Страница 353 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

14.9* Задача Пьера Ферма (1654 г.). Пусть до выигрыша всей встречи игроку A недостаёт двух партий, а игроку B — трёх партий. В каком отношении разделить ставку, если игра прервана?

Это классическая задача о разделе ставки, одно из первых исследований в области теории вероятностей, которым занимались Блез Паскаль и Пьер де Ферма в XVII веке. Принцип решения состоит в том, чтобы разделить ставку пропорционально шансам (вероятностям) каждого игрока на итоговую победу, если бы игра была продолжена.

Будем считать, что игроки равны по силе, то есть вероятность выигрыша каждой отдельной партии для любого из игроков равна $1/2$.

Игроку А для победы в матче не хватает 2 партий, а игроку В — 3 партий.

Чтобы определить победителя, нужно сыграть еще максимум 4 партии. Почему именно 4? Если будет сыграно 4 партии, то один из игроков гарантированно наберет необходимое ему количество побед. Например, если игрок А выиграет только одну из четырех партий, то игрок В выиграет три, что достаточно для его итоговой победы. Если А выиграет две партии, то он победит в матче. Таким образом, после 4 партий игра точно закончится. Максимальное число партий, которые теоретически могли бы понадобиться, вычисляется по формуле $n = (\text{партии для А}) + (\text{партии для В}) - 1 = 2 + 3 - 1 = 4$.

Теперь найдем вероятность выигрыша всего матча для каждого игрока, рассматривая исходы этих 4 гипотетических партий.

Вероятность выигрыша игрока А
Игрок А выигрывает матч, если он выиграет как минимум 2 из следующих 4 партий. Обозначим $P(A)$ — вероятность победы игрока А. Мы можем найти ее, сложив вероятности того, что А выиграет ровно 2, ровно 3 или все 4 партии.Вероятность того, что в $n$ испытаниях событие наступит ровно $k$ раз, вычисляется по формуле Бернулли: $P_n(k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$, где $p$ — вероятность успеха в одном испытании. В нашем случае $n=4$ и $p=1/2$.

• Вероятность того, что А выиграет ровно 2 партии из 4: $C_4^2 (\frac{1}{2})^2 (\frac{1}{2})^2 = \frac{4!}{2!2!} \cdot \frac{1}{16} = 6 \cdot \frac{1}{16} = \frac{6}{16}$
• Вероятность того, что А выиграет ровно 3 партии из 4: $C_4^3 (\frac{1}{2})^3 (\frac{1}{2})^1 = \frac{4!}{3!1!} \cdot \frac{1}{16} = 4 \cdot \frac{1}{16} = \frac{4}{16}$
• Вероятность того, что А выиграет все 4 партии: $C_4^4 (\frac{1}{2})^4 (\frac{1}{2})^0 = \frac{4!}{4!0!} \cdot \frac{1}{16} = 1 \cdot \frac{1}{16} = \frac{1}{16}$

Суммарная вероятность победы игрока А:
$P(A) = \frac{6}{16} + \frac{4}{16} + \frac{1}{16} = \frac{11}{16}$

Вероятность выигрыша игрока В
Игрок В выигрывает матч, если он выиграет как минимум 3 из следующих 4 партий. Это означает, что игрок А выиграет меньше 2 партий (то есть 0 или 1).Обозначим $P(B)$ — вероятность победы игрока В.

• Вероятность того, что В выиграет ровно 3 партии из 4 (А выиграет 1): $C_4^3 (\frac{1}{2})^3 (\frac{1}{2})^1 = 4 \cdot \frac{1}{16} = \frac{4}{16}$
• Вероятность того, что В выиграет все 4 партии (А выиграет 0): $C_4^4 (\frac{1}{2})^4 (\frac{1}{2})^0 = 1 \cdot \frac{1}{16} = \frac{1}{16}$

Суммарная вероятность победы игрока В:
$P(B) = \frac{4}{16} + \frac{1}{16} = \frac{5}{16}$

Заметим, что сумма вероятностей победы игроков А и В равна единице, что подтверждает правильность расчетов: $P(A) + P(B) = \frac{11}{16} + \frac{5}{16} = \frac{16}{16} = 1$.

Раздел ставки
Ставку следует разделить пропорционально вероятностям выигрыша каждого игрока:
Отношение долей игрока А и игрока В равно $P(A) : P(B) = \frac{11}{16} : \frac{5}{16}$, что эквивалентно $11:5$.

Ответ: Ставку следует разделить в отношении 11:5 в пользу игрока А.