Страница 368 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

ИССЛЕДУЕМ (44–47):

44 Найдите $a$, если равны корни уравнения $x^2 - 2ax + a + 2 = 0$.

44

Дано квадратное уравнение $x^2 - 2ax + a + 2 = 0$. Корни квадратного уравнения равны тогда и только тогда, когда его дискриминант $D$ равен нулю.

Квадратное уравнение имеет общий вид $Ax^2 + Bx + C = 0$. Дискриминант вычисляется по формуле $D = B^2 - 4AC$. В нашем уравнении коэффициенты равны: $A = 1$, $B = -2a$, $C = a + 2$.

Подставим эти коэффициенты в формулу для дискриминанта и приравняем его к нулю:

$D = (-2a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a + 2) = 0$

Теперь раскроем скобки и упростим полученное выражение:

$4a^2 - 4(a + 2) = 0$

$4a^2 - 4a - 8 = 0$

Мы получили новое квадратное уравнение относительно переменной $a$. Для упрощения решения разделим обе части этого уравнения на 4:

$a^2 - a - 2 = 0$

Теперь найдем значения $a$, решив это уравнение. Это можно сделать, например, через дискриминант или по теореме Виета.

1-й способ: через дискриминант (для уравнения с переменной $a$)
$D_a = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$
$a_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = 2$
$a_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 3}{2} = -1$

2-й способ: по теореме Виета
Для уравнения $a^2 - a - 2 = 0$ сумма корней $a_1 + a_2 = 1$, а произведение корней $a_1 \cdot a_2 = -2$.
Подбором находим, что этим условиям удовлетворяют числа $2$ и $-1$.

Таким образом, исходное уравнение имеет равные корни при двух значениях параметра $a$.

Ответ: $a = -1$ или $a = 2$.

45 a) При каком значении p равна 2 разность корней уравнения $x^2 + 4x + p = 0$?

б) Найдите коэффициент q в уравнении $x^2 - 2x + q = 0$, корни которого связаны соотношением $2x_2 + x_1 = 3$.

Разность корней $x_1$ и $x_2$ приведенного квадратного уравнения $x^2+bx+c=0$ (где коэффициент при $x^2$ равен 1) связана с дискриминантом $D=b^2-4c$ формулой $|x_1-x_2|=\sqrt{D}$. Для уравнения $x^2+4x+p=0$ коэффициенты равны $b=4$ и $c=p$. Дискриминант этого уравнения равен $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot p = 16 - 4p$. По условию, разность корней равна 2. Подставим известные значения в формулу: $2 = \sqrt{16-4p}$. Чтобы найти $p$, возведем обе части уравнения в квадрат: $2^2 = (\sqrt{16-4p})^2$, что дает $4 = 16-4p$. Перенесем слагаемые, чтобы выразить $p$: $4p = 16 - 4$, то есть $4p = 12$. Отсюда находим значение $p$: $p = \frac{12}{4} = 3$. Для существования действительных корней необходимо, чтобы дискриминант был неотрицательным: $D = 16 - 4 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \ge 0$. Условие выполняется. Ответ: $p=3$

Рассмотрим уравнение $x^2 - 2x + q = 0$. Пусть $x_1$ и $x_2$ — его корни. Согласно теореме Виета для данного уравнения, сумма и произведение корней выражаются через его коэффициенты следующим образом: $x_1 + x_2 = -(-2) = 2$ и $x_1 \cdot x_2 = q$. Из условия задачи нам также известно, что корни связаны соотношением $2x_2 + x_1 = 3$. Таким образом, мы имеем систему из двух линейных уравнений относительно $x_1$ и $x_2$:$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 2 \\ x_1 + 2x_2 = 3 \end{cases} $Вычтем первое уравнение из второго: $(x_1 + 2x_2) - (x_1 + x_2) = 3 - 2$. После упрощения получаем $x_2 = 1$. Подставим найденное значение $x_2$ в первое уравнение системы: $x_1 + 1 = 2$, откуда находим $x_1 = 1$. Теперь, зная оба корня, мы можем найти коэффициент $q$ из второго соотношения теоремы Виета: $q = x_1 \cdot x_2 = 1 \cdot 1 = 1$. Ответ: $q=1$

46 Даны два уравнения: $x^2 - 5x + p = 0$, $x^2 - 7x + 2p = 0$. Найдите значение $p$, при котором один из корней второго уравнения вдвое больше одного из корней первого уравнения.

