Страница 362 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Вычислите (1–5):

1 а) $ \left(6\frac{5}{9} - 3\frac{1}{4}\right) \cdot 2\frac{2}{17} $;

б) $ 9900 \cdot \left(\frac{1}{4} + \frac{21}{9900} - \frac{1}{495}\right) $;

в) $ \frac{0,6 + \frac{1}{4} + \frac{1}{15} + 0,125}{\frac{1}{3} + 0,4 + \frac{4}{15}} \cdot 24 $;

г) $ \frac{0,64 - \frac{1}{25}}{0,8 : \left(\frac{4}{5} \cdot 1,25\right)} $;

д) $ \frac{20}{99} + 0,2 + \frac{0,097}{1 - 0,01} $;

е) $ 243 \cdot \frac{\frac{1}{3} - \frac{1}{27} + \frac{1}{81}}{0,05 + \frac{2}{5} - 0,2} $.

а)

1. Сначала выполним действие в скобках, то есть вычитание смешанных чисел. Для этого представим их в виде неправильных дробей и приведем к общему знаменателю.

$6\frac{5}{9} = \frac{6 \cdot 9 + 5}{9} = \frac{59}{9}$

$3\frac{1}{4} = \frac{3 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{13}{4}$

Общий знаменатель для 9 и 4 равен 36.

$6\frac{5}{9} - 3\frac{1}{4} = \frac{59}{9} - \frac{13}{4} = \frac{59 \cdot 4}{36} - \frac{13 \cdot 9}{36} = \frac{236 - 117}{36} = \frac{119}{36}$

2. Теперь выполним умножение. Преобразуем второй множитель в неправильную дробь.

$2\frac{2}{17} = \frac{2 \cdot 17 + 2}{17} = \frac{36}{17}$

3. Умножим результат вычитания на вторую дробь.

$\frac{119}{36} \cdot \frac{36}{17} = \frac{119 \cdot 36}{36 \cdot 17} = \frac{119}{17}$

Разделим 119 на 17: $119 : 17 = 7$.

Ответ: 7

б)

1. Раскроем скобки, умножив 9900 на каждый член в скобках.

$9900 \cdot \left(\frac{1}{4} + \frac{21}{9900} - \frac{1}{495}\right) = 9900 \cdot \frac{1}{4} + 9900 \cdot \frac{21}{9900} - 9900 \cdot \frac{1}{495}$

2. Вычислим каждое слагаемое по отдельности.

$9900 \cdot \frac{1}{4} = \frac{9900}{4} = 2475$

$9900 \cdot \frac{21}{9900} = 21$

$9900 \cdot \frac{1}{495} = \frac{9900}{495}$. Заметим, что $9900 = 20 \cdot 495$, поэтому $\frac{9900}{495} = 20$.

3. Подставим полученные значения в выражение.

$2475 + 21 - 20 = 2475 + 1 = 2476$

Ответ: 2476

в)

1. Преобразуем все десятичные дроби в обыкновенные для удобства вычислений.

$0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$; $0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$; $0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

2. Вычислим значение числителя дроби.

$\frac{3}{5} + \frac{1}{4} + \frac{1}{15} + \frac{1}{8}$

Общий знаменатель для 5, 4, 15, 8 равен 120.

$\frac{3 \cdot 24}{120} + \frac{1 \cdot 30}{120} + \frac{1 \cdot 8}{120} + \frac{1 \cdot 15}{120} = \frac{72 + 30 + 8 + 15}{120} = \frac{125}{120} = \frac{25}{24}$

3. Вычислим значение знаменателя дроби.

$\frac{1}{3} + \frac{2}{5} + \frac{4}{15}$

Общий знаменатель для 3, 5, 15 равен 15.

$\frac{1 \cdot 5}{15} + \frac{2 \cdot 3}{15} + \frac{4}{15} = \frac{5 + 6 + 4}{15} = \frac{15}{15} = 1$

4. Разделим числитель на знаменатель и умножим на 24.

