Страница 363 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

5 a) $4.22 + 0.145 : \left(\frac{22}{45} - \frac{7}{12} - \frac{11}{60}\right) \cdot 0.16 + \frac{1}{60};$

б) $1.4 + 0.9 \cdot \left(3\frac{1}{15} + 0.98 : \left(\frac{12}{65} - \frac{7}{52} - \frac{11}{24}\right)\right);$

в) $\left(\left(4\frac{62}{125} + 33.022 : 5\frac{1}{2}\right) : \left(6.4 - 3\frac{1}{3} \cdot 0.24\right)\right) \times \left(\left(2.375 + 4\frac{1}{4}\right) \cdot 2\frac{2}{3} - \left(12.475 + 18\frac{1}{8}\right) : 75\right).$

а) $4,22 + 0,145 : ((\frac{22}{45} - \frac{7}{12} - \frac{11}{60}) \cdot 0,16 + \frac{1}{60})$

Решим по действиям:

1. Вычислим выражение в самых внутренних скобках:
   $\frac{22}{45} - \frac{7}{12} - \frac{11}{60}$
   Общий знаменатель для 45, 12 и 60 равен 180. Приводим дроби к этому знаменателю:
   $\frac{22 \cdot 4}{180} - \frac{7 \cdot 15}{180} - \frac{11 \cdot 3}{180} = \frac{88 - 105 - 33}{180} = \frac{-17 - 33}{180} = \frac{-50}{180} = -\frac{5}{18}$
2. Умножим результат на 0,16. Представим 0,16 в виде дроби $\frac{16}{100} = \frac{4}{25}$:
   $(-\frac{5}{18}) \cdot 0,16 = -\frac{5}{18} \cdot \frac{4}{25} = -\frac{5 \cdot 4}{18 \cdot 25} = -\frac{1 \cdot 2}{9 \cdot 5} = -\frac{2}{45}$
3. Прибавим $\frac{1}{60}$ к результату. Общий знаменатель для 45 и 60 равен 180:
   $-\frac{2}{45} + \frac{1}{60} = -\frac{2 \cdot 4}{180} + \frac{1 \cdot 3}{180} = \frac{-8 + 3}{180} = -\frac{5}{180} = -\frac{1}{36}$
4. Разделим 0,145 на результат. Представим 0,145 в виде дроби $\frac{145}{1000} = \frac{29}{200}$:
   $0,145 : (-\frac{1}{36}) = \frac{29}{200} \cdot (-36) = -\frac{29 \cdot 36}{200} = -\frac{29 \cdot 9}{50} = -\frac{261}{50} = -5,22$
5. Выполним последнее сложение:
   $4,22 + (-5,22) = 4,22 - 5,22 = -1$

Ответ: -1

б) $1,4 + 0,9 \cdot (3\frac{1}{15} + 0,98 : (\frac{12}{65} - \frac{7}{52} - \frac{11}{24}))$

Решим по действиям:

1. Вычислим выражение в самых внутренних скобках:
   $\frac{12}{65} - \frac{7}{52} - \frac{11}{24}$
   Общий знаменатель для 65, 52 и 24 равен 1560. Приводим дроби к этому знаменателю:
   $\frac{12 \cdot 24}{1560} - \frac{7 \cdot 30}{1560} - \frac{11 \cdot 65}{1560} = \frac{288 - 210 - 715}{1560} = \frac{78 - 715}{1560} = -\frac{637}{1560}$
   Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 13: $-\frac{637:13}{1560:13} = -\frac{49}{120}$
2. Разделим 0,98 на результат. Представим 0,98 в виде дроби $\frac{98}{100} = \frac{49}{50}$:
   $0,98 : (-\frac{49}{120}) = \frac{49}{50} \cdot (-\frac{120}{49}) = -\frac{120}{50} = -2,4$
3. Прибавим $3\frac{1}{15}$ к результату. Переведем все в обыкновенные дроби: $3\frac{1}{15} = \frac{46}{15}$ и $2,4 = \frac{24}{10} = \frac{12}{5}$:
   $\frac{46}{15} + (-2,4) = \frac{46}{15} - \frac{12}{5} = \frac{46}{15} - \frac{12 \cdot 3}{15} = \frac{46 - 36}{15} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$
4. Умножим результат на 0,9. Представим 0,9 в виде дроби $\frac{9}{10}$:
   $0,9 \cdot \frac{2}{3} = \frac{9}{10} \cdot \frac{2}{3} = \frac{3 \cdot 2}{10} = \frac{6}{10} = 0,6$
5. Выполним последнее сложение:
   $1,4 + 0,6 = 2$

Ответ: 2

в) $((4\frac{62}{125} + 33,022 : 5\frac{1}{2}) : (6,4 - 3\frac{1}{3} \cdot 0,24)) \times ((2,375 + 4\frac{1}{4}) \cdot 2\frac{2}{3} - (12,475 + 18\frac{1}{8}) : 75)$

Данное выражение состоит из произведения двух больших скобок. Вычислим значение каждой скобки по отдельности.

