Номер 45, страница 368 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Линейные и квадратные уравнения. Задания для повторения - номер 45, страница 368.

45 a) При каком значении p равна 2 разность корней уравнения $x^2 + 4x + p = 0$?

б) Найдите коэффициент q в уравнении $x^2 - 2x + q = 0$, корни которого связаны соотношением $2x_2 + x_1 = 3$.

а)

Разность корней $x_1$ и $x_2$ приведенного квадратного уравнения $x^2+bx+c=0$ (где коэффициент при $x^2$ равен 1) связана с дискриминантом $D=b^2-4c$ формулой $|x_1-x_2|=\sqrt{D}$. Для уравнения $x^2+4x+p=0$ коэффициенты равны $b=4$ и $c=p$. Дискриминант этого уравнения равен $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot p = 16 - 4p$. По условию, разность корней равна 2. Подставим известные значения в формулу: $2 = \sqrt{16-4p}$. Чтобы найти $p$, возведем обе части уравнения в квадрат: $2^2 = (\sqrt{16-4p})^2$, что дает $4 = 16-4p$. Перенесем слагаемые, чтобы выразить $p$: $4p = 16 - 4$, то есть $4p = 12$. Отсюда находим значение $p$: $p = \frac{12}{4} = 3$. Для существования действительных корней необходимо, чтобы дискриминант был неотрицательным: $D = 16 - 4 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \ge 0$. Условие выполняется. Ответ: $p=3$

б)

Рассмотрим уравнение $x^2 - 2x + q = 0$. Пусть $x_1$ и $x_2$ — его корни. Согласно теореме Виета для данного уравнения, сумма и произведение корней выражаются через его коэффициенты следующим образом: $x_1 + x_2 = -(-2) = 2$ и $x_1 \cdot x_2 = q$. Из условия задачи нам также известно, что корни связаны соотношением $2x_2 + x_1 = 3$. Таким образом, мы имеем систему из двух линейных уравнений относительно $x_1$ и $x_2$:$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 2 \\ x_1 + 2x_2 = 3 \end{cases} $Вычтем первое уравнение из второго: $(x_1 + 2x_2) - (x_1 + x_2) = 3 - 2$. После упрощения получаем $x_2 = 1$. Подставим найденное значение $x_2$ в первое уравнение системы: $x_1 + 1 = 2$, откуда находим $x_1 = 1$. Теперь, зная оба корня, мы можем найти коэффициент $q$ из второго соотношения теоремы Виета: $q = x_1 \cdot x_2 = 1 \cdot 1 = 1$. Ответ: $q=1$