$\frac{\frac{25}{24}}{1} \cdot 24 = \frac{25}{24} \cdot 24 = 25$

Ответ: 25

г)

1. Вычислим значение числителя. Для этого преобразуем обыкновенную дробь в десятичную.

$\frac{1}{25} = \frac{4}{100} = 0,04$

$0,64 - 0,04 = 0,6$

2. Вычислим значение знаменателя. Сначала выполним умножение в скобках.

$1,25 = \frac{125}{100} = \frac{5}{4}$

$\frac{4}{5} \cdot 1,25 = \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{4} = 1$

Теперь выполним деление: $0,8 : 1 = 0,8$.

3. Разделим числитель на знаменатель.

$\frac{0,6}{0,8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} = 0,75$

Ответ: 0,75

д)

1. Сначала вычислим значение дроби $\frac{0,097}{1 - 0,01}$.

$1 - 0,01 = 0,99$

$\frac{0,097}{0,99} = \frac{97}{990}$

2. Теперь сложим все три члена, представив десятичную дробь 0,2 в виде обыкновенной: $0,2 = \frac{2}{10}$.

$\frac{20}{99} + \frac{2}{10} + \frac{97}{990}$

3. Приведем дроби к общему знаменателю 990.

$\frac{20 \cdot 10}{990} + \frac{2 \cdot 99}{990} + \frac{97}{990} = \frac{200}{990} + \frac{198}{990} + \frac{97}{990} = \frac{200+198+97}{990} = \frac{495}{990}$

4. Сократим полученную дробь.

$\frac{495}{990} = \frac{495}{2 \cdot 495} = \frac{1}{2} = 0,5$

Ответ: 0,5

е)

1. Вычислим числитель дроби в выражении. Приведем дроби к общему знаменателю 81.

$\frac{1}{3} - \frac{1}{27} + \frac{1}{81} = \frac{1 \cdot 27}{81} - \frac{1 \cdot 3}{81} + \frac{1}{81} = \frac{27 - 3 + 1}{81} = \frac{25}{81}$

2. Вычислим знаменатель дроби. Для удобства можно работать с десятичными дробями.

$\frac{2}{5} = 0,4$

$0,05 + 0,4 - 0,2 = 0,45 - 0,2 = 0,25$

3. Преобразуем 0,25 в обыкновенную дробь: $0,25 = \frac{1}{4}$.

4. Вычислим значение всей дроби.

$\frac{\frac{25}{81}}{0,25} = \frac{\frac{25}{81}}{\frac{1}{4}} = \frac{25}{81} \cdot \frac{4}{1} = \frac{100}{81}$

5. Умножим полученный результат на 243.

$243 \cdot \frac{100}{81} = \frac{243 \cdot 100}{81}$

Так как $243 = 3 \cdot 81$, то $\frac{243}{81} = 3$.

$3 \cdot 100 = 300$

Ответ: 300

2 а) $\left(\frac{3}{5} + 0,25 - \frac{1}{8}\right) \cdot 3,2 + \frac{9}{2} : 10;$

б) $\frac{\left(-6\frac{2}{15} - 1\frac{1}{12} + \frac{13}{60}\right) : 0,5 + 11}{2,4 \cdot 1,3 - 1,88}$

а) $(\frac{3}{5} + 0,25 - \frac{1}{8}) \cdot 3,2 + \frac{9}{2} : 10$

Решим пример по действиям, соблюдая порядок их выполнения.

1. Сначала выполним действия в скобках. Для этого представим все числа в виде обыкновенных дробей. $0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$.

Теперь вычислим сумму и разность в скобках, приведя дроби к общему знаменателю 40:

$\frac{3}{5} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} = \frac{3 \cdot 8}{40} + \frac{1 \cdot 10}{40} - \frac{1 \cdot 5}{40} = \frac{24 + 10 - 5}{40} = \frac{29}{40}$.

