Страница 374 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

100 а) $|2x + 3| > \frac{2}{2x + 1};$

б) $|2x - 3| > \frac{2}{x - 2};$

В) $|x + 1| > \frac{2}{x - 2};$

Г) $|x + 2| > \frac{1}{x - 1}.$

а)

Решим неравенство $|2x+3| > \frac{2}{2x+1}$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $2x+1 \neq 0$, то есть $x \neq -0.5$.

Рассмотрим два случая в зависимости от знака правой части неравенства.

Случай 1: Правая часть отрицательна.
$\frac{2}{2x+1} < 0 \implies 2x+1 < 0 \implies x < -0.5$.
В этом случае левая часть, модуль $|2x+3|$, является неотрицательной величиной. Любое неотрицательное число больше любого отрицательного. Следовательно, неравенство выполняется для всех $x$ из этого промежутка.

Случай 2: Правая часть положительна.
$\frac{2}{2x+1} > 0 \implies 2x+1 > 0 \implies x > -0.5$.
В этом случае обе части неравенства положительны. Неравенство вида $|f(x)| > g(x)$ при $g(x) > 0$ равносильно совокупности двух неравенств: $f(x) > g(x)$ или $f(x) < -g(x)$.

1) $2x+3 > \frac{2}{2x+1}$
$2x+3 - \frac{2}{2x+1} > 0$
$\frac{(2x+3)(2x+1) - 2}{2x+1} > 0$
$\frac{4x^2+6x+2x+3-2}{2x+1} > 0$
$\frac{4x^2+8x+1}{2x+1} > 0$
Так как мы рассматриваем случай $x > -0.5$, знаменатель $2x+1$ положителен. Поэтому неравенство сводится к $4x^2+8x+1 > 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $4x^2+8x+1=0$.
Дискриминант $D = 8^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 64 - 16 = 48$, $\sqrt{D} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$.
Корни: $x_{1,2} = \frac{-8 \pm 4\sqrt{3}}{8} = -1 \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Решением неравенства $4x^2+8x+1 > 0$ является $x \in (-\infty; -1 - \frac{\sqrt{3}}{2}) \cup (-1 + \frac{\sqrt{3}}{2}; +\infty)$.
С учетом условия $x > -0.5$, получаем решение $x > -1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$ (поскольку $-1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0.134 > -0.5$).

2) $2x+3 < -\frac{2}{2x+1}$
$2x+3 + \frac{2}{2x+1} < 0$
$\frac{(2x+3)(2x+1) + 2}{2x+1} < 0$
$\frac{4x^2+8x+3+2}{2x+1} < 0$
$\frac{4x^2+8x+5}{2x+1} < 0$
При $x > -0.5$ знаменатель положителен, значит, нужно решить $4x^2+8x+5 < 0$.
Дискриминант $D = 8^2 - 4 \cdot 4 \cdot 5 = 64 - 80 = -16 < 0$. Так как старший коэффициент (4) положителен, выражение $4x^2+8x+5$ всегда положительно. Следовательно, это неравенство не имеет решений.

Объединяя решения из двух случаев, получаем:
Из случая 1: $x < -0.5$.
Из случая 2: $x > -1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Итоговое решение является объединением этих множеств.

Ответ: $x \in (-\infty; -0.5) \cup (-1 + \frac{\sqrt{3}}{2}; +\infty)$.

б)

Решим неравенство $|2x-3| > \frac{2}{x-2}$.

ОДЗ: $x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$.

Случай 1: $\frac{2}{x-2} < 0 \implies x-2 < 0 \implies x < 2$.
Левая часть $|2x-3| \ge 0$. Неотрицательное число всегда больше отрицательного. Неравенство выполняется для всех $x < 2$.

Случай 2: $\frac{2}{x-2} > 0 \implies x-2 > 0 \implies x > 2$.
Обе части положительны. Решаем совокупность: $2x-3 > \frac{2}{x-2}$ или $2x-3 < -\frac{2}{x-2}$.

1) $2x-3 - \frac{2}{x-2} > 0 \implies \frac{(2x-3)(x-2)-2}{x-2} > 0 \implies \frac{2x^2-7x+4}{x-2} > 0$.
При $x > 2$ знаменатель положителен, поэтому решаем $2x^2-7x+4 > 0$.
Корни уравнения $2x^2-7x+4=0$: $D = 49-32=17$, $x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{17}}{4}$.
Решение $2x^2-7x+4 > 0$: $x \in (-\infty; \frac{7-\sqrt{17}}{4}) \cup (\frac{7+\sqrt{17}}{4}; +\infty)$.
С учетом $x > 2$, получаем $x > \frac{7+\sqrt{17}}{4}$ (т.к. $\frac{7+\sqrt{17}}{4} \approx 2.78 > 2$).