Обозначим данные уравнения:
1) $x^2 - 5x + p = 0$
2) $x^2 - 7x + 2p = 0$

Пусть $x_1$ — это корень первого уравнения. Тогда по условию задачи, $2x_1$ является корнем второго уравнения. Так как $x_1$ и $2x_1$ являются корнями соответствующих уравнений, они должны удовлетворять этим уравнениям. Подставим их:
В первое уравнение подставляем $x_1$: $x_1^2 - 5x_1 + p = 0$.
Во второе уравнение подставляем $2x_1$: $(2x_1)^2 - 7(2x_1) + 2p = 0$.

Упростим второе уравнение:
$4x_1^2 - 14x_1 + 2p = 0$.

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $x_1$ и $p$: $$ \begin{cases} x_1^2 - 5x_1 + p = 0 \\ 4x_1^2 - 14x_1 + 2p = 0 \end{cases} $$

Для решения этой системы можно выразить $p$ из первого уравнения и подставить во второе. Из первого уравнения получаем:
$p = 5x_1 - x_1^2$.

Подставляем это выражение для $p$ во второе уравнение:
$4x_1^2 - 14x_1 + 2(5x_1 - x_1^2) = 0$.

Теперь решим полученное уравнение относительно $x_1$:
$4x_1^2 - 14x_1 + 10x_1 - 2x_1^2 = 0$
$2x_1^2 - 4x_1 = 0$.

Вынесем общий множитель $2x_1$ за скобки:
$2x_1(x_1 - 2) = 0$.

Это уравнение имеет два решения для $x_1$: $x_1 = 0$ или $x_1 = 2$. Рассмотрим каждый из этих случаев, чтобы найти соответствующее значение $p$.

1. Если $x_1 = 0$:
Подставляем это значение в выражение для $p$:
$p = 5(0) - (0)^2 = 0$.
Проверим это решение. При $p=0$ исходные уравнения имеют вид:
$x^2 - 5x = 0$, с корнями $x=0$ и $x=5$.
$x^2 - 7x = 0$, с корнями $x=0$ и $x=7$.
Корень второго уравнения $0$ вдвое больше корня первого уравнения $0$, так как $0 = 2 \cdot 0$. Условие выполнено.

2. Если $x_1 = 2$:
Подставляем это значение в выражение для $p$:
$p = 5(2) - (2)^2 = 10 - 4 = 6$.
Проверим это решение. При $p=6$ исходные уравнения имеют вид:
$x^2 - 5x + 6 = 0$, с корнями $x=2$ и $x=3$.
$x^2 - 7x + 12 = 0$, с корнями $x=3$ и $x=4$.
Корень второго уравнения $4$ вдвое больше корня первого уравнения $2$, так как $4 = 2 \cdot 2$. Условие также выполнено.

Таким образом, задача имеет два возможных значения для параметра $p$.

Ответ: $p=0, p=6$.

47 При каком наименьшем целом положительном значении b корни уравнения $(b+1)x^2 - 4bx + b - 5 = 0$ положительны?

Для того чтобы оба корня квадратного уравнения $(b + 1)x^2 - 4bx + b - 5 = 0$ были положительными, необходимо и достаточно, чтобы выполнялась система из нескольких условий. По условию задачи, мы ищем наименьшее целое положительное значение $b$. Рассмотрим каждое условие по отдельности.

1. Условие, что уравнение является квадратным

Коэффициент при $x^2$ должен быть отличен от нуля: $b + 1 \neq 0$, что равносильно $b \neq -1$. Так как ищется целое положительное значение $b$ (то есть $b \ge 1$), это условие выполняется автоматически.

2. Условие существования действительных корней

Дискриминант $D$ уравнения должен быть неотрицательным ($D \ge 0$).$D = (-4b)^2 - 4(b+1)(b-5) = 16b^2 - 4(b^2 - 5b + b - 5) = 16b^2 - 4(b^2 - 4b - 5) = 16b^2 - 4b^2 + 16b + 20 = 12b^2 + 16b + 20$.Чтобы определить знак этого выражения, рассмотрим его как квадратный трехчлен относительно $b$. Его дискриминант $D_b = 16^2 - 4 \cdot 12 \cdot 20 = 256 - 960 = -704$.Поскольку $D_b < 0$ и старший коэффициент $12 > 0$, значение трехчлена $12b^2 + 16b + 20$ положительно при любых действительных $b$.Таким образом, $D > 0$ для любого $b$, и уравнение всегда имеет два различных действительных корня.