Первая большая скобка: $((4\frac{62}{125} + 33,022 : 5\frac{1}{2}) : (6,4 - 3\frac{1}{3} \cdot 0,24))$

1. $33,022 : 5\frac{1}{2} = 33,022 : 5,5 = 6,004$
2. $4\frac{62}{125} + 6,004 = 4\frac{496}{1000} + 6,004 = 4,496 + 6,004 = 10,5$
3. $3\frac{1}{3} \cdot 0,24 = \frac{10}{3} \cdot \frac{24}{100} = \frac{10 \cdot 8}{100} = \frac{80}{100} = 0,8$
4. $6,4 - 0,8 = 5,6$
5. $10,5 : 5,6 = \frac{105}{56} = \frac{15 \cdot 7}{8 \cdot 7} = \frac{15}{8}$

Вторая большая скобка: $((2,375 + 4\frac{1}{4}) \cdot 2\frac{2}{3} - (12,475 + 18\frac{1}{8}) : 75)$

6. $2,375 + 4\frac{1}{4} = 2,375 + 4,25 = 6,625$
7. $6,625 \cdot 2\frac{2}{3} = 6\frac{625}{1000} \cdot \frac{8}{3} = 6\frac{5}{8} \cdot \frac{8}{3} = \frac{53}{8} \cdot \frac{8}{3} = \frac{53}{3}$
8. $12,475 + 18\frac{1}{8} = 12,475 + 18,125 = 30,6$
9. $30,6 : 75 = \frac{306}{750} = \frac{153}{375} = \frac{51}{125}$
10. $\frac{53}{3} - \frac{51}{125} = \frac{53 \cdot 125 - 51 \cdot 3}{375} = \frac{6625 - 153}{375} = \frac{6472}{375}$

Финальное действие: Перемножим результаты двух больших скобок.

11. $\frac{15}{8} \cdot \frac{6472}{375} = \frac{15}{375} \cdot \frac{6472}{8} = \frac{1}{25} \cdot 809 = \frac{809}{25}$
12. Переведем результат в десятичную дробь:
    $\frac{809}{25} = \frac{809 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{3236}{100} = 32,36$

Ответ: 32,36

6 Представьте в виде десятичной дроби обыкновенную дробь:

а) $ \frac{17}{20} $;

б) $ \frac{7}{8} $.

а) Чтобы представить обыкновенную дробь в виде десятичной, можно привести ее к знаменателю, который является степенью числа 10 (например, 10, 100, 1000 и т.д.), либо разделить числитель на знаменатель.

Способ 1: Приведение к новому знаменателю.

Найдем число, на которое нужно умножить знаменатель 20, чтобы получить 100. Это число 5, так как $20 \times 5 = 100$.

Согласно основному свойству дроби, умножим и числитель, и знаменатель на 5:

$\frac{17}{20} = \frac{17 \times 5}{20 \times 5} = \frac{85}{100}$

Дробь $\frac{85}{100}$ в виде десятичной записывается как 0,85.

Способ 2: Деление числителя на знаменатель.

Разделим 17 на 20 столбиком:

$17 \div 20 = 0,85$

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 0,85

б) Представим дробь $\frac{7}{8}$ в виде десятичной.

Способ 1: Приведение к новому знаменателю.

Знаменатель 8 можно привести к 1000, умножив его на 125, так как $8 \times 125 = 1000$.

Умножим числитель и знаменатель дроби на 125:

$\frac{7}{8} = \frac{7 \times 125}{8 \times 125} = \frac{875}{1000}$

Дробь $\frac{875}{1000}$ в виде десятичной записывается как 0,875.

Способ 2: Деление числителя на знаменатель.

Разделим 7 на 8 столбиком:

$7 \div 8 = 0,875$

Результаты совпадают.

