Номер 26, страница 365 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Упрощение выражений. Задания для повторения - номер 26, страница 365.

Упростите выражение (26–30):

26 а) $\frac{3a^2 + 12a + 13}{3a + 6} - a - \frac{1}{3(a+2)};$

б) $\frac{4x^2 - 5x + 1}{4x - 1} - \frac{x^2 - 1}{1 - x};$

в) $\frac{9a^2 - 4}{2 - 3a} - \frac{6a^2 - 5a - 6}{3 - 2a};$

г) $\left(\frac{x^3 - x}{x^2 - 1} - 2x + 1\right) : \left(\frac{1+x}{1-x^2}\right)^{-1};$

д) $\left(\left(\frac{3a}{a^3 - b^3} \cdot \frac{a^2 + b^2 + ab}{a + b}\right) - \frac{3}{b - a}\right) : \frac{2a + b}{a^2 + 2ab + b^2} \cdot \frac{3}{a + b}.$

а) $ \frac{3a^2 + 12a + 13}{3a + 6} - a - \frac{1}{3(a + 2)} $
Для начала приведем все слагаемые к общему знаменателю. Знаменатель первой дроби $3a + 6$ можно представить как $3(a + 2)$. Таким образом, общий знаменатель для всего выражения — это $3(a+2)$.
$ \frac{3a^2 + 12a + 13}{3(a + 2)} - \frac{a \cdot 3(a + 2)}{3(a + 2)} - \frac{1}{3(a + 2)} $
Теперь объединим все под одной дробной чертой:
$ \frac{(3a^2 + 12a + 13) - 3a(a + 2) - 1}{3(a + 2)} $
Раскроем скобки в числителе и упростим его:
$ \frac{3a^2 + 12a + 13 - 3a^2 - 6a - 1}{3(a + 2)} = \frac{(3a^2 - 3a^2) + (12a - 6a) + (13 - 1)}{3(a + 2)} = \frac{6a + 12}{3(a + 2)} $
Вынесем общий множитель 6 в числителе:
$ \frac{6(a + 2)}{3(a + 2)} $
Сократим общие множители $(a + 2)$ и разделим 6 на 3:
$ \frac{6}{3} = 2 $
Ответ: 2

б) $ \frac{4x^2 - 5x + 1}{4x - 1} - \frac{x^2 - 1}{1 - x} $
Изменим знак в знаменателе второй дроби, поменяв при этом знак перед самой дробью:
$ \frac{4x^2 - 5x + 1}{4x - 1} - \frac{x^2 - 1}{-(x - 1)} = \frac{4x^2 - 5x + 1}{4x - 1} + \frac{x^2 - 1}{x - 1} $
Разложим числители на множители. Числитель первой дроби $4x^2 - 5x + 1$ можно разложить как $(4x-1)(x-1)$. Числитель второй дроби $x^2 - 1$ является разностью квадратов и раскладывается как $(x-1)(x+1)$.
$ \frac{(4x-1)(x-1)}{4x - 1} + \frac{(x-1)(x+1)}{x - 1} $
Сократим дроби, убрав одинаковые множители в числителе и знаменателе каждой дроби:
$ (x - 1) + (x + 1) $
Теперь сложим оставшиеся выражения:
$ x - 1 + x + 1 = 2x $
Ответ: $2x$

в) $ \frac{9a^2 - 4}{2 - 3a} - \frac{6a^2 - 5a - 6}{3 - 2a} $
Разложим числители на множители. $9a^2 - 4 = (3a-2)(3a+2)$. Для $6a^2 - 5a - 6$ найдем корни квадратного уравнения: $a_1=3/2, a_2=-2/3$, поэтому $6a^2 - 5a - 6 = 6(a-3/2)(a+2/3) = (2a-3)(3a+2)$.
Подставим разложения в исходное выражение:
$ \frac{(3a-2)(3a+2)}{2 - 3a} - \frac{(2a-3)(3a+2)}{3 - 2a} $
Заметим, что $2-3a = -(3a-2)$ и $3-2a = -(2a-3)$. Вынесем минус из знаменателей:
$ \frac{(3a-2)(3a+2)}{-(3a - 2)} - \frac{(2a-3)(3a+2)}{-(2a - 3)} $
Сократим дроби:
$ -(3a+2) - (-(3a+2)) = -(3a+2) + (3a+2) $
Раскроем скобки:
$ -3a - 2 + 3a + 2 = 0 $
Ответ: 0

г) $ \left( \frac{x^3 - x}{x^2 - 1} - 2x + 1 \right) : \left( \frac{1+x}{1-x^2} \right)^{-1} $
Сначала упростим выражение в первых скобках. Разложим числитель и знаменатель дроби на множители: $\frac{x^3-x}{x^2-1} = \frac{x(x^2-1)}{x^2-1} = x$.
Теперь выражение в первых скобках имеет вид:
$ (x - 2x + 1) = 1 - x $
Далее упростим выражение во вторых скобках. Степень $-1$ означает, что дробь нужно перевернуть:
$ \left( \frac{1+x}{1-x^2} \right)^{-1} = \frac{1-x^2}{1+x} $
Разложим числитель по формуле разности квадратов и сократим дробь:
$ \frac{(1-x)(1+x)}{1+x} = 1-x $
Теперь выполним деление результатов:
$ (1 - x) : (1 - x) = 1 $
Ответ: 1

д) $ \left( \left( \frac{3a}{a^3 - b^3} \cdot \frac{a^2 + b^2 + ab}{a+b} - \frac{3}{b-a} \right) : \frac{2a+b}{a^2 + 2ab + b^2} \right) \cdot \frac{3}{a+b} $
Выполним действия по порядку.
1. Умножение в скобках. Используем формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:
$ \frac{3a}{(a-b)(a^2+ab+b^2)} \cdot \frac{a^2+ab+b^2}{a+b} = \frac{3a}{(a-b)(a+b)} $
2. Вычитание в скобках. Учтем, что $b-a = -(a-b)$:
$ \frac{3a}{(a-b)(a+b)} - \frac{3}{b-a} = \frac{3a}{(a-b)(a+b)} + \frac{3}{a-b} $
Приводим к общему знаменателю $(a-b)(a+b)$:
$ \frac{3a + 3(a+b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{3a+3a+3b}{(a-b)(a+b)} = \frac{6a+3b}{(a-b)(a+b)} = \frac{3(2a+b)}{(a-b)(a+b)} $
3. Деление. Заменяем деление на умножение на обратную дробь. Знаменатель $a^2+2ab+b^2$ равен $(a+b)^2$:
$ \frac{3(2a+b)}{(a-b)(a+b)} : \frac{2a+b}{(a+b)^2} = \frac{3(2a+b)}{(a-b)(a+b)} \cdot \frac{(a+b)^2}{2a+b} $
Сокращаем $(2a+b)$ и одну степень $(a+b)$:
$ \frac{3(a+b)}{a-b} $
4. Последнее умножение:
$ \frac{3(a+b)}{a-b} \cdot \frac{3}{a+b} = \frac{9(a+b)}{(a-b)(a+b)} $
Сокращаем $(a+b)$:
$ \frac{9}{a-b} $
Ответ: $ \frac{9}{a-b} $