Номер 35, страница 367 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Линейные и квадратные уравнения. Задания для повторения - номер 35, страница 367.

Решите уравнение (35—37):

35

a) $(x - 4) : \frac{7}{8} = \frac{5}{4} (x - 7);$

б) $2x^2 - x - 1 = 0;$

в) $2x^2 - 5x - 3 = 0;$

г) $2 (1 - 1,5x) + 2 (x - 2)^2 = 1;$

д) $(x - 2) (1 - x) = x (4 - x).$

а) Исходное уравнение: $(x - 4) : \frac{7}{8} = \frac{5}{4}(x - 7)$.
Заменим деление на дробь умножением на обратную ей дробь: $(x - 4) \cdot \frac{8}{7} = \frac{5}{4}(x - 7)$.
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 7 и 4, то есть на 28:
$28 \cdot \frac{8}{7}(x - 4) = 28 \cdot \frac{5}{4}(x - 7)$
$4 \cdot 8(x - 4) = 7 \cdot 5(x - 7)$
$32(x - 4) = 35(x - 7)$
Раскроем скобки:
$32x - 128 = 35x - 245$
Сгруппируем слагаемые с переменной в одной части уравнения, а свободные члены — в другой:
$245 - 128 = 35x - 32x$
$117 = 3x$
Найдем $x$:
$x = \frac{117}{3}$
$x = 39$
Ответ: $39$.

б) Дано квадратное уравнение $2x^2 - x - 1 = 0$.
Это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=2$, $b=-1$, $c=-1$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 3}{4} = \frac{4}{4} = 1$
$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 3}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$
Ответ: $1; -0.5$.

в) Дано квадратное уравнение $2x^2 - 5x - 3 = 0$.
Это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=2$, $b=-5$, $c=-3$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3$
$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 7}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$
Ответ: $3; -0.5$.

г) Исходное уравнение: $2(1 - 1.5x) + 2(x - 2)^2 = 1$.
Раскроем скобки. Сначала возведем в квадрат выражение $(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4$.
$2 - 3x + 2(x^2 - 4x + 4) = 1$
$2 - 3x + 2x^2 - 8x + 8 = 1$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$2x^2 + (-3x - 8x) + (2 + 8) = 1$
$2x^2 - 11x + 10 = 1$
Перенесем 1 в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$2x^2 - 11x + 9 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9 = 121 - 72 = 49$.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-(-11) + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{11 + 7}{4} = \frac{18}{4} = 4.5$
$x_2 = \frac{-(-11) - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{11 - 7}{4} = \frac{4}{4} = 1$
Ответ: $4.5; 1$.

д) Исходное уравнение: $(x - 2)(1 - x) = x(4 - x)$.
Раскроем скобки в обеих частях уравнения.
Левая часть: $(x - 2)(1 - x) = x - x^2 - 2 + 2x = -x^2 + 3x - 2$.
Правая часть: $x(4 - x) = 4x - x^2$.
Приравняем левую и правую части:
$-x^2 + 3x - 2 = 4x - x^2$
Прибавим $x^2$ к обеим частям уравнения, слагаемые с $x^2$ взаимно уничтожатся:
$3x - 2 = 4x$
Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону:
$-2 = 4x - 3x$
$-2 = x$
Ответ: $-2$.