Номер 23, страница 365 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Упрощение выражений. Задания для повторения - номер 23, страница 365.

$23 \left(\frac{2}{2a-b} + \frac{6b}{b^2-4a^2} - \frac{4}{2a+b}\right) : \left(1 + \frac{4a^2+b^2}{4a^2-b^2}\right)$

Для решения данного примера выполним его по действиям.

1. Упрощение выражения в первых скобках

Рассмотрим выражение $ \left(\frac{2}{2a - b} + \frac{6b}{b^2 - 4a^2} - \frac{4}{2a + b}\right) $.
Для приведения дробей к общему знаменателю, разложим знаменатель второй дроби $ b^2 - 4a^2 $ на множители по формуле разности квадратов: $ b^2 - 4a^2 = (b-2a)(b+2a) $.
Так как $ b-2a = -(2a-b) $, то знаменатель можно переписать в виде $ -(2a-b)(2a+b) $. Это позволяет изменить знак перед второй дробью:
$ \frac{2}{2a - b} - \frac{6b}{(2a - b)(2a + b)} - \frac{4}{2a + b} $
Теперь приведем все дроби к общему знаменателю $ (2a - b)(2a + b) = 4a^2 - b^2 $:
$ \frac{2(2a+b)}{(2a-b)(2a+b)} - \frac{6b}{(2a-b)(2a+b)} - \frac{4(2a-b)}{(2a-b)(2a+b)} $
Запишем все под общим знаменателем и раскроем скобки в числителе:
$ \frac{2(2a+b) - 6b - 4(2a-b)}{4a^2-b^2} = \frac{4a+2b-6b-8a+4b}{4a^2-b^2} $
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$ \frac{(4a-8a) + (2b-6b+4b)}{4a^2-b^2} = \frac{-4a}{4a^2-b^2} $.

2. Упрощение выражения во вторых скобках

Рассмотрим выражение $ \left(1 + \frac{4a^2 + b^2}{4a^2 - b^2}\right) $.
Приведем 1 к общему знаменателю $ 4a^2 - b^2 $ и выполним сложение:
$ \frac{4a^2-b^2}{4a^2-b^2} + \frac{4a^2+b^2}{4a^2-b^2} = \frac{4a^2-b^2+4a^2+b^2}{4a^2-b^2} = \frac{8a^2}{4a^2-b^2} $.

3. Выполнение деления

Теперь разделим результат первого действия на результат второго:
$ \left(\frac{-4a}{4a^2 - b^2}\right) : \left(\frac{8a^2}{4a^2 - b^2}\right) $
Деление на дробь заменяется умножением на обратную (перевернутую) дробь:
$ \frac{-4a}{4a^2 - b^2} \cdot \frac{4a^2 - b^2}{8a^2} $
Сократим общий множитель $ (4a^2 - b^2) $ в числителе и знаменателе:
$ \frac{-4a}{8a^2} $
Сократим оставшуюся дробь на $ 4a $:
$ -\frac{1}{2a} $.

Ответ: $ -\frac{1}{2a} $