Номер 25, страница 365 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Упрощение выражений. Задания для повторения - номер 25, страница 365.

25 Сократите дробь:

а) $ \frac{7x - 2x^2 - 3}{2x^2 - x}; $

б) $ \frac{2 + x - 3x^2}{9x^2 - 4}; $

в) $ \frac{5x^2 + 4x - 1}{5x^2 - 6x + 1}; $

г) $ \frac{x^3 + 4x^2 - 9x - 36}{x^2 + x - 12}. $

а) $\frac{7x - 2x^2 - 3}{2x^2 - x}$

Для сокращения дроби необходимо разложить на множители ее числитель и знаменатель.

1. Разложим на множители числитель $7x - 2x^2 - 3$. Сначала запишем его в стандартном виде: $-2x^2 + 7x - 3$. Для нахождения корней решим квадратное уравнение $-2x^2 + 7x - 3 = 0$. Умножим обе части на -1, чтобы получить $2x^2 - 7x + 3 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
Теперь разложим многочлен на множители по формуле $a(x-x_1)(x-x_2)$:
$-2x^2 + 7x - 3 = -2(x-3)(x-\frac{1}{2}) = -(x-3)(2(x-\frac{1}{2})) = -(x-3)(2x-1) = (3-x)(2x-1)$.

2. Разложим на множители знаменатель $2x^2 - x$. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$2x^2 - x = x(2x - 1)$.

3. Подставим разложенные выражения обратно в дробь и сократим:
$\frac{7x - 2x^2 - 3}{2x^2 - x} = \frac{(3-x)(2x-1)}{x(2x-1)}$
Сокращаем на общий множитель $(2x-1)$ (при условии $x \neq \frac{1}{2}$):
$\frac{3-x}{x}$

Ответ: $\frac{3-x}{x}$

б) $\frac{2 + x - 3x^2}{9x^2 - 4}$

1. Разложим на множители числитель $2 + x - 3x^2$. Запишем в стандартном виде: $-3x^2 + x + 2$. Решим уравнение $-3x^2 + x + 2 = 0$. Умножим на -1: $3x^2 - x - 2 = 0$.
Дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{1 + 5}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$
$x_2 = \frac{1 - 5}{2 \cdot 3} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$
Разложим многочлен на множители:
$-3x^2 + x + 2 = -3(x-1)(x+\frac{2}{3}) = -(x-1)(3(x+\frac{2}{3})) = -(x-1)(3x+2) = (1-x)(3x+2)$.

2. Разложим на множители знаменатель $9x^2 - 4$. Это разность квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:
$9x^2 - 4 = (3x)^2 - 2^2 = (3x-2)(3x+2)$.

3. Подставим разложенные выражения в дробь и сократим:
$\frac{2 + x - 3x^2}{9x^2 - 4} = \frac{(1-x)(3x+2)}{(3x-2)(3x+2)}$
Сокращаем на общий множитель $(3x+2)$ (при условии $x \neq -\frac{2}{3}$):
$\frac{1-x}{3x-2}$

Ответ: $\frac{1-x}{3x-2}$

в) $\frac{5x^2 + 4x - 1}{5x^2 - 6x + 1}$

1. Разложим на множители числитель $5x^2 + 4x - 1$. Решим уравнение $5x^2 + 4x - 1 = 0$.
Дискриминант: $D = 4^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 16 + 20 = 36$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-4 + 6}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$
$x_2 = \frac{-4 - 6}{2 \cdot 5} = \frac{-10}{10} = -1$
Разложение на множители: $5(x-\frac{1}{5})(x+1) = (5x-1)(x+1)$.

2. Разложим на множители знаменатель $5x^2 - 6x + 1$. Решим уравнение $5x^2 - 6x + 1 = 0$.
Дискриминант: $D = (-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 36 - 20 = 16$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{6 + 4}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1$
$x_2 = \frac{6 - 4}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$
Разложение на множители: $5(x-1)(x-\frac{1}{5}) = (x-1)(5x-1)$.

3. Подставим разложенные выражения в дробь и сократим:
$\frac{5x^2 + 4x - 1}{5x^2 - 6x + 1} = \frac{(5x-1)(x+1)}{(x-1)(5x-1)}$
Сокращаем на общий множитель $(5x-1)$ (при условии $x \neq \frac{1}{5}$):
$\frac{x+1}{x-1}$

Ответ: $\frac{x+1}{x-1}$

г) $\frac{x^3 + 4x^2 - 9x - 36}{x^2 + x - 12}$

1. Разложим на множители числитель $x^3 + 4x^2 - 9x - 36$. Применим метод группировки:
$(x^3 + 4x^2) - (9x + 36) = x^2(x+4) - 9(x+4) = (x^2-9)(x+4)$.
Выражение $x^2-9$ является разностью квадратов: $(x-3)(x+3)$.
Таким образом, числитель равен $(x-3)(x+3)(x+4)$.

2. Разложим на множители знаменатель $x^2 + x - 12$. Решим уравнение $x^2 + x - 12 = 0$.
По теореме Виета, ищем два числа, произведение которых равно -12, а сумма -1. Это числа -4 и 3.
Корни уравнения: $x_1 = -4$, $x_2 = 3$.
Разложение на множители: $(x - (-4))(x - 3) = (x+4)(x-3)$.

3. Подставим разложенные выражения в дробь и сократим:
$\frac{x^3 + 4x^2 - 9x - 36}{x^2 + x - 12} = \frac{(x-3)(x+3)(x+4)}{(x+4)(x-3)}$
Сокращаем на общие множители $(x+4)$ и $(x-3)$ (при условии $x \neq -4$ и $x \neq 3$):
$x+3$

Ответ: $x+3$