Номер 38, страница 367 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Линейные и квадратные уравнения. Задания для повторения - номер 38, страница 367.

38 Найдите произведение корней уравнения:

a) $4x^2 + x - 3 = 0$;

б) $5x^2 - 8x - 4 = 0$.

Для нахождения произведения корней квадратного уравнения используется теорема Виета. Для уравнения общего вида $ax^2 + bx + c = 0$, имеющего корни $x_1$ и $x_2$, произведение корней равно $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$. Это справедливо, если уравнение имеет действительные корни, то есть его дискриминант $D = b^2 - 4ac \ge 0$.

а) $4x^2 + x - 3 = 0$

В этом уравнении коэффициенты равны: $a = 4$, $b = 1$, $c = -3$.

Сначала проверим, существуют ли у уравнения действительные корни, вычислив дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49$.

Так как $D = 49 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, и мы можем применить теорему Виета.

Произведение корней равно:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-3}{4}$.

Ответ: $-\frac{3}{4}$

б) $5x^2 - 8x - 4 = 0$

В этом уравнении коэффициенты равны: $a = 5$, $b = -8$, $c = -4$.

Проверим дискриминант, чтобы убедиться в наличии действительных корней:

$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 64 + 80 = 144$.

Так как $D = 144 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Теперь найдем произведение корней по теореме Виета:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-4}{5}$.

Ответ: $-\frac{4}{5}$