Номер 56, страница 369 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Рациональные уравнения. Задания для повторения - номер 56, страница 369.

56 Являются ли числа 1, -1, 2, -2 корнями многочлена:

a) $P_3(x) = 3x^3 + 8x^2 + 3x - 2;$

б) $P_3(x) = 3x^3 + 5x^2 - 8;$

в) $P_3(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2;$

г) $P_4(x) = x^4 - 2x^3 - 7x^2 + 5x - 12?$

Чтобы определить, является ли число корнем многочлена, необходимо подставить это число в выражение многочлена вместо переменной $x$. Если в результате вычислений получится ноль, то данное число является корнем многочлена. Проверим предложенные числа (1, -1, 2, -2) для каждого из многочленов.

а) Для многочлена $P_3(x) = 3x^3 + 8x^2 + 3x - 2$

Проверка для $x = 1$:
$P_3(1) = 3 \cdot 1^3 + 8 \cdot 1^2 + 3 \cdot 1 - 2 = 3 + 8 + 3 - 2 = 12$.
Так как $12 \neq 0$, число 1 не является корнем.

Проверка для $x = -1$:
$P_3(-1) = 3 \cdot (-1)^3 + 8 \cdot (-1)^2 + 3 \cdot (-1) - 2 = -3 + 8 - 3 - 2 = 0$.
Так как результат равен 0, число -1 является корнем.

Проверка для $x = 2$:
$P_3(2) = 3 \cdot 2^3 + 8 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2 - 2 = 3 \cdot 8 + 8 \cdot 4 + 6 - 2 = 24 + 32 + 6 - 2 = 60$.
Так как $60 \neq 0$, число 2 не является корнем.

Проверка для $x = -2$:
$P_3(-2) = 3 \cdot (-2)^3 + 8 \cdot (-2)^2 + 3 \cdot (-2) - 2 = 3 \cdot (-8) + 8 \cdot 4 - 6 - 2 = -24 + 32 - 6 - 2 = 0$.
Так как результат равен 0, число -2 является корнем.

Ответ: корнями многочлена из предложенных чисел являются -1 и -2.

б) Для многочлена $P_3(x) = 3x^3 + 5x^2 - 8$

Проверка для $x = 1$:
$P_3(1) = 3 \cdot 1^3 + 5 \cdot 1^2 - 8 = 3 + 5 - 8 = 0$.
Так как результат равен 0, число 1 является корнем.

Проверка для $x = -1$:
$P_3(-1) = 3 \cdot (-1)^3 + 5 \cdot (-1)^2 - 8 = -3 + 5 - 8 = -6$.
Так как $-6 \neq 0$, число -1 не является корнем.

Проверка для $x = 2$:
$P_3(2) = 3 \cdot 2^3 + 5 \cdot 2^2 - 8 = 3 \cdot 8 + 5 \cdot 4 - 8 = 24 + 20 - 8 = 36$.
Так как $36 \neq 0$, число 2 не является корнем.

Проверка для $x = -2$:
$P_3(-2) = 3 \cdot (-2)^3 + 5 \cdot (-2)^2 - 8 = 3 \cdot (-8) + 5 \cdot 4 - 8 = -24 + 20 - 8 = -12$.
Так как $-12 \neq 0$, число -2 не является корнем.

Ответ: корнем многочлена из предложенных чисел является 1.

в) Для многочлена $P_3(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2$

Проверка для $x = 1$:
$P_3(1) = 1^3 - 2 \cdot 1^2 - 1 + 2 = 1 - 2 - 1 + 2 = 0$.
Так как результат равен 0, число 1 является корнем.

Проверка для $x = -1$:
$P_3(-1) = (-1)^3 - 2 \cdot (-1)^2 - (-1) + 2 = -1 - 2 + 1 + 2 = 0$.
Так как результат равен 0, число -1 является корнем.

Проверка для $x = 2$:
$P_3(2) = 2^3 - 2 \cdot 2^2 - 2 + 2 = 8 - 8 - 2 + 2 = 0$.
Так как результат равен 0, число 2 является корнем.

Проверка для $x = -2$:
$P_3(-2) = (-2)^3 - 2 \cdot (-2)^2 - (-2) + 2 = -8 - 8 + 2 + 2 = -12$.
Так как $-12 \neq 0$, число -2 не является корнем.

Ответ: корнями многочлена из предложенных чисел являются 1, -1 и 2.

г) Для многочлена $P_4(x) = x^4 - 2x^3 - 7x^2 + 5x - 12$

Проверка для $x = 1$:
$P_4(1) = 1^4 - 2 \cdot 1^3 - 7 \cdot 1^2 + 5 \cdot 1 - 12 = 1 - 2 - 7 + 5 - 12 = -15$.
Так как $-15 \neq 0$, число 1 не является корнем.

Проверка для $x = -1$:
$P_4(-1) = (-1)^4 - 2 \cdot (-1)^3 - 7 \cdot (-1)^2 + 5 \cdot (-1) - 12 = 1 + 2 - 7 - 5 - 12 = -21$.
Так как $-21 \neq 0$, число -1 не является корнем.

Проверка для $x = 2$:
$P_4(2) = 2^4 - 2 \cdot 2^3 - 7 \cdot 2^2 + 5 \cdot 2 - 12 = 16 - 16 - 28 + 10 - 12 = -30$.
Так как $-30 \neq 0$, число 2 не является корнем.

Проверка для $x = -2$:
$P_4(-2) = (-2)^4 - 2 \cdot (-2)^3 - 7 \cdot (-2)^2 + 5 \cdot (-2) - 12 = 16 + 16 - 28 - 10 - 12 = 32 - 50 = -18$.
Так как $-18 \neq 0$, число -2 не является корнем.

Ответ: ни одно из предложенных чисел не является корнем многочлена.