Номер 12, страница 363 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Число и вычисления. Задания для повторения - номер 12, страница 363.

12 Вычислите, не пользуясь калькулятором:

$\left(\frac{15}{\sqrt{6}+1} + \frac{4}{\sqrt{6}-2} - \frac{12}{3-\sqrt{6}}\right)\left(\sqrt{6}+11\right).$

Для решения данного примера необходимо сначала упростить выражение в скобках. Для этого избавимся от иррациональности в знаменателе каждой дроби, умножив её числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю выражение.

1. Упростим первое слагаемое:

Умножим числитель и знаменатель дроби $ \frac{15}{\sqrt{6} + 1} $ на $ (\sqrt{6} - 1) $. Используем формулу разности квадратов $ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $.

$ \frac{15}{\sqrt{6} + 1} = \frac{15(\sqrt{6} - 1)}{(\sqrt{6} + 1)(\sqrt{6} - 1)} = \frac{15(\sqrt{6} - 1)}{(\sqrt{6})^2 - 1^2} = \frac{15(\sqrt{6} - 1)}{6 - 1} = \frac{15(\sqrt{6} - 1)}{5} = 3(\sqrt{6} - 1) = 3\sqrt{6} - 3 $

2. Упростим второе слагаемое:

Умножим числитель и знаменатель дроби $ \frac{4}{\sqrt{6} - 2} $ на $ (\sqrt{6} + 2) $.

$ \frac{4}{\sqrt{6} - 2} = \frac{4(\sqrt{6} + 2)}{(\sqrt{6} - 2)(\sqrt{6} + 2)} = \frac{4(\sqrt{6} + 2)}{(\sqrt{6})^2 - 2^2} = \frac{4(\sqrt{6} + 2)}{6 - 4} = \frac{4(\sqrt{6} + 2)}{2} = 2(\sqrt{6} + 2) = 2\sqrt{6} + 4 $

3. Упростим третье слагаемое (вычитаемое):

Умножим числитель и знаменатель дроби $ \frac{12}{3 - \sqrt{6}} $ на $ (3 + \sqrt{6}) $.

$ \frac{12}{3 - \sqrt{6}} = \frac{12(3 + \sqrt{6})}{(3 - \sqrt{6})(3 + \sqrt{6})} = \frac{12(3 + \sqrt{6})}{3^2 - (\sqrt{6})^2} = \frac{12(3 + \sqrt{6})}{9 - 6} = \frac{12(3 + \sqrt{6})}{3} = 4(3 + \sqrt{6}) = 12 + 4\sqrt{6} $

4. Выполним действия в скобках:

Подставим полученные упрощенные выражения в исходные скобки:

$ (3\sqrt{6} - 3) + (2\sqrt{6} + 4) - (12 + 4\sqrt{6}) $

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$ 3\sqrt{6} - 3 + 2\sqrt{6} + 4 - 12 - 4\sqrt{6} = (3\sqrt{6} + 2\sqrt{6} - 4\sqrt{6}) + (-3 + 4 - 12) = \sqrt{6} - 11 $

5. Выполним финальное умножение:

Теперь умножим результат, полученный в скобках, на второй множитель $ (\sqrt{6} + 11) $.

$ (\sqrt{6} - 11)(\sqrt{6} + 11) $

Это снова формула разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $, где $ a = \sqrt{6} $ и $ b = 11 $.

$ (\sqrt{6})^2 - 11^2 = 6 - 121 = -115 $

Ответ: -115.