Номер 22, страница 365 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Упрощение выражений. Задания для повторения - номер 22, страница 365.

22 $\frac{x^3 - y^3}{(3x + y)^2 - 8x^2 - 5xy} + \frac{(x + y^2)(x^2 + y) - xy(xy + 1)}{x^2 - xy + y^2}.$

Чтобы упростить данное выражение, мы будем работать с каждой дробью по отдельности, а затем сложим полученные результаты.

Рассмотрим первую дробь: $$ \frac{x^3 - y^3}{(3x + y)^2 - 8x^2 - 5xy} $$

Сначала упростим знаменатель. Раскроем скобки по формуле квадрата суммы и приведем подобные слагаемые:

$$ (3x + y)^2 - 8x^2 - 5xy = (9x^2 + 6xy + y^2) - 8x^2 - 5xy = (9x^2 - 8x^2) + (6xy - 5xy) + y^2 = x^2 + xy + y^2 $$

Теперь воспользуемся формулой разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ для числителя:

$$ x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2) $$

Подставим упрощенные выражения обратно в первую дробь и сократим ее:

$$ \frac{(x - y)(x^2 + xy + y^2)}{x^2 + xy + y^2} = x - y $$

Теперь рассмотрим вторую дробь:

$$ \frac{(x + y^2)(x^2 + y) - xy(xy + 1)}{x^2 - xy + y^2} $$

Упростим числитель. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$$ (x + y^2)(x^2 + y) - xy(xy + 1) = (x^3 + xy + x^2y^2 + y^3) - (x^2y^2 + xy) = x^3 + xy + x^2y^2 + y^3 - x^2y^2 - xy = x^3 + y^3 $$

Воспользуемся формулой суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ для полученного числителя:

$$ x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) $$

Подставим упрощенный числитель обратно во вторую дробь и сократим ее:

$$ \frac{(x + y)(x^2 - xy + y^2)}{x^2 - xy + y^2} = x + y $$

Наконец, сложим результаты упрощения обеих дробей:

$$ (x - y) + (x + y) = x - y + x + y = 2x $$

Ответ: $2x$