Номер 13, страница 364 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Число и вычисления. Задания для повторения - номер 13, страница 364.

13 Докажите равенство $\sqrt{3 + \sqrt{3} + \sqrt[3]{10 + 6\sqrt{3}}} = \sqrt{3} + 1$.

Для доказательства равенства преобразуем его левую часть, последовательно упрощая вложенные радикалы, начиная с самого внутреннего.

1. Упрощение кубического корня.

Рассмотрим выражение $\sqrt[3]{10 + 6\sqrt{3}}$. Попробуем представить подкоренное выражение $10 + 6\sqrt{3}$ в виде полного куба, используя формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$. Логично предположить, что искомое выражение будет иметь вид $(x+y\sqrt{3})$. Проверим простую комбинацию с $x=1$ и $y=1$:

$(1+\sqrt{3})^3 = 1^3 + 3 \cdot 1^2 \cdot \sqrt{3} + 3 \cdot 1 \cdot (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^3 = 1 + 3\sqrt{3} + 3 \cdot 3 + 3\sqrt{3} = 1 + 3\sqrt{3} + 9 + 3\sqrt{3} = 10 + 6\sqrt{3}$.

Так как $10 + 6\sqrt{3} = (1+\sqrt{3})^3$, то:

$\sqrt[3]{10 + 6\sqrt{3}} = \sqrt[3]{(1+\sqrt{3})^3} = 1+\sqrt{3}$.

2. Упрощение внешнего квадратного корня.

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$\sqrt{3 + \sqrt{3} + \sqrt[3]{10 + 6\sqrt{3}}} = \sqrt{3 + \sqrt{3} + (1+\sqrt{3})}$.

Сложим слагаемые под внешним корнем:

$\sqrt{3 + \sqrt{3} + 1 + \sqrt{3}} = \sqrt{4 + 2\sqrt{3}}$.

Далее, упростим выражение $\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}$, представив подкоренное выражение в виде полного квадрата по формуле $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.

$4 + 2\sqrt{3} = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{3}+1)^2$.

Следовательно,

$\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3}+1)^2}$.

Так как $\sqrt{a^2} = |a|$ и выражение $\sqrt{3}+1$ положительно, получаем:

$\sqrt{(\sqrt{3}+1)^2} = |\sqrt{3}+1| = \sqrt{3}+1$.

3. Заключение.

В результате преобразований левая часть исходного равенства была приведена к виду $\sqrt{3}+1$, что в точности совпадает с его правой частью. Таким образом, равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.