Номер 14, страница 364 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Число и вычисления. Задания для повторения - номер 14, страница 364.

14 Докажите, что число

$((\sqrt[4]{3} - \sqrt[4]{27})^2 + 7)((\sqrt[4]{3} + \sqrt[4]{27})^2 - 7)$

целое, и найдите это число.

Для решения данной задачи необходимо упростить данное выражение. Обозначим исходное выражение как $E$.

$E = ((\sqrt[4]{3} - \sqrt[4]{27})^2 + 7)((\sqrt[4]{3} + \sqrt[4]{27})^2 - 7)$

Введем замены для удобства вычислений: пусть $a = \sqrt[4]{3}$ и $b = \sqrt[4]{27}$. Тогда выражение примет вид:

$E = ((a - b)^2 + 7)((a + b)^2 - 7)$

Раскроем квадраты, используя формулы сокращенного умножения $(x \pm y)^2 = x^2 \pm 2xy + y^2$:

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Подставим раскрытые скобки обратно в выражение $E$:

$E = (a^2 - 2ab + b^2 + 7)(a^2 + 2ab + b^2 - 7)$

Теперь вычислим значения $a^2$, $b^2$ и $ab$:

$a^2 = (\sqrt[4]{3})^2 = \sqrt{3}$

$b^2 = (\sqrt[4]{27})^2 = \sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$

$ab = \sqrt[4]{3} \cdot \sqrt[4]{27} = \sqrt[4]{3 \cdot 27} = \sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4} = 3$

Подставим эти значения в множители выражения $E$.

Первый множитель:

$a^2 - 2ab + b^2 + 7 = \sqrt{3} - 2(3) + 3\sqrt{3} + 7 = (\sqrt{3} + 3\sqrt{3}) + (7 - 6) = 4\sqrt{3} + 1$

Второй множитель:

$a^2 + 2ab + b^2 - 7 = \sqrt{3} + 2(3) + 3\sqrt{3} - 7 = (\sqrt{3} + 3\sqrt{3}) + (6 - 7) = 4\sqrt{3} - 1$

Теперь перемножим полученные выражения:

$E = (4\sqrt{3} + 1)(4\sqrt{3} - 1)$

Это выражение соответствует формуле разности квадратов $(x + y)(x - y) = x^2 - y^2$, где $x = 4\sqrt{3}$ и $y = 1$.

$E = (4\sqrt{3})^2 - 1^2 = 4^2 \cdot (\sqrt{3})^2 - 1 = 16 \cdot 3 - 1 = 48 - 1 = 47$

В результате вычислений мы получили число 47. Поскольку 47 является целым числом, мы доказали, что исходное число — целое, и нашли его значение.

Ответ: 47