Страница 355 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

14.12 В каждом из двух ящиков лежат одинаковые шары двух цветов: белые и чёрные. Опыт заключается в том, что из каждого ящика не глядя берут по одному шару. Известно, что вероятность взять белый шар из первого ящика равна $a$ ($0 < a < 1$), а вероятность взять белый шар из второго ящика равна $b$ ($0 < b < 1$). Какова вероятность того, что в результате опыта будут вынуты:

а) 2 белых шара;

б) 2 чёрных шара;

в) 1 белый шар и 1 чёрный шар?

Для решения задачи введем обозначения событий:
$A_1$ - из первого ящика вынут белый шар. По условию, вероятность этого события $P(A_1) = a$.
$\bar{A_1}$ - из первого ящика вынут чёрный шар. Это событие, противоположное $A_1$, поэтому его вероятность $P(\bar{A_1}) = 1 - P(A_1) = 1 - a$.
$A_2$ - из второго ящика вынут белый шар. По условию, вероятность этого события $P(A_2) = b$.
$\bar{A_2}$ - из второго ящика вынут чёрный шар. Это событие, противоположное $A_2$, поэтому его вероятность $P(\bar{A_2}) = 1 - P(A_2) = 1 - b$.
Выбор шара из одного ящика не влияет на выбор из другого, поэтому события, связанные с разными ящиками, являются независимыми.

а) 2 белых шара
Это событие означает, что из первого ящика вынут белый шар (событие $A_1$) и из второго ящика вынут белый шар (событие $A_2$). Так как события независимы, вероятность их одновременного наступления равна произведению их вероятностей.
$P(\text{2 белых}) = P(A_1) \cdot P(A_2) = a \cdot b$.
Ответ: $ab$.

б) 2 чёрных шара
Это событие означает, что из первого ящика вынут чёрный шар (событие $\bar{A_1}$) и из второго ящика вынут чёрный шар (событие $\bar{A_2}$). Вероятность этого события также находится как произведение вероятностей независимых событий.
$P(\text{2 чёрных}) = P(\bar{A_1}) \cdot P(\bar{A_2}) = (1 - a)(1 - b)$.
Ответ: $(1-a)(1-b)$.

в) 1 белый шар и 1 чёрный шар
Это событие может произойти двумя взаимоисключающими способами:
1. Из первого ящика вынут белый шар ($A_1$), а из второго – чёрный ($\bar{A_2}$). Вероятность такого исхода равна $P(A_1) \cdot P(\bar{A_2}) = a(1-b)$.
2. Из первого ящика вынут чёрный шар ($\bar{A_1}$), а из второго – белый ($A_2$). Вероятность такого исхода равна $P(\bar{A_1}) \cdot P(A_2) = (1-a)b$.
Поскольку эти два исхода не могут произойти одновременно, общая вероятность события "вынут 1 белый и 1 чёрный шар" равна сумме их вероятностей.
$P(\text{1 белый и 1 чёрный}) = a(1-b) + (1-a)b = a - ab + b - ab = a + b - 2ab$.
Ответ: $a(1-b)+b(1-a)$.