3. Условие положительности суммы корней

Согласно теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = -\frac{-4b}{b+1} = \frac{4b}{b+1}$.Требуется, чтобы выполнялось неравенство $\frac{4b}{b+1} > 0$.Для любого целого положительного $b$, числитель $4b$ положителен и знаменатель $b+1$ также положителен. Следовательно, вся дробь положительна, и это условие выполняется для всех целых положительных $b$.

4. Условие положительности произведения корней

Согласно теореме Виета, произведение корней $x_1 \cdot x_2 = \frac{b-5}{b+1}$.Требуется, чтобы выполнялось неравенство $\frac{b-5}{b+1} > 0$.Так как для целого положительного $b$ знаменатель $b+1$ всегда положителен, знак дроби совпадает со знаком числителя. Неравенство равносильно следующему:$b-5 > 0$$b > 5$

Определение наименьшего целого положительного значения b

Мы должны найти наименьшее целое положительное значение $b$, которое удовлетворяет всем четырем условиям. Первые три условия выполняются для любого целого положительного $b$. Четвертое условие накладывает ограничение $b > 5$.Таким образом, нам нужно найти наименьшее целое число, которое больше 5. Таким числом является 6.
Ответ: 6

48 Вычислите:

a) $\frac{(x_1 + x_2)^2}{x_1 \cdot x_2}$, где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 + 6x + 4 = 0;$

б) $\frac{(x_1 + x_2)^3}{x_1 \cdot x_2}$, где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 + 5x + 1 = 0;$

в) $\frac{x_1 \cdot x_2}{(x_1 + x_2)^2}$, где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0;$

г) $\frac{x_1 \cdot x_2}{(x_1 + x_2)^3}$, где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $-x^2 + 2x + 6 = 0.$

а) Для вычисления значения выражения $\frac{(x_1 + x_2)^2}{x_1 \cdot x_2}$, где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 + 6x + 4 = 0$, воспользуемся теоремой Виета.

Согласно теореме Виета для приведенного квадратного уравнения ($x^2 + px + q = 0$), сумма корней $x_1 + x_2 = -p$, а произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q$. В данном уравнении $p=6$ и $q=4$.

Таким образом, сумма корней: $x_1 + x_2 = -6$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 4$.

Подставим найденные значения в исходное выражение:

$\frac{(x_1 + x_2)^2}{x_1 \cdot x_2} = \frac{(-6)^2}{4} = \frac{36}{4} = 9$.

Ответ: 9

б) Для вычисления значения выражения $\frac{(x_1 + x_2)^3}{x_1 \cdot x_2}$, где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 + 5x + 1 = 0$, применим теорему Виета.

Для этого уравнения $p=5$ и $q=1$. По теореме Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p = -5$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q = 1$.

Подставим эти значения в выражение:

$\frac{(x_1 + x_2)^3}{x_1 \cdot x_2} = \frac{(-5)^3}{1} = \frac{-125}{1} = -125$.

Ответ: -125

в) Для вычисления значения выражения $\frac{x_1 \cdot x_2}{(x_1 + x_2)^2}$, где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$, используем теорему Виета.

Для данного уравнения $p=-5$ и $q=4$. В соответствии с теоремой Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p = -(-5) = 5$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q = 4$.

Подставим значения в заданное выражение:

$\frac{x_1 \cdot x_2}{(x_1 + x_2)^2} = \frac{4}{5^2} = \frac{4}{25}$.

Ответ: $\frac{4}{25}$

г) Для вычисления значения выражения $\frac{x_1 \cdot x_2}{(x_1 + x_2)^3}$, где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $-x^2 + 2x + 6 = 0$, воспользуемся теоремой Виета для общего вида квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$, а произведение — $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$. В нашем случае коэффициенты $a=-1, b=2, c=6$.

Следовательно, сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{2}{-1} = 2$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{6}{-1} = -6$.

Теперь подставим найденные значения в выражение:

$\frac{x_1 \cdot x_2}{(x_1 + x_2)^3} = \frac{-6}{2^3} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4}$.

Ответ: $-\frac{3}{4}$

ИССЛЕДУЕМ (49–50):

49 а) Найдите значение p, если корни уравнения $2x^2 - 5x + p = 0$ удовлетворяют условию $\frac{x_2^2}{x_1} + \frac{x_1^2}{x_2} = \frac{65}{8}$.