Ответ: 0,875

7 Представьте в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную периодическую дробь:

а) $2.\overline{4}$;

б) $3.\overline{5}$;

в) $2.\overline{17}$;

г) $2.1\overline{7}$;

д) $2.17\overline{1}$.

а) Чтобы представить бесконечную периодическую дробь $2,(4)$ в виде обыкновенной, обозначим эту дробь через $x$.
$x = 2,444...$
Так как в периоде одна цифра, умножим обе части уравнения на 10, чтобы сдвинуть запятую на один знак вправо и получить новое число с такой же дробной частью:
$10x = 24,444...$
Теперь вычтем из второго уравнения первое. Это действие позволяет избавиться от бесконечного "хвоста" из четверок.
$10x - x = 24,444... - 2,444...$
$9x = 22$
Отсюда находим $x$:
$x = \frac{22}{9}$
Можно также представить ответ в виде смешанного числа: $2\frac{4}{9}$.
Ответ: $\frac{22}{9}$

б) Представим дробь $3,(5)$ в виде обыкновенной. Пусть $x = 3,(5)$.
$x = 3,555...$
Период состоит из одной цифры, поэтому умножаем на 10:
$10x = 35,555...$
Вычтем исходное уравнение из полученного:
$10x - x = 35,555... - 3,555...$
$9x = 32$
$x = \frac{32}{9}$
В виде смешанного числа это $3\frac{5}{9}$.
Ответ: $\frac{32}{9}$

в) Рассмотрим дробь $2,(17)$. Обозначим $x = 2,(17)$.
$x = 2,171717...$
В периоде две цифры, поэтому умножим обе части на 100, чтобы сдвинуть запятую на два знака вправо:
$100x = 217,171717...$
Вычтем из второго уравнения первое:
$100x - x = 217,171717... - 2,171717...$
$99x = 215$
$x = \frac{215}{99}$
В виде смешанного числа это $2\frac{17}{99}$.
Ответ: $\frac{215}{99}$

г) Представим смешанную периодическую дробь $2,1(7)$ в виде обыкновенной. Смешанная она потому, что между запятой и периодом есть цифра, не входящая в него. Пусть $x = 2,1(7)$.
$x = 2,1777...$
Сначала умножим обе части на 10, чтобы после запятой остался только чистый период.
$10x = 21,777...$
Теперь, так как в периоде одна цифра, умножим обе части этого нового уравнения еще на 10:
$100x = 217,777...$
Вычтем предпоследнее уравнение из последнего, чтобы убрать периодическую часть:
$100x - 10x = 217,777... - 21,777...$
$90x = 196$
$x = \frac{196}{90}$
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 2:
$x = \frac{98}{45}$
Ответ: $\frac{98}{45}$

д) Представим смешанную периодическую дробь $2,17(1)$ в виде обыкновенной. Пусть $x = 2,17(1)$.
$x = 2,17111...$
В дробной части до периода стоят две цифры (17), поэтому сначала умножим обе части на 100, чтобы "продвинуть" непериодическую часть влево от запятой:
$100x = 217,111...$
Период состоит из одной цифры (1), поэтому умножим это уравнение еще на 10:
$1000x = 2171,111...$
Теперь вычтем из последнего уравнения предпоследнее, чтобы избавиться от периодической части:
$1000x - 100x = 2171,111... - 217,111...$
$900x = 1954$
$x = \frac{1954}{900}$
Сократим дробь на 2:
$x = \frac{977}{450}$
Ответ: $\frac{977}{450}$

8 Сравните числа:

а) $\frac{3}{11}$ и $0.\overline{27}$;

б) $\frac{5}{7}$ и $0.\overline{7}$;

в) $-\frac{4}{15}$ и $-0.2\overline{8}$;

г) $-\frac{11}{30}$ и $-0.3\overline{4}$.

а) Для сравнения чисел $\frac{3}{11}$ и $0,(27)$ представим периодическую десятичную дробь $0,(27)$ в виде обыкновенной дроби.
Пусть $x = 0,(27) = 0,2727...$.
Поскольку в периоде две цифры, умножим $x$ на $100$: $100x = 27,2727...$.
Вычтем из второго уравнения первое:
$100x - x = 27,2727... - 0,2727...$
$99x = 27$
$x = \frac{27}{99}$
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 9:
$x = \frac{27 \div 9}{99 \div 9} = \frac{3}{11}$.
Таким образом, $0,(27) = \frac{3}{11}$.
Следовательно, числа равны.
Ответ: $\frac{3}{11} = 0,(27)$.

