Номер 46, страница 368 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Линейные и квадратные уравнения. Задания для повторения - номер 46, страница 368.

46 Даны два уравнения: $x^2 - 5x + p = 0$, $x^2 - 7x + 2p = 0$. Найдите значение $p$, при котором один из корней второго уравнения вдвое больше одного из корней первого уравнения.

Обозначим данные уравнения:
1) $x^2 - 5x + p = 0$
2) $x^2 - 7x + 2p = 0$

Пусть $x_1$ — это корень первого уравнения. Тогда по условию задачи, $2x_1$ является корнем второго уравнения. Так как $x_1$ и $2x_1$ являются корнями соответствующих уравнений, они должны удовлетворять этим уравнениям. Подставим их:
В первое уравнение подставляем $x_1$: $x_1^2 - 5x_1 + p = 0$.
Во второе уравнение подставляем $2x_1$: $(2x_1)^2 - 7(2x_1) + 2p = 0$.

Упростим второе уравнение:
$4x_1^2 - 14x_1 + 2p = 0$.

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $x_1$ и $p$: $$ \begin{cases} x_1^2 - 5x_1 + p = 0 \\ 4x_1^2 - 14x_1 + 2p = 0 \end{cases} $$

Для решения этой системы можно выразить $p$ из первого уравнения и подставить во второе. Из первого уравнения получаем:
$p = 5x_1 - x_1^2$.

Подставляем это выражение для $p$ во второе уравнение:
$4x_1^2 - 14x_1 + 2(5x_1 - x_1^2) = 0$.

Теперь решим полученное уравнение относительно $x_1$:
$4x_1^2 - 14x_1 + 10x_1 - 2x_1^2 = 0$
$2x_1^2 - 4x_1 = 0$.

Вынесем общий множитель $2x_1$ за скобки:
$2x_1(x_1 - 2) = 0$.

Это уравнение имеет два решения для $x_1$: $x_1 = 0$ или $x_1 = 2$. Рассмотрим каждый из этих случаев, чтобы найти соответствующее значение $p$.

1. Если $x_1 = 0$:
Подставляем это значение в выражение для $p$:
$p = 5(0) - (0)^2 = 0$.
Проверим это решение. При $p=0$ исходные уравнения имеют вид:
$x^2 - 5x = 0$, с корнями $x=0$ и $x=5$.
$x^2 - 7x = 0$, с корнями $x=0$ и $x=7$.
Корень второго уравнения $0$ вдвое больше корня первого уравнения $0$, так как $0 = 2 \cdot 0$. Условие выполнено.

2. Если $x_1 = 2$:
Подставляем это значение в выражение для $p$:
$p = 5(2) - (2)^2 = 10 - 4 = 6$.
Проверим это решение. При $p=6$ исходные уравнения имеют вид:
$x^2 - 5x + 6 = 0$, с корнями $x=2$ и $x=3$.
$x^2 - 7x + 12 = 0$, с корнями $x=3$ и $x=4$.
Корень второго уравнения $4$ вдвое больше корня первого уравнения $2$, так как $4 = 2 \cdot 2$. Условие также выполнено.

Таким образом, задача имеет два возможных значения для параметра $p$.

Ответ: $p=0, p=6$.