б) Найдите значение p, если корни уравнения $6x^2 + 3x - p = 0$ удовлетворяют условию $x_1 \cdot x_2^4 + x_2 \cdot x_1^4 = \frac{63}{8}$.

в) Найдите отрицательное значение q, если корни уравнения $3x^2 - 2qx - 15 = 0$ удовлетворяют условию $x_1 \cdot x_2^3 + x_2 \cdot x_1^3 = -\frac{530}{9}$.

г) Найдите положительное значение q, если корни уравнения $2x^2 + qx - 18 = 0$ удовлетворяют условию $\frac{1}{x_1^2} - \frac{1}{x_2^2} = \frac{65}{324}$.

а) Для квадратного уравнения $2x^2 - 5x + p = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ по теореме Виета имеем:

$x_1 + x_2 = -(\frac{-5}{2}) = \frac{5}{2}$

$x_1 \cdot x_2 = \frac{p}{2}$

Преобразуем данное в условии выражение:

$\frac{x_2^2}{x_1} + \frac{x_1^2}{x_2} = \frac{x_2^3 + x_1^3}{x_1 x_2}$

Известно, что сумма кубов $x_1^3 + x_2^3$ может быть выражена через сумму и произведение корней: $x_1^3 + x_2^3 = (x_1+x_2)(x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2) = (x_1+x_2)((x_1+x_2)^2 - 3x_1x_2)$.

Тогда исходное условие принимает вид:

$\frac{(x_1+x_2)((x_1+x_2)^2 - 3x_1x_2)}{x_1 x_2} = \frac{65}{8}$

Подставим значения из теоремы Виета:

$\frac{\frac{5}{2} \cdot ((\frac{5}{2})^2 - 3 \cdot \frac{p}{2})}{\frac{p}{2}} = \frac{65}{8}$

$\frac{\frac{5}{2} \cdot (\frac{25}{4} - \frac{3p}{2})}{\frac{p}{2}} = \frac{65}{8}$

$\frac{5 \cdot (\frac{25 - 6p}{4})}{p} = \frac{65}{8}$

$\frac{5(25 - 6p)}{4p} = \frac{65}{8}$

Сократим обе части на 5:

$\frac{25 - 6p}{4p} = \frac{13}{8}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):

$8(25 - 6p) = 13(4p)$

$200 - 48p = 52p$

$200 = 100p$

$p = 2$

Для существования действительных корней дискриминант $D = (-5)^2 - 4(2)p = 25 - 8p$ должен быть неотрицателен. При $p=2$, $D = 25 - 16 = 9 > 0$, что подтверждает наличие корней.

Ответ: 2.

б) Для уравнения $6x^2 + 3x - p = 0$ по теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}$

$x_1 x_2 = \frac{-p}{6}$

Преобразуем условие $x_1 x_2^4 + x_2 x_1^4 = \frac{63}{8}$:

$x_1 x_2 (x_2^3 + x_1^3) = \frac{63}{8}$

Используя формулу для суммы кубов $x_1^3 + x_2^3 = (x_1+x_2)((x_1+x_2)^2 - 3x_1x_2)$, получаем:

$x_1 x_2 (x_1+x_2)((x_1+x_2)^2 - 3x_1x_2) = \frac{63}{8}$

Подставим значения из теоремы Виета:

$(\frac{-p}{6}) \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot ( (-\frac{1}{2})^2 - 3(\frac{-p}{6}) ) = \frac{63}{8}$

$\frac{p}{12} \cdot (\frac{1}{4} + \frac{p}{2}) = \frac{63}{8}$

$\frac{p}{12} \cdot (\frac{1+2p}{4}) = \frac{63}{8}$

$\frac{p(1+2p)}{48} = \frac{63}{8}$

$p(1+2p) = 63 \cdot \frac{48}{8} = 63 \cdot 6$

$2p^2 + p = 378 \implies 2p^2 + p - 378 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $p$. Дискриминант $D_p = 1^2 - 4(2)(-378) = 1 + 3024 = 3025 = 55^2$.

$p = \frac{-1 \pm 55}{4}$

$p_1 = \frac{54}{4} = \frac{27}{2} = 13.5$

$p_2 = \frac{-56}{4} = -14$

Корни исходного уравнения существуют, если его дискриминант $D_x = 3^2 - 4(6)(-p) = 9+24p$ неотрицателен. $9+24p \ge 0 \implies 24p \ge -9 \implies p \ge -\frac{3}{8}$.