б) Для сравнения чисел $\frac{5}{7}$ и $0,(7)$ представим периодическую дробь $0,(7)$ в виде обыкновенной дроби.
Пусть $x = 0,(7) = 0,777...$.
Умножим на 10: $10x = 7,777...$.
Вычтем $x$ из $10x$:
$10x - x = 7,777... - 0,777...$
$9x = 7$
$x = \frac{7}{9}$.
Теперь сравним дроби $\frac{5}{7}$ и $\frac{7}{9}$. Приведем их к общему знаменателю $7 \times 9 = 63$:
$\frac{5}{7} = \frac{5 \times 9}{7 \times 9} = \frac{45}{63}$
$\frac{7}{9} = \frac{7 \times 7}{9 \times 7} = \frac{49}{63}$
Поскольку $45 < 49$, то $\frac{45}{63} < \frac{49}{63}$, а значит $\frac{5}{7} < \frac{7}{9}$.
Ответ: $\frac{5}{7} < 0,(7)$.

в) Для сравнения отрицательных чисел $-\frac{4}{15}$ и $-0,2(8)$ сначала сравним их модули (абсолютные значения): $\frac{4}{15}$ и $0,2(8)$.
Представим смешанную периодическую дробь $0,2(8)$ в виде обыкновенной дроби.
Пусть $x = 0,2(8) = 0,2888...$.
Умножим на 10: $10x = 2,888...$.
Умножим на 100: $100x = 28,888...$.
Вычтем из второго уравнения первое:
$100x - 10x = 28,888... - 2,888...$
$90x = 26$
$x = \frac{26}{90} = \frac{13}{45}$.
Теперь сравним дроби $\frac{4}{15}$ и $\frac{13}{45}$. Приведем дробь $\frac{4}{15}$ к знаменателю 45:
$\frac{4}{15} = \frac{4 \times 3}{15 \times 3} = \frac{12}{45}$.
Сравниваем $\frac{12}{45}$ и $\frac{13}{45}$. Поскольку $12 < 13$, то $\frac{12}{45} < \frac{13}{45}$, а значит $\frac{4}{15} < 0,2(8)$.
Так как мы сравниваем отрицательные числа, то знак неравенства меняется на противоположный: из $\frac{4}{15} < 0,2(8)$ следует, что $-\frac{4}{15} > -0,2(8)$.
Ответ: $-\frac{4}{15} > -0,2(8)$.

г) Для сравнения отрицательных чисел $-\frac{11}{30}$ и $-0,3(4)$ сравним их модули: $\frac{11}{30}$ и $0,3(4)$.
Представим смешанную периодическую дробь $0,3(4)$ в виде обыкновенной дроби.
Пусть $x = 0,3(4) = 0,3444...$.
Умножим на 10: $10x = 3,444...$.
Умножим на 100: $100x = 34,444...$.
Вычтем из второго уравнения первое:
$100x - 10x = 34,444... - 3,444...$
$90x = 31$
$x = \frac{31}{90}$.
Теперь сравним дроби $\frac{11}{30}$ и $\frac{31}{90}$. Приведем дробь $\frac{11}{30}$ к знаменателю 90:
$\frac{11}{30} = \frac{11 \times 3}{30 \times 3} = \frac{33}{90}$.
Сравниваем $\frac{33}{90}$ и $\frac{31}{90}$. Поскольку $33 > 31$, то $\frac{33}{90} > \frac{31}{90}$, а значит $\frac{11}{30} > 0,3(4)$.
При сравнении отрицательных чисел знак неравенства меняется на противоположный: из $\frac{11}{30} > 0,3(4)$ следует, что $-\frac{11}{30} < -0,3(4)$.
Ответ: $-\frac{11}{30} < -0,3(4)$.

9 a) Какое из чисел меньше: $2\sqrt{10}$ или $6,(32)$?

б) Какое из чисел больше: $2\sqrt{17}$ или $8,(24)$?

в) Какое из чисел меньше: $\sqrt[3]{47}$ или $\sqrt{13}$?

а) Чтобы сравнить числа $2\sqrt{10}$ и $6,(32)$, возведем оба числа в квадрат. Так как оба числа положительные, то знак неравенства между ними будет таким же, как и между их квадратами.

Найдем квадрат первого числа:
$(2\sqrt{10})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{10})^2 = 4 \cdot 10 = 40$.

Теперь представим второе число $6,(32)$ в виде обыкновенной дроби.
Пусть $x = 6,3232...$
Тогда $100x = 632,3232...$
$100x - x = 632,3232... - 6,3232...$
$99x = 626$
$x = \frac{626}{99}$.

