Номер 50, страница 368 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Линейные и квадратные уравнения. Задания для повторения - номер 50, страница 368.

50 a) При каком значении a сумма квадратов корней уравнения $2x^2 - 10x + a = 0$ равна 17?

б) При каком значении a сумма квадратов корней уравнения $2x^2 + 6x - a = 0$ равна 29?

в) При каком значении a разность квадратов корней уравнения $3x^2 + x + a = 0$ равна $\frac{7}{9}$?

г) При каком значении a разность квадратов корней уравнения $3x^2 + x - a = 0$ равна $\frac{5}{9}$?

а)

Для квадратного уравнения $2x^2 - 10x + a = 0$, пусть его корни будут $x_1$ и $x_2$. Согласно теореме Виета, сумма и произведение корней связаны с коэффициентами уравнения следующим образом:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{-10}{2} = 5$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{a}{2}$

Сумма квадратов корней $x_1^2 + x_2^2$ может быть выражена через сумму и произведение корней с помощью тождества: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.

По условию задачи, сумма квадратов корней равна 17. Подставим известные значения в тождество: $17 = (5)^2 - 2 \cdot \left(\frac{a}{2}\right)$ $17 = 25 - a$ $a = 25 - 17$ $a = 8$

Необходимо также убедиться, что при данном значении $a$ уравнение имеет действительные корни. Для этого дискриминант $D$ должен быть неотрицательным ($D \ge 0$). $D = (-10)^2 - 4 \cdot 2 \cdot a = 100 - 8a$. При $a=8$: $D = 100 - 8 \cdot 8 = 100 - 64 = 36$. Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Ответ: $a = 8$.

б)

Рассмотрим уравнение $2x^2 + 6x - a = 0$. Пусть его корни — $x_1$ и $x_2$. По теореме Виета:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{6}{2} = -3$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{-a}{2}$

Используем тождество для суммы квадратов корней: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.

По условию, $x_1^2 + x_2^2 = 29$. Подставляем значения: $29 = (-3)^2 - 2 \cdot \left(\frac{-a}{2}\right)$ $29 = 9 + a$ $a = 29 - 9$ $a = 20$

Проверим условие существования действительных корней. $D = 6^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-a) = 36 + 8a$. При $a=20$: $D = 36 + 8 \cdot 20 = 36 + 160 = 196$. Так как $D > 0$, действительные корни существуют.

Ответ: $a = 20$.

в)

Для уравнения $3x^2 + x + a = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ по теореме Виета имеем:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{1}{3}$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{a}{3}$

Разность квадратов корней $x_1^2 - x_2^2$ можно представить в виде произведения $(x_1 - x_2)(x_1 + x_2)$.

По условию $x_1^2 - x_2^2 = \frac{7}{9}$. Подставим известную сумму корней: $(x_1 - x_2) \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{7}{9}$ Отсюда находим разность корней: $x_1 - x_2 = \frac{7/9}{-1/3} = -\frac{7}{9} \cdot 3 = -\frac{7}{3}$

Квадрат разности корней $(x_1 - x_2)^2$ связан с коэффициентами через дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $(x_1 - x_2)^2 = \frac{D}{A^2} = \frac{1^2 - 4 \cdot 3 \cdot a}{3^2} = \frac{1 - 12a}{9}$. С другой стороны, из предыдущего шага $(x_1 - x_2)^2 = \left(-\frac{7}{3}\right)^2 = \frac{49}{9}$. Приравниваем два выражения: $\frac{1 - 12a}{9} = \frac{49}{9}$ $1 - 12a = 49$ $-12a = 48$ $a = -4$

Проверим дискриминант: $D = 1 - 12a$. При $a=-4$: $D = 1 - 12(-4) = 1 + 48 = 49$. Так как $D > 0$, действительные корни существуют.

Ответ: $a = -4$.

г)

Для уравнения $3x^2 + x - a = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ по теореме Виета:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{1}{3}$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{-a}{3}$

Разность квадратов корней: $x_1^2 - x_2^2 = (x_1 - x_2)(x_1 + x_2)$.

По условию, $x_1^2 - x_2^2 = \frac{5}{9}$. Подставляем сумму корней: $(x_1 - x_2) \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{5}{9}$ $x_1 - x_2 = \frac{5/9}{-1/3} = -\frac{5}{3}$

Используем связь квадрата разности корней с дискриминантом: $D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-a) = 1 + 12a$. $(x_1 - x_2)^2 = \frac{D}{A^2} = \frac{1 + 12a}{3^2} = \frac{1 + 12a}{9}$. Также $(x_1 - x_2)^2 = \left(-\frac{5}{3}\right)^2 = \frac{25}{9}$. Приравниваем выражения: $\frac{1 + 12a}{9} = \frac{25}{9}$ $1 + 12a = 25$ $12a = 24$ $a = 2$

Проверим дискриминант: $D = 1 + 12a$. При $a=2$: $D = 1 + 12 \cdot 2 = 1 + 24 = 25$. Так как $D > 0$, действительные корни существуют.

Ответ: $a = 2$.