2. Далее выполним умножение. Преобразуем десятичную дробь $3,2$ в обыкновенную: $3,2 = \frac{32}{10} = \frac{16}{5}$.

$\frac{29}{40} \cdot \frac{16}{5} = \frac{29 \cdot 16}{40 \cdot 5} = \frac{29 \cdot 2}{5 \cdot 5} = \frac{58}{25}$.

3. Теперь выполним деление:

$\frac{9}{2} : 10 = \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{10} = \frac{9}{20}$.

4. Последнее действие — сложение результатов второго и третьего действий. Приведем дроби к общему знаменателю 100:

$\frac{58}{25} + \frac{9}{20} = \frac{58 \cdot 4}{25 \cdot 4} + \frac{9 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{232}{100} + \frac{45}{100} = \frac{277}{100} = 2,77$.

Ответ: $2,77$.

б) $\frac{(-6\frac{2}{15} - 1\frac{1}{12} + \frac{13}{60}) : 0,5 + 11}{2,4 \cdot 1,3 - 1,88}$

Для решения этого примера вычислим отдельно значение числителя и знаменателя.

1. Вычисление числителя: $(-6\frac{2}{15} - 1\frac{1}{12} + \frac{13}{60}) : 0,5 + 11$.

Сначала выполним действия в скобках, приведя все дроби к общему знаменателю 60:

$-6\frac{2}{15} = -6\frac{2 \cdot 4}{15 \cdot 4} = -6\frac{8}{60}$

$-1\frac{1}{12} = -1\frac{1 \cdot 5}{12 \cdot 5} = -1\frac{5}{60}$

Следовательно, выражение в скобках равно:

$-6\frac{8}{60} - 1\frac{5}{60} + \frac{13}{60} = -(6\frac{8}{60} + 1\frac{5}{60}) + \frac{13}{60} = -7\frac{13}{60} + \frac{13}{60} = -7$.

Теперь выполним оставшиеся действия с результатом: деление и сложение. $0,5 = \frac{1}{2}$.

$-7 : 0,5 + 11 = -7 : \frac{1}{2} + 11 = -7 \cdot 2 + 11 = -14 + 11 = -3$.

Таким образом, значение числителя равно $-3$.

2. Вычисление знаменателя: $2,4 \cdot 1,3 - 1,88$.

Сначала выполним умножение:

$2,4 \cdot 1,3 = 3,12$.

Затем выполним вычитание:

$3,12 - 1,88 = 1,24$.

Таким образом, значение знаменателя равно $1,24$.

3. Итоговый результат. Разделим значение числителя на значение знаменателя:

$\frac{-3}{1,24} = \frac{-3 \cdot 100}{1,24 \cdot 100} = \frac{-300}{124}$.

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 4:

$\frac{-300 : 4}{124 : 4} = -\frac{75}{31}$.

Результат можно оставить в виде неправильной дроби или перевести в смешанное число: $-\frac{75}{31} = -2\frac{13}{31}$.

Ответ: $-\frac{75}{31}$.

3 a) $(6\frac{3}{5} - 3\frac{3}{14}) \cdot (0.562 + 0.138);$

б) $\frac{(13.75 + 9\frac{1}{6}) \cdot 1.2}{(10.3 - 8\frac{1}{2}) \cdot \frac{5}{9}} + \frac{(6.8 - 3\frac{3}{5}) \cdot \frac{5}{6}}{(3\frac{2}{3} - 3\frac{1}{6}) \cdot 56} - 27\frac{1}{6}.$

а)