Значение $p_1 = 13.5$ удовлетворяет этому условию. Значение $p_2 = -14$ не удовлетворяет, так как $-14 < -3/8$, и является посторонним решением.

Ответ: 13.5.

в) Для уравнения $3x^2 - 2qx - 15 = 0$ по теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -(\frac{-2q}{3}) = \frac{2q}{3}$

$x_1 x_2 = \frac{-15}{3} = -5$

Преобразуем условие $x_1 x_2^3 + x_2 x_1^3 = -\frac{530}{9}$:

$x_1 x_2 (x_2^2 + x_1^2) = -\frac{530}{9}$

Используя тождество $x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2$, получаем:

$x_1 x_2 ((x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2) = -\frac{530}{9}$

Подставим значения из теоремы Виета:

$(-5) \cdot ((\frac{2q}{3})^2 - 2(-5)) = -\frac{530}{9}$

$(-5) \cdot (\frac{4q^2}{9} + 10) = -\frac{530}{9}$

Разделим обе части на -5:

$\frac{4q^2}{9} + 10 = \frac{106}{9}$

$\frac{4q^2}{9} = \frac{106}{9} - 10 = \frac{106-90}{9} = \frac{16}{9}$

$4q^2 = 16 \implies q^2 = 4 \implies q = \pm 2$

По условию требуется найти отрицательное значение $q$.

Ответ: -2.

г) Для уравнения $2x^2 + qx - 18 = 0$ по теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -\frac{q}{2}$

$x_1 x_2 = \frac{-18}{2} = -9$

Преобразуем условие $\frac{1}{x_1^2} - \frac{1}{x_2^2} = \frac{65}{324}$:

$\frac{x_2^2 - x_1^2}{x_1^2 x_2^2} = \frac{(x_2 - x_1)(x_2 + x_1)}{(x_1 x_2)^2} = \frac{65}{324}$

Подставим известные значения:

$\frac{(x_2 - x_1)(-\frac{q}{2})}{(-9)^2} = \frac{65}{324}$

$\frac{(x_2 - x_1)(-\frac{q}{2})}{81} = \frac{65}{324}$

$(x_2 - x_1)(-\frac{q}{2}) = \frac{65 \cdot 81}{324} = \frac{65}{4}$

Выразим $(x_1 - x_2)$: $x_1 - x_2 = \frac{65}{4} \cdot \frac{2}{q} = \frac{65}{2q}$

Возведем обе части в квадрат:

$(x_1 - x_2)^2 = (\frac{65}{2q})^2 = \frac{4225}{4q^2}$

С другой стороны, $(x_1 - x_2)^2 = (x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2$. Подставим значения из теоремы Виета:

$(x_1 - x_2)^2 = (-\frac{q}{2})^2 - 4(-9) = \frac{q^2}{4} + 36$

Приравняем два выражения для $(x_1 - x_2)^2$:

$\frac{q^2}{4} + 36 = \frac{4225}{4q^2}$

Умножим обе части на $4q^2$ (по условию ищем $q>0$, поэтому $q \neq 0$):

$q^4 + 144q^2 = 4225 \implies q^4 + 144q^2 - 4225 = 0$

Сделаем замену $z = q^2$ (где $z > 0$, так как $q$ действительное и не равно нулю):

$z^2 + 144z - 4225 = 0$

Решим это уравнение относительно $z$. Дискриминант $D_z = 144^2 - 4(1)(-4225) = 20736 + 16900 = 37636 = 194^2$.

$z = \frac{-144 \pm 194}{2}$

$z_1 = \frac{-144+194}{2} = \frac{50}{2} = 25$

$z_2 = \frac{-144-194}{2} = \frac{-338}{2} = -169$

Так как $z=q^2$, то $z$ не может быть отрицательным, поэтому подходит только $z = 25$.

$q^2 = 25 \implies q = \pm 5$.

По условию требуется найти положительное значение $q$.

Ответ: 5.

50 a) При каком значении a сумма квадратов корней уравнения $2x^2 - 10x + a = 0$ равна 17?

б) При каком значении a сумма квадратов корней уравнения $2x^2 + 6x - a = 0$ равна 29?

в) При каком значении a разность квадратов корней уравнения $3x^2 + x + a = 0$ равна $\frac{7}{9}$?

г) При каком значении a разность квадратов корней уравнения $3x^2 + x - a = 0$ равна $\frac{5}{9}$?