Найдем квадрат второго числа:
$( \frac{626}{99} )^2 = \frac{626^2}{99^2} = \frac{391876}{9801}$.

Сравним $40$ и $\frac{391876}{9801}$. Для этого приведем $40$ к дроби со знаменателем $9801$:
$40 = \frac{40 \cdot 9801}{9801} = \frac{392040}{9801}$.

Сравниваем дроби $\frac{392040}{9801}$ и $\frac{391876}{9801}$.
Так как $392040 > 391876$, то $\frac{392040}{9801} > \frac{391876}{9801}$.
Следовательно, $40 > (\frac{626}{99})^2$, а значит $(2\sqrt{10})^2 > (6,(32))^2$.
Поскольку оба числа положительны, то $2\sqrt{10} > 6,(32)$.
Таким образом, меньшее из чисел — $6,(32)$.

Ответ: $6,(32)$.

б) Чтобы сравнить числа $2\sqrt{17}$ и $8,(24)$, возведем их в квадрат, так как оба числа положительны.

Найдем квадрат первого числа:
$(2\sqrt{17})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{17})^2 = 4 \cdot 17 = 68$.

Представим второе число $8,(24)$ в виде обыкновенной дроби.
Пусть $x = 8,2424...$
Тогда $100x = 824,2424...$
$100x - x = 824,2424... - 8,2424...$
$99x = 816$
$x = \frac{816}{99}$.

Найдем квадрат второго числа:
$( \frac{816}{99} )^2 = \frac{816^2}{99^2} = \frac{665856}{9801}$.

Сравним $68$ и $\frac{665856}{9801}$. Для этого приведем $68$ к дроби со знаменателем $9801$:
$68 = \frac{68 \cdot 9801}{9801} = \frac{666468}{9801}$.

Сравниваем дроби $\frac{666468}{9801}$ и $\frac{665856}{9801}$.
Так как $666468 > 665856$, то $\frac{666468}{9801} > \frac{665856}{9801}$.
Следовательно, $68 > (\frac{816}{99})^2$, а значит $(2\sqrt{17})^2 > (8,(24))^2$.
Поскольку оба числа положительны, то $2\sqrt{17} > 8,(24)$.
Таким образом, большее из чисел — $2\sqrt{17}$.

Ответ: $2\sqrt{17}$.

в) Чтобы сравнить числа $\sqrt[3]{47}$ и $\sqrt{13}$, нужно привести их к корням с одинаковым показателем. Наименьшее общее кратное для показателей корней $3$ и $2$ равно $6$.

Возведем оба числа в шестую степень. Так как оба числа положительные, знак неравенства сохранится.

Для первого числа:
$(\sqrt[3]{47})^6 = 47^{(1/3) \cdot 6} = 47^2 = 2209$.

Для второго числа:
$(\sqrt{13})^6 = 13^{(1/2) \cdot 6} = 13^3 = 169 \cdot 13 = 2197$.

Сравним полученные результаты: $2209$ и $2197$.
Так как $2209 > 2197$, то $(\sqrt[3]{47})^6 > (\sqrt{13})^6$.
Поскольку функция $y=x^6$ возрастающая для положительных чисел, то $\sqrt[3]{47} > \sqrt{13}$.
Таким образом, меньшее из чисел — $\sqrt{13}$.

Ответ: $\sqrt{13}$.

10 Определите, что больше:

а) $(1 - \sqrt{3})^{-1}$ или $(1 + 3^{0,5})^{-2}$

б) $(1 - \sqrt{2})^{-2}$ или $(2^{1,5} + 3)^{-1}$

а) Сравним числа $(1 - \sqrt{3})^{-1}$ и $(1 + 3^{0,5})^{-2}$.

Сначала преобразуем первое выражение:

$(1 - \sqrt{3})^{-1} = \frac{1}{1 - \sqrt{3}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(1 + \sqrt{3})$:

$\frac{1}{1 - \sqrt{3}} = \frac{1 \cdot (1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})} = \frac{1 + \sqrt{3}}{1^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{1 + \sqrt{3}}{1 - 3} = \frac{1 + \sqrt{3}}{-2} = -\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

Поскольку $\sqrt{3} > 0$, то $1 + \sqrt{3} > 0$, следовательно, выражение $-\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ является отрицательным числом.