Решим данный пример по действиям.
1) Сначала выполним вычитание в первых скобках. Для этого преобразуем смешанные числа в неправильные дроби и приведем их к общему знаменателю.
$6\frac{3}{5} - 3\frac{3}{14} = \frac{6 \cdot 5 + 3}{5} - \frac{3 \cdot 14 + 3}{14} = \frac{33}{5} - \frac{45}{14}$
Общий знаменатель для 5 и 14 равен $5 \cdot 14 = 70$.
$\frac{33 \cdot 14}{70} - \frac{45 \cdot 5}{70} = \frac{462 - 225}{70} = \frac{237}{70}$
2) Теперь выполним сложение во вторых скобках.
$0,562 + 0,138 = 0,7$
3) Наконец, перемножим результаты, полученные в первом и втором действиях. Представим десятичную дробь 0,7 в виде обыкновенной дроби $\frac{7}{10}$.
$\frac{237}{70} \cdot 0,7 = \frac{237}{70} \cdot \frac{7}{10} = \frac{237 \cdot 7}{70 \cdot 10}$
Сократим дробь на 7:
$\frac{237}{10 \cdot 10} = \frac{237}{100} = 2,37$

Ответ: $2,37$.

б)

Для решения этого сложного примера разобьем его на части. Сначала вычислим значение каждой из двух больших дробей, а затем выполним сложение и вычитание. Для удобства вычислений будем переводить десятичные дроби в обыкновенные и наоборот.
Вычисление первой дроби: $\frac{(13,75 + 9\frac{1}{6}) \cdot 1,2}{(10,3 - 8\frac{1}{2}) \cdot \frac{5}{9}}$
1) Вычислим числитель: $(13,75 + 9\frac{1}{6}) \cdot 1,2$
$13,75 = 13\frac{3}{4}$. Тогда $13,75 + 9\frac{1}{6} = 13\frac{3}{4} + 9\frac{1}{6} = \frac{55}{4} + \frac{55}{6}$. Общий знаменатель 12.
$\frac{55 \cdot 3}{12} + \frac{55 \cdot 2}{12} = \frac{165 + 110}{12} = \frac{275}{12}$
Теперь умножим на 1,2. $1,2 = \frac{12}{10}$.
$\frac{275}{12} \cdot \frac{12}{10} = \frac{275}{10} = 27,5$
2) Вычислим знаменатель: $(10,3 - 8\frac{1}{2}) \cdot \frac{5}{9}$
$8\frac{1}{2} = 8,5$. Тогда $10,3 - 8,5 = 1,8$.
Теперь умножим на $\frac{5}{9}$. $1,8 = \frac{18}{10} = \frac{9}{5}$.
$\frac{9}{5} \cdot \frac{5}{9} = 1$
3) Значение первой дроби: $\frac{27,5}{1} = 27,5$.
Вычисление второй дроби: $\frac{(6,8 - 3\frac{3}{5}) \cdot 5\frac{5}{6}}{(3\frac{2}{3} - 3\frac{1}{6}) \cdot 56}$
4) Вычислим числитель: $(6,8 - 3\frac{3}{5}) \cdot 5\frac{5}{6}$
$3\frac{3}{5} = 3,6$. Тогда $6,8 - 3,6 = 3,2$.
Теперь умножим на $5\frac{5}{6}$. $3,2 = \frac{32}{10} = \frac{16}{5}$, $5\frac{5}{6} = \frac{35}{6}$.
$\frac{16}{5} \cdot \frac{35}{6} = \frac{16 \cdot 35}{5 \cdot 6} = \frac{16 \cdot 7}{6} = \frac{8 \cdot 7}{3} = \frac{56}{3}$
5) Вычислим знаменатель: $(3\frac{2}{3} - 3\frac{1}{6}) \cdot 56$
$3\frac{2}{3} - 3\frac{1}{6} = (3-3) + (\frac{2}{3} - \frac{1}{6}) = \frac{4}{6} - \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
Теперь умножим на 56: $\frac{1}{2} \cdot 56 = 28$.
6) Значение второй дроби: $\frac{\frac{56}{3}}{28} = \frac{56}{3 \cdot 28} = \frac{2}{3}$.
Итоговое вычисление:
7) Сложим результаты и вычтем последнее слагаемое: $27,5 + \frac{2}{3} - 27\frac{1}{6}$
Представим все числа в виде обыкновенных дробей: $27,5 = 27\frac{1}{2}$.
$27\frac{1}{2} + \frac{2}{3} - 27\frac{1}{6} = (27-27) + (\frac{1}{2} + \frac{2}{3} - \frac{1}{6})$
Приведем дроби в скобках к общему знаменателю 6:
$\frac{3}{6} + \frac{4}{6} - \frac{1}{6} = \frac{3+4-1}{6} = \frac{6}{6} = 1$

Ответ: $1$.

