обе части на $4q^2$ (по условию ищем $q>0$, поэтому $q \neq 0$):

$q^4 + 144q^2 = 4225 \implies q^4 + 144q^2 - 4225 = 0$

Сделаем замену $z = q^2$ (где $z > 0$, так как $q$ действительное и не равно нулю):

$z^2 + 144z - 4225 = 0$

Решим это уравнение относительно $z$. Дискриминант $D_z = 144^2 - 4(1)(-4225) = 20736 + 16900 = 37636 = 194^2$.

$z = \frac{-144 \pm 194}{2}$

$z_1 = \frac{-144+194}{2} = \frac{50}{2} = 25$

$z_2 = \frac{-144-194}{2} = \frac{-338}{2} = -169$

Так как $z=q^2$, то $z$ не может быть отрицательным, поэтому подходит только $z = 25$.

$q^2 = 25 \implies q = \pm 5$.

По условию требуется найти положительное значение $q$.

Ответ: 5.