Теперь преобразуем второе выражение. Учтем, что $3^{0,5} = 3^{1/2} = \sqrt{3}$:

$(1 + 3^{0,5})^{-2} = (1 + \sqrt{3})^{-2} = \frac{1}{(1 + \sqrt{3})^2}$

Раскроем скобки в знаменателе:

$(1 + \sqrt{3})^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 1 + 2\sqrt{3} + 3 = 4 + 2\sqrt{3}$

Таким образом, второе выражение равно $\frac{1}{4 + 2\sqrt{3}}$.

Поскольку $\sqrt{3} > 0$, то знаменатель $4 + 2\sqrt{3}$ положителен, и вся дробь является положительным числом.

Мы сравниваем отрицательное число $-\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ и положительное число $\frac{1}{4 + 2\sqrt{3}}$. Любое положительное число больше любого отрицательного.

Следовательно, $\frac{1}{4 + 2\sqrt{3}} > -\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$, а значит $(1 + 3^{0,5})^{-2} > (1 - \sqrt{3})^{-1}$.

Ответ: $(1 + 3^{0,5})^{-2} > (1 - \sqrt{3})^{-1}$.

б) Сравним числа $(1 - \sqrt{2})^{-2}$ и $(2^{1,5} + 3)^{-1}$.

Преобразуем первое выражение:

$(1 - \sqrt{2})^{-2} = \frac{1}{(1 - \sqrt{2})^2}$

Раскроем скобки в знаменателе:

$(1 - \sqrt{2})^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 1 - 2\sqrt{2} + 2 = 3 - 2\sqrt{2}$

Получаем дробь $\frac{1}{3 - 2\sqrt{2}}$. Избавимся от иррациональности, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(3 + 2\sqrt{2})$:

$\frac{1}{3 - 2\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot (3 + 2\sqrt{2})}{(3 - 2\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2})} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{3^2 - (2\sqrt{2})^2} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{9 - 8} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{1} = 3 + 2\sqrt{2}$

Теперь преобразуем второе выражение. Учтем, что $2^{1,5} = 2^{3/2} = \sqrt{2^3} = \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$:

$(2^{1,5} + 3)^{-1} = (2\sqrt{2} + 3)^{-1} = \frac{1}{3 + 2\sqrt{2}}$

Теперь нам нужно сравнить два числа: $3 + 2\sqrt{2}$ и $\frac{1}{3 + 2\sqrt{2}}$.

Обозначим $x = 3 + 2\sqrt{2}$. Тогда требуется сравнить $x$ и $\frac{1}{x}$.

Поскольку $\sqrt{2} > 1$, то $2\sqrt{2} > 2$, и $x = 3 + 2\sqrt{2} > 3 + 2 = 5$. Значит, $x > 1$.

Для любого положительного числа $x$, если $x > 1$, то $x > \frac{1}{x}$.

Следовательно, $3 + 2\sqrt{2} > \frac{1}{3 + 2\sqrt{2}}$.

Это означает, что $(1 - \sqrt{2})^{-2} > (2^{1,5} + 3)^{-1}$.

Ответ: $(1 - \sqrt{2})^{-2} > (2^{1,5} + 3)^{-1}$.

11 Вычислите:

a) $\frac{(\sqrt{3})^2 + (\sqrt{7} - \sqrt{3})(\sqrt{7} + \sqrt{3})}{\frac{1}{7} + \frac{1}{49} - 2\frac{8}{49}}$;

б) $\frac{(\sqrt{3} - 2\sqrt{2})(\sqrt{3} + 2\sqrt{2})}{\frac{7}{8} - 0,125 + \frac{1}{20}}$;

в) $\frac{2^0 + (\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2) \cdot (\sqrt{3})^0}{\frac{1}{16} + \frac{1}{4} - 0,375}$;

г) $\frac{0,625 + \frac{1}{8} + 2^0 - 2^{-1}}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)}$;

д) $\left(\frac{(2 + 2\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)^2}{(0,05)^0 + 0,75 - \frac{1}{4}}\right)^{-1}$;

e) $\frac{1}{16} \cdot \frac{(4 + 2\sqrt{3})^3}{26 + 15\sqrt{3}}$;

а) Вычислим числитель и знаменатель дроби по отдельности.
Числитель: $(\sqrt{3})^2 + (\sqrt{7} - \sqrt{3})(\sqrt{7} + \sqrt{3})$. Используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
$(\sqrt{3})^2 + ((\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2) = 3 + (7 - 3) = 3 + 4 = 7$.
Знаменатель: $\frac{1}{7} + \frac{1}{49} - 2\frac{8}{49}$. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $2\frac{8}{49} = \frac{2 \cdot 49 + 8}{49} = \frac{98 + 8}{49} = \frac{106}{49}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 49: $\frac{1 \cdot 7}{7 \cdot 7} + \frac{1}{49} - \frac{106}{49} = \frac{7 + 1 - 106}{49} = \frac{8 - 106}{49} = \frac{-98}{49} = -2$.
Найдем значение выражения: $\frac{7}{-2} = -3,5$.
Ответ: -3,5.

