Номер 39, страница 367 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Линейные и квадратные уравнения. Задания для повторения - номер 39, страница 367.

ИССЛЕДУЕМ (39—41):

39

a) Найдите коэффициент $p$ в уравнении $2x^2 + px + 12 = 0$, имеющем корень 3.

б) Найдите коэффициент $q$ в уравнении $2x^2 + 6x + q = 0$, имеющем корень -2.

в) Найдите коэффициент $q$ в уравнении $x^2 + 7x + q = 0$, имеющем корень 3.

г) При каком наибольшем значении $a$ квадратное уравнение $x^2 - (a + 3)x + a^2 = 0$ имеет корень 3?

а) Чтобы найти коэффициент p, нужно подставить известный корень x = 3 в исходное уравнение $2x^2 + px + 12 = 0$. Если 3 является корнем, то при подстановке этого значения уравнение превращается в верное числовое равенство.

Подставляем $x=3$ в уравнение:

$2 \cdot (3)^2 + p \cdot 3 + 12 = 0$

Выполняем вычисления:

$2 \cdot 9 + 3p + 12 = 0$

$18 + 3p + 12 = 0$

$30 + 3p = 0$

Теперь решаем полученное линейное уравнение относительно p:

$3p = -30$

$p = \frac{-30}{3}$

$p = -10$

Ответ: -10

б) Аналогично предыдущему пункту, подставляем известный корень x = -2 в уравнение $2x^2 + 6x + q = 0$, чтобы найти коэффициент q.

Подставляем $x=-2$:

$2 \cdot (-2)^2 + 6 \cdot (-2) + q = 0$

Выполняем вычисления:

$2 \cdot 4 - 12 + q = 0$

$8 - 12 + q = 0$

$-4 + q = 0$

Решаем уравнение относительно q:

$q = 4$

Ответ: 4

в) Подставляем корень x = 3 в уравнение $x^2 + 7x + q = 0$ для нахождения коэффициента q.

Подставляем $x=3$:

$(3)^2 + 7 \cdot (3) + q = 0$

Выполняем вычисления:

$9 + 21 + q = 0$

$30 + q = 0$

Находим q:

$q = -30$

Ответ: -30

г) Нам дано, что квадратное уравнение $x^2 - (a + 3)x + a^2 = 0$ имеет корень x = 3. Подставим это значение в уравнение, чтобы получить уравнение относительно параметра a.

Подставляем $x=3$:

$(3)^2 - (a + 3) \cdot 3 + a^2 = 0$

Упрощаем полученное выражение:

$9 - 3(a + 3) + a^2 = 0$

$9 - 3a - 9 + a^2 = 0$

Приводим подобные члены и получаем квадратное уравнение относительно a:

$a^2 - 3a = 0$

Для решения этого неполного квадратного уравнения вынесем общий множитель a за скобки:

$a(a - 3) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных значения для a:

$a_1 = 0$

$a_2 - 3 = 0 \implies a_2 = 3$

По условию задачи требуется найти наибольшее значение a. Сравнивая полученные значения 0 и 3, выбираем большее.

Наибольшее значение a равно 3.

Ответ: 3