4 $ \frac{1\frac{1}{5} : \left( \frac{17}{40} + 0,6 - 0,005 \right) \cdot 1,7}{\frac{5}{6} + 1\frac{1}{3} - 1\frac{23}{30}} + \frac{4,75 + 7\frac{1}{2}}{33 : 4\frac{5}{7}} : 0,25. $

Для решения данного выражения необходимо выполнить действия в соответствии с их приоритетом: сначала действия в скобках, затем умножение и деление, и в последнюю очередь сложение и вычитание. Решим пример по частям.

1. Найдем значение первого слагаемого $ \frac{1\frac{1}{5} : (\frac{17}{40} + 0,6 - 0,005) \cdot 1,7}{\frac{5}{6} + 1\frac{1}{3} - 1\frac{23}{30}} $.

Сначала выполним действие в скобках в числителе. Для удобства переведем все числа в десятичные дроби.

$ \frac{17}{40} = 17 : 40 = 0,425 $

Тогда выражение в скобках равно:

$ 0,425 + 0,6 - 0,005 = 1,025 - 0,005 = 1,02 $

Теперь вычислим весь числитель. Переведем все числа в обыкновенные дроби:

$ 1\frac{1}{5} = \frac{6}{5} $

$ 1,02 = \frac{102}{100} = \frac{51}{50} $

$ 1,7 = \frac{17}{10} $

Выполним деление и умножение:

$ 1\frac{1}{5} : 1,02 \cdot 1,7 = \frac{6}{5} : \frac{51}{50} \cdot \frac{17}{10} = \frac{6}{5} \cdot \frac{50}{51} \cdot \frac{17}{10} = \frac{6 \cdot 50 \cdot 17}{5 \cdot 51 \cdot 10} = \frac{6 \cdot 10 \cdot 17}{51 \cdot 10} = \frac{6 \cdot 17}{51} = \frac{6 \cdot 17}{3 \cdot 17} = \frac{6}{3} = 2 $

Далее вычислим знаменатель. Переведем смешанные числа в неправильные дроби и приведем к общему знаменателю 30:

$ \frac{5}{6} + 1\frac{1}{3} - 1\frac{23}{30} = \frac{5}{6} + \frac{4}{3} - \frac{53}{30} = \frac{5 \cdot 5}{30} + \frac{4 \cdot 10}{30} - \frac{53}{30} = \frac{25 + 40 - 53}{30} = \frac{12}{30} = \frac{2}{5} $

Теперь разделим числитель на знаменатель, чтобы найти значение первого слагаемого:

$ 2 : \frac{2}{5} = 2 \cdot \frac{5}{2} = 5 $

2. Найдем значение второго слагаемого $ \frac{4,75 + 7\frac{1}{2}}{33 : 4\frac{5}{7}} : 0,25 $.

Вычислим числитель. Переведем $7\frac{1}{2}$ в десятичную дробь:

$ 4,75 + 7,5 = 12,25 $

Вычислим знаменатель. Переведем смешанное число в неправильную дробь:

$ 4\frac{5}{7} = \frac{4 \cdot 7 + 5}{7} = \frac{33}{7} $

$ 33 : \frac{33}{7} = 33 \cdot \frac{7}{33} = 7 $

Найдем значение дроби, разделив числитель на знаменатель:

$ \frac{12,25}{7} = 1,75 $

И выполним последнее действие — деление на 0,25:

$ 1,75 : 0,25 = \frac{175}{25} = 7 $

3. Сложим результаты.

Сложим значения первого и второго слагаемых:

$ 5 + 7 = 12 $

Ответ: 12