Номер 53, страница 369 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения. Рациональные уравнения - номер 53, страница 369.

Условие.

53 a) $\frac{5}{x^2 - 12x + 36} + \frac{1}{36 - x^2} - \frac{1}{x + 6} = 0;$

б) $\frac{4}{x^2 - 10x + 25} + \frac{1}{25 - x^2} - \frac{1}{x + 5} = 0;$

в) $\frac{8 - x}{x - 6} - \frac{x^2 - 15x + 57}{x^2 - 13x + 43} = 0;$

г) $\frac{7 - x}{x - 5} - \frac{x^2 - 13x + 43}{x^2 - 11x + 31} = 0;$

д) $\frac{65}{1 - x^3} + \frac{17x - 10}{x^2 + x + 1} = \frac{25}{x - 1};$

е) $\frac{12}{x^3 - 8} + \frac{x + 1}{x^2 + 2x + 4} = \frac{4}{x - 2}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

а) $\frac{5}{x^2 - 12x + 36} + \frac{1}{36 - x^2} - \frac{1}{x+6} = 0$

Сначала разложим знаменатели на множители. Используем формулы квадрата разности и разности квадратов:

$x^2 - 12x + 36 = (x - 6)^2$

$36 - x^2 = (6 - x)(6 + x) = -(x - 6)(x + 6)$

Перепишем уравнение:

$\frac{5}{(x-6)^2} - \frac{1}{(x-6)(x+6)} - \frac{1}{x+6} = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, что знаменатели не равны нулю: $x-6 \neq 0$ и $x+6 \neq 0$. Таким образом, $x \neq 6$ и $x \neq -6$.

Общий знаменатель для дробей: $(x-6)^2(x+6)$. Умножим обе части уравнения на него:

$5(x+6) - 1(x-6) - 1(x-6)^2 = 0$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$5x + 30 - x + 6 - (x^2 - 12x + 36) = 0$

$4x + 36 - x^2 + 12x - 36 = 0$

$-x^2 + 16x = 0$

$x^2 - 16x = 0$

$x(x - 16) = 0$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 16$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($0 \neq \pm 6$ и $16 \neq \pm 6$), поэтому оба являются решениями уравнения.

Ответ: $0; 16$.

б) $\frac{4}{x^2 - 10x + 25} + \frac{1}{25 - x^2} - \frac{1}{x+5} = 0$

Разложим знаменатели на множители:

$x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2$

$25 - x^2 = (5 - x)(5 + x) = -(x - 5)(x + 5)$

Подставим в уравнение:

$\frac{4}{(x-5)^2} - \frac{1}{(x-5)(x+5)} - \frac{1}{x+5} = 0$

ОДЗ: $x \neq 5$ и $x \neq -5$.

Общий знаменатель: $(x-5)^2(x+5)$. Умножим на него обе части уравнения:

$4(x+5) - 1(x-5) - 1(x-5)^2 = 0$

Раскроем скобки:

$4x + 20 - x + 5 - (x^2 - 10x + 25) = 0$

$3x + 25 - x^2 + 10x - 25 = 0$

$-x^2 + 13x = 0$

$x^2 - 13x = 0$

$x(x - 13) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 13$.

Оба корня входят в ОДЗ ($0 \neq \pm 5$ и $13 \neq \pm 5$).

Ответ: $0; 13$.

в) $\frac{8-x}{x-6} - \frac{x^2 - 15x + 57}{x^2 - 13x + 42} = 0$

Разложим знаменатель второй дроби на множители. Для этого решим квадратное уравнение $x^2 - 13x + 42 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1=6, x_2=7$. Значит, $x^2 - 13x + 42 = (x-6)(x-7)$.

Уравнение принимает вид:

$\frac{8-x}{x-6} - \frac{x^2 - 15x + 57}{(x-6)(x-7)} = 0$

ОДЗ: $x \neq 6$ и $x \neq 7$.