а)

Для квадратного уравнения $2x^2 - 10x + a = 0$, пусть его корни будут $x_1$ и $x_2$. Согласно теореме Виета, сумма и произведение корней связаны с коэффициентами уравнения следующим образом:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{-10}{2} = 5$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{a}{2}$

Сумма квадратов корней $x_1^2 + x_2^2$ может быть выражена через сумму и произведение корней с помощью тождества: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.

По условию задачи, сумма квадратов корней равна 17. Подставим известные значения в тождество: $17 = (5)^2 - 2 \cdot \left(\frac{a}{2}\right)$ $17 = 25 - a$ $a = 25 - 17$ $a = 8$

Необходимо также убедиться, что при данном значении $a$ уравнение имеет действительные корни. Для этого дискриминант $D$ должен быть неотрицательным ($D \ge 0$). $D = (-10)^2 - 4 \cdot 2 \cdot a = 100 - 8a$. При $a=8$: $D = 100 - 8 \cdot 8 = 100 - 64 = 36$. Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Ответ: $a = 8$.

б)

Рассмотрим уравнение $2x^2 + 6x - a = 0$. Пусть его корни — $x_1$ и $x_2$. По теореме Виета:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{6}{2} = -3$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{-a}{2}$

Используем тождество для суммы квадратов корней: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.

По условию, $x_1^2 + x_2^2 = 29$. Подставляем значения: $29 = (-3)^2 - 2 \cdot \left(\frac{-a}{2}\right)$ $29 = 9 + a$ $a = 29 - 9$ $a = 20$

Проверим условие существования действительных корней. $D = 6^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-a) = 36 + 8a$. При $a=20$: $D = 36 + 8 \cdot 20 = 36 + 160 = 196$. Так как $D > 0$, действительные корни существуют.

Ответ: $a = 20$.

в)

Для уравнения $3x^2 + x + a = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ по теореме Виета имеем:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{1}{3}$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{a}{3}$

Разность квадратов корней $x_1^2 - x_2^2$ можно представить в виде произведения $(x_1 - x_2)(x_1 + x_2)$.

По условию $x_1^2 - x_2^2 = \frac{7}{9}$. Подставим известную сумму корней: $(x_1 - x_2) \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{7}{9}$ Отсюда находим разность корней: $x_1 - x_2 = \frac{7/9}{-1/3} = -\frac{7}{9} \cdot 3 = -\frac{7}{3}$

Квадрат разности корней $(x_1 - x_2)^2$ связан с коэффициентами через дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $(x_1 - x_2)^2 = \frac{D}{A^2} = \frac{1^2 - 4 \cdot 3 \cdot a}{3^2} = \frac{1 - 12a}{9}$. С другой стороны, из предыдущего шага $(x_1 - x_2)^2 = \left(-\frac{7}{3}\right)^2 = \frac{49}{9}$. Приравниваем два выражения: $\frac{1 - 12a}{9} = \frac{49}{9}$ $1 - 12a = 49$ $-12a = 48$ $a = -4$

Проверим дискриминант: $D = 1 - 12a$. При $a=-4$: $D = 1 - 12(-4) = 1 + 48 = 49$. Так как $D > 0$, действительные корни существуют.

Ответ: $a = -4$.

г)

Для уравнения $3x^2 + x - a = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ по теореме Виета:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{1}{3}$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{-a}{3}$

Разность квадратов корней: $x_1^2 - x_2^2 = (x_1 - x_2)(x_1 + x_2)$.

По условию, $x_1^2 - x_2^2 = \frac{5}{9}$. Подставляем сумму корней: $(x_1 - x_2) \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{5}{9}$ $x_1 - x_2 = \frac{5/9}{-1/3} = -\frac{5}{3}$

Используем связь квадрата разности корней с дискриминантом: $D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-a) = 1 + 12a$. $(x_1 - x_2)^2 = \frac{D}{A^2} = \frac{1 + 12a}{3^2} = \frac{1 + 12a}{9}$. Также $(x_1 - x_2)^2 = \left(-\frac{5}{3}\right)^2 = \frac{25}{9}$. Приравниваем выражения: $\frac{1 + 12a}{9} = \frac{25}{9}$ $1 + 12a = 25$ $12a = 24$ $a = 2$

Проверим дискриминант: $D = 1 + 12a$. При $a=2$: $D = 1 + 12 \cdot 2 = 1 + 24 = 25$. Так как $D > 0$, действительные корни существуют.

Ответ: $a = 2$.