Номер 30, страница 366 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Упрощение выражений. Задания для повторения - номер 30, страница 366.

30 a) $\left(\frac{8a\sqrt{a} + b\sqrt{b}}{4\sqrt{a} + 2\sqrt{b}} - \sqrt{ab}\right) \cdot \left(\frac{4\sqrt{a} + 2\sqrt{b}}{4a - b}\right)^2;$

б) $\left(\frac{\sqrt{2a} - \sqrt{b}}{\sqrt{2a} + \sqrt{b}} - \frac{\sqrt{2a} + \sqrt{b}}{\sqrt{2a} - \sqrt{b}}\right) \cdot \left(\sqrt{\frac{b}{4a}} - \sqrt{\frac{a}{b}}\right);$

в) $\left(\sqrt{\frac{9y}{x}} - \sqrt{\frac{x}{y}}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{x} + \sqrt{3y}}{\sqrt{x} - \sqrt{3y}} - \frac{\sqrt{x} - \sqrt{3y}}{\sqrt{x} + \sqrt{3y}}\right);$

г) $\frac{\sqrt{x} + 1}{x\sqrt{x} + x + \sqrt{x}} : \frac{1}{\sqrt{x} - x^2} + x;$

д) $\frac{0,001 - 64b^3}{0,01 + 0,4b + 16b^2} + 4b.$

а)

Рассмотрим выражение: $ \left( \frac{8a\sqrt{a} + b\sqrt{b}}{4\sqrt{a} + 2\sqrt{b}} - \sqrt{ab} \right) \cdot \left( \frac{4\sqrt{a} + 2\sqrt{b}}{4a - b} \right)^2 $.

1. Упростим выражение в первых скобках. Числитель $8a\sqrt{a} + b\sqrt{b}$ является суммой кубов, так как $8a\sqrt{a} = (2\sqrt{a})^3$ и $b\sqrt{b} = (\sqrt{b})^3$. Используем формулу суммы кубов $x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$:
$8a\sqrt{a} + b\sqrt{b} = (2\sqrt{a})^3 + (\sqrt{b})^3 = (2\sqrt{a} + \sqrt{b})( (2\sqrt{a})^2 - 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 ) = (2\sqrt{a} + \sqrt{b})(4a - 2\sqrt{ab} + b)$.

Знаменатель первой дроби: $4\sqrt{a} + 2\sqrt{b} = 2(2\sqrt{a} + \sqrt{b})$.
Теперь упростим первую дробь:
$ \frac{8a\sqrt{a} + b\sqrt{b}}{4\sqrt{a} + 2\sqrt{b}} = \frac{(2\sqrt{a} + \sqrt{b})(4a - 2\sqrt{ab} + b)}{2(2\sqrt{a} + \sqrt{b})} = \frac{4a - 2\sqrt{ab} + b}{2} $.

Вычтем $\sqrt{ab}$ из полученного выражения:
$ \frac{4a - 2\sqrt{ab} + b}{2} - \sqrt{ab} = \frac{4a - 2\sqrt{ab} + b - 2\sqrt{ab}}{2} = \frac{4a - 4\sqrt{ab} + b}{2} $.

2. Упростим выражение во вторых скобках. Знаменатель $4a-b$ является разностью квадратов: $4a - b = (2\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2 = (2\sqrt{a}-\sqrt{b})(2\sqrt{a}+\sqrt{b})$.
Дробь во вторых скобках:
$ \frac{4\sqrt{a} + 2\sqrt{b}}{4a - b} = \frac{2(2\sqrt{a} + \sqrt{b})}{(2\sqrt{a}-\sqrt{b})(2\sqrt{a}+\sqrt{b})} = \frac{2}{2\sqrt{a}-\sqrt{b}} $.

Возведем в квадрат:
$ \left( \frac{2}{2\sqrt{a}-\sqrt{b}} \right)^2 = \frac{4}{(2\sqrt{a}-\sqrt{b})^2} = \frac{4}{4a-4\sqrt{ab}+b} $.

3. Перемножим результаты шагов 1 и 2:
$ \left( \frac{4a - 4\sqrt{ab} + b}{2} \right) \cdot \left( \frac{4}{4a-4\sqrt{ab}+b} \right) = \frac{4}{2} = 2 $.

Ответ: $2$

б)

Рассмотрим выражение: $ \left( \frac{\sqrt{2a}-\sqrt{b}}{\sqrt{2a}+\sqrt{b}} - \frac{\sqrt{2a}+\sqrt{b}}{\sqrt{2a}-\sqrt{b}} \right) \cdot \left( \sqrt{\frac{b}{4a}} - \sqrt{\frac{a}{b}} \right) $.

1. Упростим выражение в первых скобках. Приведем дроби к общему знаменателю $(\sqrt{2a}+\sqrt{b})(\sqrt{2a}-\sqrt{b}) = (2a-b)$:
$ \frac{(\sqrt{2a}-\sqrt{b})^2 - (\sqrt{2a}+\sqrt{b})^2}{2a-b} $.

Используем формулу разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$ для числителя:
$ (\sqrt{2a}-\sqrt{b} - (\sqrt{2a}+\sqrt{b}))(\sqrt{2a}-\sqrt{b} + \sqrt{2a}+\sqrt{b}) = (-2\sqrt{b})(2\sqrt{2a}) = -4\sqrt{2ab} $.
Таким образом, выражение в первых скобках равно $ \frac{-4\sqrt{2ab}}{2a-b} $.