Общий знаменатель: $(x-6)(x-7)$. Умножим на него:

$(8-x)(x-7) - (x^2 - 15x + 57) = 0$

$8x - 56 - x^2 + 7x - x^2 + 15x - 57 = 0$

$-2x^2 + 30x - 113 = 0$

$2x^2 - 30x + 113 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-30)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 113 = 900 - 904 = -4$.

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет корней.

г) $\frac{7-x}{x-5} - \frac{x^2 - 13x + 43}{x^2 - 11x + 30} = 0$

Разложим знаменатель $x^2 - 11x + 30$ на множители. Корни уравнения $x^2 - 11x + 30 = 0$ по теореме Виета равны 5 и 6. Таким образом, $x^2 - 11x + 30 = (x-5)(x-6)$.

Перепишем уравнение:

$\frac{7-x}{x-5} - \frac{x^2 - 13x + 43}{(x-5)(x-6)} = 0$

ОДЗ: $x \neq 5$ и $x \neq 6$.

Общий знаменатель: $(x-5)(x-6)$. Умножим на него обе части:

$(7-x)(x-6) - (x^2 - 13x + 43) = 0$

$7x - 42 - x^2 + 6x - x^2 + 13x - 43 = 0$

$-2x^2 + 26x - 85 = 0$

$2x^2 - 26x + 85 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-26)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 85 = 676 - 680 = -4$.

Дискриминант отрицательный, следовательно, действительных корней нет.

Ответ: нет корней.

д) $\frac{65}{1-x^3} + \frac{17x - 10}{x^2 + x + 1} = \frac{25}{x-1}$

Используем формулу разности кубов $1-x^3 = (1-x)(1+x+x^2)$. Также учтем, что $x-1 = -(1-x)$.

$\frac{65}{(1-x)(x^2+x+1)} + \frac{17x - 10}{x^2 + x + 1} = \frac{25}{-(1-x)}$

Перенесем все члены в левую часть:

$\frac{65}{(1-x)(x^2+x+1)} + \frac{17x - 10}{x^2 + x + 1} + \frac{25}{1-x} = 0$

ОДЗ: $1-x \neq 0$, то есть $x \neq 1$. Выражение $x^2+x+1$ всегда положительно.

Общий знаменатель: $(1-x)(x^2+x+1)$. Умножим на него:

$65 + (17x - 10)(1-x) + 25(x^2+x+1) = 0$

$65 + 17x - 17x^2 - 10 + 10x + 25x^2 + 25x + 25 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(-17x^2 + 25x^2) + (17x + 10x + 25x) + (65 - 10 + 25) = 0$

$8x^2 + 52x + 80 = 0$

Разделим уравнение на 4:

$2x^2 + 13x + 20 = 0$

Решим квадратное уравнение. $D = 13^2 - 4 \cdot 2 \cdot 20 = 169 - 160 = 9 = 3^2$.

$x_1 = \frac{-13 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{-16}{4} = -4$

$x_2 = \frac{-13 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{-10}{4} = -2.5$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 1$).

Ответ: $-4; -2.5$.

е) $\frac{12}{x^3 - 8} + \frac{x+1}{x^2 + 2x + 4} = \frac{4}{x-2}$

Используем формулу разности кубов $x^3 - 8 = (x-2)(x^2+2x+4)$.

$\frac{12}{(x-2)(x^2+2x+4)} + \frac{x+1}{x^2+2x+4} - \frac{4}{x-2} = 0$

ОДЗ: $x-2 \neq 0$, т.е. $x \neq 2$. Выражение $x^2+2x+4$ всегда положительно.

Общий знаменатель: $(x-2)(x^2+2x+4)$. Умножим на него:

$12 + (x+1)(x-2) - 4(x^2+2x+4) = 0$

$12 + x^2 - 2x + x - 2 - 4x^2 - 8x - 16 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - 4x^2) + (-2x + x - 8x) + (12 - 2 - 16) = 0$

$-3x^2 - 9x - 6 = 0$

Разделим уравнение на -3:

$x^2 + 3x + 2 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = -2$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 2$).

Ответ: $-1; -2$.