Номер 28, страница 366 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Упрощение выражений. Задания для повторения - номер 28, страница 366.

28 $\left(1 + 2a^{\frac{2}{3}} - \frac{a + \sqrt[3]{a^2}}{1 + a^{\frac{1}{3}}}\right) : \frac{1 - a\sqrt[3]{a}}{1 - a^{\frac{2}{3}}}.$

Для решения данной задачи упростим заданное выражение по действиям. Сначала преобразуем все иррациональные выражения в степени с дробными показателями для удобства вычислений.

Исходное выражение:

$$ \left( 1 + 2a^{\frac{2}{3}} - \frac{a + \sqrt[3]{a^2}}{1 + a^{\frac{1}{3}}} \right) : \frac{1 - a\sqrt[3]{a}}{1 - a^{\frac{2}{3}}} $$

Преобразуем корни в степени: $ \sqrt[3]{a^2} = a^{\frac{2}{3}} $, $ \sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}} $, $ a\sqrt[3]{a} = a^1 \cdot a^{\frac{1}{3}} = a^{1+\frac{1}{3}} = a^{\frac{4}{3}} $.

Выражение принимает вид:

$$ \left( 1 + 2a^{\frac{2}{3}} - \frac{a + a^{\frac{2}{3}}}{1 + a^{\frac{1}{3}}} \right) : \frac{1 - a^{\frac{4}{3}}}{1 - a^{\frac{2}{3}}} $$

Теперь решим по действиям.

1. Упрощение выражения в скобках

Рассмотрим выражение в скобках: $ 1 + 2a^{\frac{2}{3}} - \frac{a + a^{\frac{2}{3}}}{1 + a^{\frac{1}{3}}} $.

Сначала упростим дробную часть. Вынесем в числителе дроби общий множитель $ a^{\frac{2}{3}} $ за скобки:

$$ a + a^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}} \cdot a^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{2}{3}} \cdot 1 = a^{\frac{2}{3}}(a^{\frac{1}{3}} + 1) $$

Теперь подставим это выражение обратно в дробь и сократим ее:

$$ \frac{a^{\frac{2}{3}}(1 + a^{\frac{1}{3}})}{1 + a^{\frac{1}{3}}} = a^{\frac{2}{3}} $$

Данное сокращение возможно при условии, что знаменатель $ 1 + a^{\frac{1}{3}} \neq 0 $, то есть $ a \neq -1 $.

Теперь подставим упрощенный результат в выражение в скобках:

$$ 1 + 2a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{2}{3}} = 1 + a^{\frac{2}{3}} $$

2. Упрощение делителя

Рассмотрим делитель: $ \frac{1 - a^{\frac{4}{3}}}{1 - a^{\frac{2}{3}}} $.

Числитель $ 1 - a^{\frac{4}{3}} $ можно разложить на множители, используя формулу разности квадратов $ x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) $, где $ x=1 $ и $ y=a^{\frac{2}{3}} $, так как $ a^{\frac{4}{3}} = (a^{\frac{2}{3}})^2 $.

$$ 1 - a^{\frac{4}{3}} = 1^2 - (a^{\frac{2}{3}})^2 = (1 - a^{\frac{2}{3}})(1 + a^{\frac{2}{3}}) $$

Подставим разложенный числитель в дробь и выполним сокращение:

$$ \frac{(1 - a^{\frac{2}{3}})(1 + a^{\frac{2}{3}})}{1 - a^{\frac{2}{3}}} = 1 + a^{\frac{2}{3}} $$

Сокращение возможно при условии, что $ 1 - a^{\frac{2}{3}} \neq 0 $, то есть $ a^{\frac{2}{3}} \neq 1 $, что справедливо при $ a \neq 1 $ и $ a \neq -1 $.

3. Выполнение деления

Теперь разделим результат, полученный в первом действии, на результат второго действия:

$$ (1 + a^{\frac{2}{3}}) : (1 + a^{\frac{2}{3}}) $$

Поскольку делимое и делитель равны и не могут быть равны нулю (так как для любого действительного $ a $, $ a^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{a})^2 \ge 0 $, следовательно $ 1 + a^{\frac{2}{3}} \ge 1 $), результат их деления равен 1.

Все преобразования верны при области допустимых значений $ a \neq \pm 1 $.

Ответ: 1