2. Упростим выражение во вторых скобках:
$ \sqrt{\frac{b}{4a}} - \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{4a}} - \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{b}}{2\sqrt{a}} - \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $.
Приведем к общему знаменателю $2\sqrt{ab}$:
$ \frac{(\sqrt{b})^2 - 2(\sqrt{a})^2}{2\sqrt{ab}} = \frac{b-2a}{2\sqrt{ab}} = \frac{-(2a-b)}{2\sqrt{ab}} $.

3. Перемножим полученные выражения:
$ \left( \frac{-4\sqrt{2ab}}{2a-b} \right) \cdot \left( \frac{-(2a-b)}{2\sqrt{ab}} \right) = \frac{(-4\sqrt{2ab}) \cdot (-(2a-b))}{(2a-b) \cdot (2\sqrt{ab})} = \frac{4\sqrt{2ab}}{2\sqrt{ab}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} $.

Ответ: $2\sqrt{2}$

в)

Рассмотрим выражение: $ \left( \sqrt{\frac{9y}{x}} - \sqrt{\frac{x}{y}} \right) \cdot \left( \frac{\sqrt{x}+\sqrt{3y}}{\sqrt{x}-\sqrt{3y}} - \frac{\sqrt{x}-\sqrt{3y}}{\sqrt{x}+\sqrt{3y}} \right) $.

1. Упростим выражение в первых скобках:
$ \sqrt{\frac{9y}{x}} - \sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{3\sqrt{y}}{\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} $.
Приведем к общему знаменателю $\sqrt{xy}$:
$ \frac{3(\sqrt{y})^2 - (\sqrt{x})^2}{\sqrt{xy}} = \frac{3y-x}{\sqrt{xy}} $.

2. Упростим выражение во вторых скобках. Приведем дроби к общему знаменателю $(\sqrt{x}-\sqrt{3y})(\sqrt{x}+\sqrt{3y}) = x-3y$:
$ \frac{(\sqrt{x}+\sqrt{3y})^2 - (\sqrt{x}-\sqrt{3y})^2}{x-3y} $.

Используем формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ для числителя:
$ ((\sqrt{x}+\sqrt{3y}) + (\sqrt{x}-\sqrt{3y})) \cdot ((\sqrt{x}+\sqrt{3y}) - (\sqrt{x}-\sqrt{3y})) = (2\sqrt{x})(2\sqrt{3y}) = 4\sqrt{3xy} $.
Таким образом, выражение во вторых скобках равно $ \frac{4\sqrt{3xy}}{x-3y} $.

3. Перемножим полученные выражения:
$ \left( \frac{3y-x}{\sqrt{xy}} \right) \cdot \left( \frac{4\sqrt{3xy}}{x-3y} \right) = \left( \frac{-(x-3y)}{\sqrt{xy}} \right) \cdot \left( \frac{4\sqrt{3}\sqrt{xy}}{x-3y} \right) $.
Сокращаем $(x-3y)$ и $\sqrt{xy}$:
$ -1 \cdot 4\sqrt{3} = -4\sqrt{3} $.

Ответ: $-4\sqrt{3}$

г)

Рассмотрим выражение: $ \frac{\sqrt{x}+1}{x\sqrt{x}+x+\sqrt{x}} : \frac{1}{\sqrt{x}-x^2} + x $.

1. Упростим делимое. Вынесем в знаменателе $\sqrt{x}$ за скобки:
$ \frac{\sqrt{x}+1}{x\sqrt{x}+x+\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}(x+\sqrt{x}+1)} $.

2. Упростим делитель и выполним деление. Заменим деление на умножение на обратную дробь $ \frac{\sqrt{x}-x^2}{1} $.
В выражении $\sqrt{x}-x^2$ вынесем $\sqrt{x}$ за скобки:
$ \sqrt{x}-x^2 = \sqrt{x}(1-x\sqrt{x}) = \sqrt{x}(1-(\sqrt{x})^3) $.
Используем формулу разности кубов $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$:
$ 1-(\sqrt{x})^3 = (1-\sqrt{x})(1+\sqrt{x}+x) $.
Таким образом, $ \sqrt{x}-x^2 = \sqrt{x}(1-\sqrt{x})(x+\sqrt{x}+1) $.

3. Выполним деление:
$ \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}(x+\sqrt{x}+1)} \cdot \frac{\sqrt{x}(1-\sqrt{x})(x+\sqrt{x}+1)}{1} $.
Сокращаем одинаковые множители $\sqrt{x}$ и $(x+\sqrt{x}+1)$:
$ (\sqrt{x}+1)(1-\sqrt{x}) $.
Это разность квадратов: $(1+\sqrt{x})(1-\sqrt{x}) = 1^2 - (\sqrt{x})^2 = 1-x $.

4. Добавим оставшийся член $+x$:
$ (1-x) + x = 1 $.

Ответ: $1$

д)

Рассмотрим выражение: $ \frac{0,001 - 64b^3}{0,01 + 0,4b + 16b^2} + 4b $.

1. Упростим дробь. Числитель $0,001 - 64b^3$ является разностью кубов, так как $0,001 = (0,1)^3$ и $64b^3 = (4b)^3$.

Используем формулу разности кубов $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:
$ (0,1)^3 - (4b)^3 = (0,1 - 4b)((0,1)^2 + 0,1 \cdot 4b + (4b)^2) = (0,1 - 4b)(0,01 + 0,4b + 16b^2) $.

2. Подставим разложенный числитель в дробь и сократим:
$ \frac{(0,1 - 4b)(0,01 + 0,4b + 16b^2)}{0,01 + 0,4b + 16b^2} = 0,1 - 4b $.

3. Добавим оставшийся член $+4b$:
$ (0,1 - 4b) + 4b = 0,1 $.

Ответ: $0,1$