Номер 19, страница 364 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Упрощение выражений. Задания для повторения - номер 19, страница 364.

Упростите выражение (19—24):

19 a) $\frac{a^3 + b^3 + 3ab(a+b)}{(a+b)^3} \cdot 2$;

б) $\frac{(a^2 - ab + b^2)(a^2 + 2ab + b^2)(a+b)}{(a+b)^2 (a^3 + b^3)}$;

в) $\frac{(a - b)^3 + (b - c)^3 + (c - a)^3}{(a - b)(b - c)(c - a)}$;

г) $\frac{(x + y + z)^3 - x^3 - y^3 - z^3}{(x + y)(y + z)(x + z)} \cdot 9$;

д) $\frac{a^3 + b^3 + c^3 - 3abc}{a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac} - a - b - c - 1.$

а) Исходное выражение: $\frac{a^3 + b^3 + 3ab(a+b)}{(a+b)^3} \cdot 2$. Рассмотрим числитель дроби: $a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$. Это выражение является разложением куба суммы $(a+b)^3$. Вспомним формулу: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$, которую можно переписать как $(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$. Таким образом, исходное выражение можно переписать, заменив числитель на $(a+b)^3$: $\frac{(a+b)^3}{(a+b)^3} \cdot 2$. При условии, что $a+b \neq 0$, мы можем сократить дробь, так как числитель и знаменатель равны. Получаем $1 \cdot 2 = 2$.
Ответ: 2.

б) Исходное выражение: $\frac{(a^2 - ab + b^2)(a^2 + 2ab + b^2)(a+b)}{(a+b)^2(a^3 + b^3)}$. Для упрощения этого выражения воспользуемся формулами сокращенного умножения. Выражение $a^2 + 2ab + b^2$ в числителе — это полный квадрат суммы, то есть $(a+b)^2$. Выражение $a^3 + b^3$ в знаменателе — это сумма кубов, которая раскладывается на множители как $(a+b)(a^2 - ab + b^2)$. Подставим эти разложения в исходное выражение: $\frac{(a^2 - ab + b^2)(a+b)^2(a+b)}{(a+b)^2(a+b)(a^2 - ab + b^2)}$. Теперь мы видим, что в числителе и знаменателе есть одинаковые множители. Сократим их при условии, что они не равны нулю ($a+b \neq 0$ и $a^2 - ab + b^2 \neq 0$): Сокращаем $(a^2 - ab + b^2)$, $(a+b)^2$ и $(a+b)$. После сокращения всех множителей остается 1.
Ответ: 1.

в) Исходное выражение: $\frac{(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3}{(a-b)(b-c)(c-a)}$. Для удобства введем замену переменных: пусть $x = a-b$, $y = b-c$, $z = c-a$. Выражение примет вид $\frac{x^3 + y^3 + z^3}{xyz}$. Найдем сумму новых переменных: $x+y+z = (a-b) + (b-c) + (c-a) = a-b+b-c+c-a = 0$. Воспользуемся алгебраическим тождеством: если сумма трех чисел равна нулю ($x+y+z=0$), то сумма их кубов равна их утроенному произведению ($x^3+y^3+z^3 = 3xyz$). Подставим это тождество в числитель нашей дроби: $\frac{3xyz}{xyz}$. При условии, что $a \neq b$, $b \neq c$ и $c \neq a$ (то есть $x, y, z$ не равны нулю), мы можем сократить дробь на $xyz$. В результате получаем 3.
Ответ: 3.

г) Исходное выражение: $\frac{(x+y+z)^3 - x^3 - y^3 - z^3}{(x+y)(y+z)(x+z)} \cdot 9$. Рассмотрим числитель дроби: $(x+y+z)^3 - x^3 - y^3 - z^3$. Существует тождество, согласно которому это выражение равно $3(x+y)(y+z)(x+z)$. Докажем его, раскрыв скобки: $((x+y)+z)^3 - x^3 - y^3 - z^3 = (x+y)^3 + 3(x+y)^2z + 3(x+y)z^2 + z^3 - x^3 - y^3 - z^3$. $= (x^3+3x^2y+3xy^2+y^3) + 3(x+y)^2z + 3(x+y)z^2 - x^3 - y^3$. $= 3x^2y+3xy^2 + 3(x+y)^2z + 3(x+y)z^2 = 3xy(x+y) + 3z(x+y)^2 + 3z^2(x+y)$. Вынесем общий множитель $3(x+y)$: $= 3(x+y)[xy + z(x+y) + z^2] = 3(x+y)[xy + xz + yz + z^2]$. Сгруппируем слагаемые в квадратных скобках: $= 3(x+y)[x(y+z) + z(y+z)] = 3(x+y)(y+z)(x+z)$. Тождество доказано. Теперь подставим его в исходное выражение: $\frac{3(x+y)(y+z)(x+z)}{(x+y)(y+z)(x+z)} \cdot 9$. При условии, что знаменатель не равен нулю, сокращаем дробь. Остается $3 \cdot 9 = 27$.
Ответ: 27.

д) Исходное выражение: $\frac{a^3 + b^3 + c^3 - 3abc}{a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac} - a - b - c - 1$. Числитель дроби $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$ можно разложить на множители по известной формуле: $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)$. Подставим это разложение в исходную дробь: $\frac{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)}{a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac}$. При условии, что знаменатель $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac \neq 0$ (это верно, если не все $a, b, c$ равны между собой), мы можем сократить дробь на общий множитель. После сокращения от дроби остается выражение $a+b+c$. Теперь подставим этот результат в исходное выражение целиком: $(a+b+c) - a - b - c - 1$. Раскроем скобки и приведем подобные члены: $a - a + b - b + c - c - 1 = 0 + 0 + 0 - 1 = -1$.
Ответ: -1.