б) Вычислим числитель и знаменатель дроби по отдельности.
Числитель: $(\sqrt{3} - 2\sqrt{2})(\sqrt{3} + 2\sqrt{2})$. Используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
$(\sqrt{3})^2 - (2\sqrt{2})^2 = 3 - (4 \cdot 2) = 3 - 8 = -5$.
Знаменатель: $\frac{7}{8} - 0,125 + \frac{1}{20}$. Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $0,125 = \frac{1}{8}$.
$\frac{7}{8} - \frac{1}{8} + \frac{1}{20} = \frac{6}{8} + \frac{1}{20} = \frac{3}{4} + \frac{1}{20}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 20: $\frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{1}{20} = \frac{15}{20} + \frac{1}{20} = \frac{16}{20} = \frac{4}{5}$.
Найдем значение выражения: $\frac{-5}{\frac{4}{5}} = -5 \cdot \frac{5}{4} = -\frac{25}{4} = -6,25$.
Ответ: -6,25.

в) Вычислим числитель и знаменатель дроби по отдельности.
Числитель: $2^0 + (\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2) \cdot (\sqrt{3})^0$. Любое ненулевое число в степени 0 равно 1, поэтому $2^0 = 1$ и $(\sqrt{3})^0 = 1$.
Используем формулу разности квадратов: $(\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2) = (\sqrt{5})^2 - 2^2 = 5 - 4 = 1$.
Числитель равен: $1 + 1 \cdot 1 = 2$.
Знаменатель: $\frac{1}{16} + \frac{1}{4} - 0,375$. Преобразуем десятичную дробь: $0,375 = \frac{375}{1000} = \frac{3}{8}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 16: $\frac{1}{16} + \frac{1 \cdot 4}{4 \cdot 4} - \frac{3 \cdot 2}{8 \cdot 2} = \frac{1}{16} + \frac{4}{16} - \frac{6}{16} = \frac{1 + 4 - 6}{16} = \frac{-1}{16}$.
Найдем значение выражения: $\frac{2}{-\frac{1}{16}} = 2 \cdot (-16) = -32$.
Ответ: -32.

г) Вычислим числитель и знаменатель дроби по отдельности.
Числитель: $0,625 + \frac{1}{8} + 2^0 - 2^{-1}$.
Преобразуем числа: $0,625 = \frac{5}{8}$, $2^0 = 1$, $2^{-1} = \frac{1}{2}$.
Числитель равен: $\frac{5}{8} + \frac{1}{8} + 1 - \frac{1}{2} = \frac{6}{8} + 1 - \frac{1}{2} = \frac{3}{4} + 1 - \frac{2}{4} = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$.
Знаменатель: $(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)$. Используем формулу разности квадратов: $(\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2 - 1 = 1$.
Найдем значение выражения: $\frac{\frac{5}{4}}{1} = \frac{5}{4} = 1,25$.
Ответ: 1,25.

д) Сначала упростим выражение в скобках.
Рассмотрим числитель дроби в скобках: $(2 + 2\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)^2$.
Заметим, что $2 + 2\sqrt{2} + 1 = (\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{2} + 1)^2$.
Тогда числитель равен $(\sqrt{2} + 1)^2(\sqrt{2} - 1)^2 = ((\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1))^2$.
Используем формулу разности квадратов: $((\sqrt{2})^2 - 1^2)^2 = (2 - 1)^2 = 1^2 = 1$.
Рассмотрим знаменатель дроби в скобках: $(0,05)^0 + 0,75 - \frac{1}{4}$.
$(0,05)^0 = 1$, $0,75 = \frac{3}{4}$.
Знаменатель равен $1 + \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = 1 + \frac{2}{4} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
Выражение в скобках равно $\frac{1}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}$.
Возведем результат в степень -1: $(\frac{2}{3})^{-1} = \frac{3}{2} = 1,5$.
Ответ: 1,5.

