Номер 24, страница 365 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Упрощение выражений. Задания для повторения - номер 24, страница 365.

$24 \left( \frac{1}{x - 3} - \frac{1}{5x^2 + x + 3} \right) \cdot \left( \frac{25x^3 + 12}{10x^2 + 30x} + 1 \right) \times \left( \frac{1}{x - 3} + \frac{1}{5x^2 + x + 3} \right)^{-1} : \frac{(6 + 5x^2)^2}{5x^4 - 45x^2}.$

Для решения данного выражения, упростим его по частям, выполняя действия в скобках и последующее умножение и деление.

1. Упростим выражение в первой скобке

Выполним вычитание дробей $ \frac{1}{x-3} - \frac{1}{5x^2+x+3} $. Для этого приведем их к общему знаменателю $ (x-3)(5x^2+x+3) $.

$ \frac{1 \cdot (5x^2+x+3) - 1 \cdot (x-3)}{(x-3)(5x^2+x+3)} = \frac{5x^2+x+3-x+3}{(x-3)(5x^2+x+3)} = \frac{5x^2+6}{(x-3)(5x^2+x+3)} $

2. Упростим выражение во второй скобке

Выполним сложение $ \frac{25x^3+12}{10x^2+30x} + 1 $. Сначала разложим на множители знаменатель дроби $ 10x^2+30x = 10x(x+3) $. Затем приведем к общему знаменателю.

$ \frac{25x^3+12}{10x(x+3)} + \frac{10x(x+3)}{10x(x+3)} = \frac{25x^3+12+10x^2+30x}{10x(x+3)} $

Сгруппируем и разложим на множители числитель:

$ 25x^3+10x^2+30x+12 = (25x^3+10x^2) + (30x+12) = 5x^2(5x+2) + 6(5x+2) = (5x^2+6)(5x+2) $

Таким образом, вторая скобка равна:

$ \frac{(5x^2+6)(5x+2)}{10x(x+3)} $

3. Упростим выражение в третьей скобке со степенью -1

Рассмотрим выражение $ \left(\frac{1}{x-3} + \frac{1}{5x^2+x+3}\right)^{-1} $. Сначала выполним сложение в скобках, приведя к общему знаменателю:

$ \frac{1 \cdot (5x^2+x+3) + 1 \cdot (x-3)}{(x-3)(5x^2+x+3)} = \frac{5x^2+x+3+x-3}{(x-3)(5x^2+x+3)} = \frac{5x^2+2x}{(x-3)(5x^2+x+3)} = \frac{x(5x+2)}{(x-3)(5x^2+x+3)} $

Теперь возведем полученную дробь в степень -1, что равносильно ее переворачиванию:

$ \frac{(x-3)(5x^2+x+3)}{x(5x+2)} $

4. Упростим делитель

Рассмотрим дробь $ \frac{(6+5x^2)^2}{5x^4-45x^2} $. Разложим знаменатель на множители:

$ 5x^4-45x^2 = 5x^2(x^2-9) = 5x^2(x-3)(x+3) $

Делитель принимает вид:

$ \frac{(5x^2+6)^2}{5x^2(x-3)(x+3)} $

5. Объединим все части и выполним умножение и деление

Подставим упрощенные выражения в исходное:

$ \frac{5x^2+6}{(x-3)(5x^2+x+3)} \cdot \frac{(5x^2+6)(5x+2)}{10x(x+3)} \cdot \frac{(x-3)(5x^2+x+3)}{x(5x+2)} : \frac{(5x^2+6)^2}{5x^2(x-3)(x+3)} $

Выполним умножение первых трех дробей. Множитель $ (x-3)(5x^2+x+3) $ в знаменателе первой дроби и в числителе третьей дроби сокращаются. Множитель $ (5x+2) $ в числителе второй дроби и в знаменателе третьей дроби также сокращаются. В результате умножения получаем:

$ \frac{(5x^2+6) \cdot (5x^2+6)}{10x(x+3) \cdot x} = \frac{(5x^2+6)^2}{10x^2(x+3)} $

Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$ \frac{(5x^2+6)^2}{10x^2(x+3)} \cdot \frac{5x^2(x-3)(x+3)}{(5x^2+6)^2} $

Сокращаем одинаковые множители в числителе и знаменателе: $ (5x^2+6)^2 $, $ x^2 $ и $ (x+3) $. Остается:

$ \frac{5(x-3)}{10} $

Сокращаем полученную дробь на 5:

$ \frac{x-3}{2} $

Ответ: $ \frac{x-3}{2} $