Номер 36, страница 367 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Линейные и квадратные уравнения. Задания для повторения - номер 36, страница 367.

36 a) $ |x| = 4 - x; $

б) $ |x| = 2 - x; $

в) $ 2|x + 1| = 2 - x; $

г) $ |x - 1| + |2x - 3| = 2; $

д) $ |2x - 15| = 22 - |2x + 7|; $

е) $ |2x + 8| - |x - 5| = 12; $

ж) $ |2x + 9| - |x - 6| = 15. $

а)

Данное уравнение имеет вид $|A| = B$. Оно равносильно системе, в которой правая часть должна быть неотрицательной ($B \ge 0$), и подмодульное выражение равно либо $B$, либо $-B$.

1. Наложим условие на правую часть: $4 - x \ge 0$, откуда получаем $x \le 4$.

2. Раскроем модуль, рассмотрев два случая, учитывая это условие:

- $x = 4 - x \implies 2x = 4 \implies x = 2$. Этот корень удовлетворяет условию $x \le 4$, поэтому является решением.

- $x = -(4 - x) \implies x = -4 + x \implies 0 = -4$. Это неверное равенство, значит, в этом случае решений нет.

Таким образом, уравнение имеет единственное решение.

Ответ: 2.

б)

Это уравнение решается аналогично предыдущему по схеме $|A| = B$.

1. Условие неотрицательности правой части: $2 - x \ge 0$, что дает $x \le 2$.

2. Раскрываем модуль:

- $x = 2 - x \implies 2x = 2 \implies x = 1$. Корень $x = 1$ удовлетворяет условию $x \le 2$.

- $x = -(2 - x) \implies x = -2 + x \implies 0 = -2$. Неверное равенство, решений нет.

Единственное решение - это $x=1$.

Ответ: 1.

в)

Уравнение вида $k|A| = B$. Сначала убедимся, что правая часть неотрицательна.

1. Условие: $2 - x \ge 0 \implies x \le 2$.

2. Раскрываем модуль на два случая:

- $2(x + 1) = 2 - x \implies 2x + 2 = 2 - x \implies 3x = 0 \implies x = 0$. Корень $x = 0$ удовлетворяет условию $x \le 2$.

- $2(-(x + 1)) = 2 - x \implies -2x - 2 = 2 - x \implies -x = 4 \implies x = -4$. Корень $x = -4$ также удовлетворяет условию $x \le 2$.

Уравнение имеет два корня.

Ответ: -4; 0.

г)

Для решения этого уравнения используем метод интервалов. Найдем точки, в которых выражения под модулем обращаются в ноль: $x - 1 = 0 \implies x = 1$ и $2x - 3 = 0 \implies x = 1.5$. Эти точки разбивают числовую ось на три интервала.

1. Интервал $x < 1$. На этом интервале $x - 1 < 0$ и $2x - 3 < 0$. Уравнение принимает вид: $-(x - 1) - (2x - 3) = 2 \implies -x + 1 - 2x + 3 = 2 \implies -3x + 4 = 2 \implies -3x = -2 \implies x = \frac{2}{3}$. Значение $x = \frac{2}{3}$ принадлежит рассматриваемому интервалу ($ \frac{2}{3} < 1 $), следовательно, это корень.

2. Интервал $1 \le x < 1.5$. Здесь $x - 1 \ge 0$ и $2x - 3 < 0$. Уравнение принимает вид: $(x - 1) - (2x - 3) = 2 \implies x - 1 - 2x + 3 = 2 \implies -x + 2 = 2 \implies -x = 0 \implies x = 0$. Значение $x = 0$ не принадлежит рассматриваемому интервалу, следовательно, здесь решений нет.

3. Интервал $x \ge 1.5$. Здесь $x - 1 > 0$ и $2x - 3 \ge 0$. Уравнение принимает вид: $(x - 1) + (2x - 3) = 2 \implies 3x - 4 = 2 \implies 3x = 6 \implies x = 2$. Значение $x = 2$ принадлежит рассматриваемому интервалу ($2 \ge 1.5$), следовательно, это корень.