е) Упростим выражение $\frac{(4 + 2\sqrt{3})^3}{26 + 15\sqrt{3}}$.
Вынесем общий множитель в числителе: $(4 + 2\sqrt{3})^3 = (2(2 + \sqrt{3}))^3 = 2^3(2 + \sqrt{3})^3 = 8(2 + \sqrt{3})^3$.
Раскроем куб суммы по формуле $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$:
$(2 + \sqrt{3})^3 = 2^3 + 3 \cdot 2^2 \cdot \sqrt{3} + 3 \cdot 2 \cdot (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^3 = 8 + 12\sqrt{3} + 6 \cdot 3 + 3\sqrt{3} = 8 + 12\sqrt{3} + 18 + 3\sqrt{3} = 26 + 15\sqrt{3}$.
Тогда дробь равна $\frac{8(26 + 15\sqrt{3})}{26 + 15\sqrt{3}} = 8$.
Найдем значение всего выражения: $\frac{1}{16} \cdot 8 = \frac{8}{16} = \frac{1}{2} = 0,5$.
Ответ: 0,5.

12 Вычислите, не пользуясь калькулятором:

$\left(\frac{15}{\sqrt{6}+1} + \frac{4}{\sqrt{6}-2} - \frac{12}{3-\sqrt{6}}\right)\left(\sqrt{6}+11\right).$

Для решения данного примера необходимо сначала упростить выражение в скобках. Для этого избавимся от иррациональности в знаменателе каждой дроби, умножив её числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю выражение.

1. Упростим первое слагаемое:

Умножим числитель и знаменатель дроби $ \frac{15}{\sqrt{6} + 1} $ на $ (\sqrt{6} - 1) $. Используем формулу разности квадратов $ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $.

$ \frac{15}{\sqrt{6} + 1} = \frac{15(\sqrt{6} - 1)}{(\sqrt{6} + 1)(\sqrt{6} - 1)} = \frac{15(\sqrt{6} - 1)}{(\sqrt{6})^2 - 1^2} = \frac{15(\sqrt{6} - 1)}{6 - 1} = \frac{15(\sqrt{6} - 1)}{5} = 3(\sqrt{6} - 1) = 3\sqrt{6} - 3 $

2. Упростим второе слагаемое:

Умножим числитель и знаменатель дроби $ \frac{4}{\sqrt{6} - 2} $ на $ (\sqrt{6} + 2) $.

$ \frac{4}{\sqrt{6} - 2} = \frac{4(\sqrt{6} + 2)}{(\sqrt{6} - 2)(\sqrt{6} + 2)} = \frac{4(\sqrt{6} + 2)}{(\sqrt{6})^2 - 2^2} = \frac{4(\sqrt{6} + 2)}{6 - 4} = \frac{4(\sqrt{6} + 2)}{2} = 2(\sqrt{6} + 2) = 2\sqrt{6} + 4 $

3. Упростим третье слагаемое (вычитаемое):

Умножим числитель и знаменатель дроби $ \frac{12}{3 - \sqrt{6}} $ на $ (3 + \sqrt{6}) $.

$ \frac{12}{3 - \sqrt{6}} = \frac{12(3 + \sqrt{6})}{(3 - \sqrt{6})(3 + \sqrt{6})} = \frac{12(3 + \sqrt{6})}{3^2 - (\sqrt{6})^2} = \frac{12(3 + \sqrt{6})}{9 - 6} = \frac{12(3 + \sqrt{6})}{3} = 4(3 + \sqrt{6}) = 12 + 4\sqrt{6} $

4. Выполним действия в скобках:

Подставим полученные упрощенные выражения в исходные скобки:

$ (3\sqrt{6} - 3) + (2\sqrt{6} + 4) - (12 + 4\sqrt{6}) $

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$ 3\sqrt{6} - 3 + 2\sqrt{6} + 4 - 12 - 4\sqrt{6} = (3\sqrt{6} + 2\sqrt{6} - 4\sqrt{6}) + (-3 + 4 - 12) = \sqrt{6} - 11 $

5. Выполним финальное умножение:

Теперь умножим результат, полученный в скобках, на второй множитель $ (\sqrt{6} + 11) $.

$ (\sqrt{6} - 11)(\sqrt{6} + 11) $

Это снова формула разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $, где $ a = \sqrt{6} $ и $ b = 11 $.

$ (\sqrt{6})^2 - 11^2 = 6 - 121 = -115 $

Ответ: -115.