Номер 37, страница 367 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Линейные и квадратные уравнения. Задания для повторения - номер 37, страница 367.

37 a) $3|x + 2| + x^2 + 6x + 2 = 0;$

б) $3|x + 1| + x^2 + 4x - 3 = 0;$

В) $(x - 7)^2 - |x - 7| = 30;$

г) $|x^2 + 3x| = 2(x + 1).$

а) $3|x+2| + x^2 + 6x + 2 = 0$

Для решения уравнения с модулем рассмотрим два случая, в зависимости от знака выражения под модулем.

1. Пусть $x+2 \ge 0$, что эквивалентно $x \ge -2$. В этом случае $|x+2| = x+2$. Уравнение принимает вид:
$3(x+2) + x^2 + 6x + 2 = 0$
$3x + 6 + x^2 + 6x + 2 = 0$
$x^2 + 9x + 8 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-9$, а произведение равно $8$. Корни: $x_1 = -1$, $x_2 = -8$.
Проверим, удовлетворяют ли корни условию $x \ge -2$.
Корень $x_1 = -1$ удовлетворяет условию, так как $-1 \ge -2$.
Корень $x_2 = -8$ не удовлетворяет условию, так как $-8 < -2$.

2. Пусть $x+2 < 0$, что эквивалентно $x < -2$. В этом случае $|x+2| = -(x+2)$. Уравнение принимает вид:
$3(-(x+2)) + x^2 + 6x + 2 = 0$
$-3x - 6 + x^2 + 6x + 2 = 0$
$x^2 + 3x - 4 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-3$, а произведение равно $-4$. Корни: $x_3 = -4$, $x_4 = 1$.
Проверим, удовлетворяют ли корни условию $x < -2$.
Корень $x_3 = -4$ удовлетворяет условию, так как $-4 < -2$.
Корень $x_4 = 1$ не удовлетворяет условию, так как $1 > -2$.

Объединяя результаты из обоих случаев, получаем решения исходного уравнения: $x = -1$ и $x = -4$.
Ответ: $x = -4; -1$.

б) $3|x+1| + x^2 + 4x - 3 = 0$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

1. Если $x+1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$, тогда $|x+1| = x+1$. Уравнение принимает вид:
$3(x+1) + x^2 + 4x - 3 = 0$
$3x + 3 + x^2 + 4x - 3 = 0$
$x^2 + 7x = 0$
$x(x+7) = 0$
Отсюда $x_1 = 0$ или $x_2 = -7$.
Проверяем условие $x \ge -1$.
$x_1 = 0$ удовлетворяет условию ($0 \ge -1$).
$x_2 = -7$ не удовлетворяет условию ($-7 < -1$).

2. Если $x+1 < 0$, то есть $x < -1$, тогда $|x+1| = -(x+1)$. Уравнение принимает вид:
$3(-(x+1)) + x^2 + 4x - 3 = 0$
$-3x - 3 + x^2 + 4x - 3 = 0$
$x^2 + x - 6 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а произведение равно $-6$. Корни: $x_3 = -3$, $x_4 = 2$.
Проверяем условие $x < -1$.
$x_3 = -3$ удовлетворяет условию ($-3 < -1$).
$x_4 = 2$ не удовлетворяет условию ($2 > -1$).

Объединяя подходящие корни из обоих случаев, получаем решения: $x = 0$ и $x = -3$.
Ответ: $x = -3; 0$.

в) $(x-7)^2 - |x-7| = 30$

Воспользуемся свойством $a^2 = |a|^2$. Тогда $(x-7)^2 = |x-7|^2$. Уравнение можно переписать в виде:
$|x-7|^2 - |x-7| - 30 = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $y = |x-7|$. Поскольку модуль — неотрицательная величина, $y \ge 0$.
Получаем квадратное уравнение относительно $y$:
$y^2 - y - 30 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна $1$, произведение равно $-30$. Корни: $y_1 = 6$, $y_2 = -5$.
Проверяем условие $y \ge 0$.
$y_1 = 6$ удовлетворяет условию.
$y_2 = -5$ не удовлетворяет условию, поэтому этот корень является посторонним.
Выполняем обратную замену для $y = 6$:
$|x-7| = 6$
Это уравнение распадается на два:
1) $x-7 = 6 \implies x = 13$
2) $x-7 = -6 \implies x = 1$
Оба корня являются решениями исходного уравнения.
Ответ: $x = 1; 13$.

г) $|x^2+3x| = 2(x+1)$

Значение модуля всегда неотрицательно, поэтому правая часть уравнения также должна быть неотрицательной. Это дает нам область допустимых значений (ОДЗ):
$2(x+1) \ge 0$
$x+1 \ge 0$
$x \ge -1$
При выполнении этого условия, исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений.

1. $x^2+3x = 2(x+1)$
$x^2+3x = 2x+2$
$x^2+x-2 = 0$
По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.
Проверяем корни на соответствие ОДЗ ($x \ge -1$):
$x_1=1$ удовлетворяет условию ($1 \ge -1$).
$x_2=-2$ не удовлетворяет условию ($-2 < -1$).

2. $x^2+3x = -2(x+1)$
$x^2+3x = -2x-2$
$x^2+5x+2 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 25 - 8 = 17$
Корни: $x = \frac{-5 \pm \sqrt{17}}{2}$.
$x_3 = \frac{-5 + \sqrt{17}}{2}$ и $x_4 = \frac{-5 - \sqrt{17}}{2}$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge -1$):
Для $x_3$: так как $4 < \sqrt{17} < 5$, то $-5+4 < -5+\sqrt{17} < -5+5$, то есть $-1 < -5+\sqrt{17} < 0$. Следовательно, $-0.5 < \frac{-5+\sqrt{17}}{2} < 0$. Этот корень удовлетворяет условию $x \ge -1$.
Для $x_4$: так как $\sqrt{17} > 4$, то $-5-\sqrt{17} < -9$, и $\frac{-5-\sqrt{17}}{2} < -4.5$. Этот корень не удовлетворяет ОДЗ.

Итак, решениями уравнения являются $x=1$ и $x=\frac{-5 + \sqrt{17}}{2}$.
Ответ: $x = 1; \frac{-5 + \sqrt{17}}{2}$.