Ответ: $\frac{2}{3}$; 2.

д)

Перенесем второй модуль в левую часть: $|2x - 15| + |2x + 7| = 22$. Решим методом интервалов. Нули подмодульных выражений: $2x - 15 = 0 \implies x = 7.5$ и $2x + 7 = 0 \implies x = -3.5$.

1. Интервал $x < -3.5$. Оба выражения под модулем отрицательны. $-(2x - 15) - (2x + 7) = 22 \implies -2x + 15 - 2x - 7 = 22 \implies -4x + 8 = 22 \implies -4x = 14 \implies x = -3.5$. Это значение не входит в интервал $x < -3.5$.

2. Интервал $-3.5 \le x < 7.5$. Здесь $2x - 15 < 0$ и $2x + 7 \ge 0$. $-(2x - 15) + (2x + 7) = 22 \implies -2x + 15 + 2x + 7 = 22 \implies 22 = 22$. Это верное равенство для любого $x$ из данного интервала. Следовательно, весь интервал $[-3.5, 7.5)$ является решением.

3. Интервал $x \ge 7.5$. Оба выражения под модулем неотрицательны. $(2x - 15) + (2x + 7) = 22 \implies 4x - 8 = 22 \implies 4x = 30 \implies x = 7.5$. Значение $x = 7.5$ принадлежит рассматриваемому интервалу.

Объединяя решения, получаем, что решением является отрезок $[-3.5, 7.5]$.

Ответ: $[-3.5, 7.5]$.

е)

Решаем методом интервалов. Нули подмодульных выражений: $2x + 8 = 0 \implies x = -4$ и $x - 5 = 0 \implies x = 5$.

1. Интервал $x < -4$. Здесь $2x + 8 < 0$ и $x - 5 < 0$. $-(2x + 8) - (-(x - 5)) = 12 \implies -2x - 8 + x - 5 = 12 \implies -x - 13 = 12 \implies -x = 25 \implies x = -25$. Значение $x = -25$ принадлежит интервалу, значит, это корень.

2. Интервал $-4 \le x < 5$. Здесь $2x + 8 \ge 0$ и $x - 5 < 0$. $(2x + 8) - (-(x - 5)) = 12 \implies 2x + 8 + x - 5 = 12 \implies 3x + 3 = 12 \implies 3x = 9 \implies x = 3$. Значение $x = 3$ принадлежит интервалу, значит, это корень.

3. Интервал $x \ge 5$. Здесь $2x + 8 > 0$ и $x - 5 \ge 0$. $(2x + 8) - (x - 5) = 12 \implies 2x + 8 - x + 5 = 12 \implies x + 13 = 12 \implies x = -1$. Значение $x = -1$ не принадлежит интервалу.

Ответ: -25; 3.

ж)

Решаем методом интервалов. Нули подмодульных выражений: $2x + 9 = 0 \implies x = -4.5$ и $x - 6 = 0 \implies x = 6$.

1. Интервал $x < -4.5$. Здесь $2x + 9 < 0$ и $x - 6 < 0$. $-(2x + 9) - (-(x - 6)) = 15 \implies -2x - 9 + x - 6 = 15 \implies -x - 15 = 15 \implies -x = 30 \implies x = -30$. Значение $x = -30$ принадлежит интервалу, значит, это корень.

2. Интервал $-4.5 \le x < 6$. Здесь $2x + 9 \ge 0$ и $x - 6 < 0$. $(2x + 9) - (-(x - 6)) = 15 \implies 2x + 9 + x - 6 = 15 \implies 3x + 3 = 15 \implies 3x = 12 \implies x = 4$. Значение $x = 4$ принадлежит интервалу, значит, это корень.

3. Интервал $x \ge 6$. Здесь $2x + 9 > 0$ и $x - 6 \ge 0$. $(2x + 9) - (x - 6) = 15 \implies 2x + 9 - x + 6 = 15 \implies x + 15 = 15 \implies x = 0$. Значение $x = 0$ не принадлежит интервалу.

Ответ: -30; 4.