2) $2x-3 + \frac{2}{x-2} < 0 \implies \frac{(2x-3)(x-2)+2}{x-2} < 0 \implies \frac{2x^2-7x+8}{x-2} < 0$.
При $x > 2$ решаем $2x^2-7x+8 < 0$.
$D = 49 - 64 = -15 < 0$. Выражение $2x^2-7x+8$ всегда положительно. Решений нет.

Объединяем решения из двух случаев: $x < 2$ и $x > \frac{7+\sqrt{17}}{4}$.

Ответ: $x \in (-\infty; 2) \cup (\frac{7+\sqrt{17}}{4}; +\infty)$.

в)

Решим неравенство $|x+1| > \frac{2}{x-2}$.

ОДЗ: $x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$.

Случай 1: $\frac{2}{x-2} < 0 \implies x < 2$.
Неравенство $|x+1| > \text{отрицательное число}$ верно для всех $x < 2$.

Случай 2: $\frac{2}{x-2} > 0 \implies x > 2$.
Обе части положительны. Решаем совокупность: $x+1 > \frac{2}{x-2}$ или $x+1 < -\frac{2}{x-2}$.

1) $x+1 - \frac{2}{x-2} > 0 \implies \frac{(x+1)(x-2)-2}{x-2} > 0 \implies \frac{x^2-x-4}{x-2} > 0$.
При $x > 2$ решаем $x^2-x-4 > 0$.
Корни уравнения $x^2-x-4=0$: $D=1+16=17$, $x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2}$.
Решение $x^2-x-4 > 0$: $x \in (-\infty; \frac{1-\sqrt{17}}{2}) \cup (\frac{1+\sqrt{17}}{2}; +\infty)$.
С учетом $x>2$, получаем $x > \frac{1+\sqrt{17}}{2}$ (т.к. $\frac{1+\sqrt{17}}{2} \approx 2.56 > 2$).

2) $x+1 + \frac{2}{x-2} < 0 \implies \frac{(x+1)(x-2)+2}{x-2} < 0 \implies \frac{x^2-x}{x-2} < 0$.
При $x > 2$ все множители $x$, $x-1$, $x-2$ положительны, дробь положительна. Решений нет.

Объединяем решения из двух случаев: $x < 2$ и $x > \frac{1+\sqrt{17}}{2}$.

Ответ: $x \in (-\infty; 2) \cup (\frac{1+\sqrt{17}}{2}; +\infty)$.

г)

Решим неравенство $|x+2| > \frac{1}{x-1}$.

ОДЗ: $x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$.

Случай 1: $\frac{1}{x-1} < 0 \implies x-1 < 0 \implies x < 1$.
Неравенство $|x+2| > \text{отрицательное число}$ верно для всех $x < 1$.

Случай 2: $\frac{1}{x-1} > 0 \implies x-1 > 0 \implies x > 1$.
Обе части положительны. Решаем совокупность: $x+2 > \frac{1}{x-1}$ или $x+2 < -\frac{1}{x-1}$.

1) $x+2 - \frac{1}{x-1} > 0 \implies \frac{(x+2)(x-1)-1}{x-1} > 0 \implies \frac{x^2+x-3}{x-1} > 0$.
При $x > 1$ решаем $x^2+x-3 > 0$.
Корни уравнения $x^2+x-3=0$: $D=1+12=13$, $x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{13}}{2}$.
Решение $x^2+x-3 > 0$: $x \in (-\infty; \frac{-1-\sqrt{13}}{2}) \cup (\frac{-1+\sqrt{13}}{2}; +\infty)$.
С учетом $x > 1$, получаем $x > \frac{-1+\sqrt{13}}{2}$ (т.к. $\frac{-1+\sqrt{13}}{2} \approx 1.3 > 1$).

2) $x+2 + \frac{1}{x-1} < 0 \implies \frac{(x+2)(x-1)+1}{x-1} < 0 \implies \frac{x^2+x-1}{x-1} < 0$.
При $x > 1$ решаем $x^2+x-1 < 0$.
Корни $x^2+x-1=0$: $D=1+4=5$, $x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.
Решение $x^2+x-1 < 0$: $x \in (\frac{-1-\sqrt{5}}{2}; \frac{-1+\sqrt{5}}{2})$.
Пересечение этого интервала с $x>1$ пусто (т.к. $\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \approx 0.62 < 1$). Решений нет.

Объединяем решения из двух случаев: $x < 1$ и $x > \frac{-1+\sqrt{13}}{2}$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (\frac{-1+\sqrt{13}}{2}; +\infty)$.

101 a) $\frac{|x^2 - 1| + x + 1}{x(x - 2)} \le 0;$

б) $\frac{2x - 1}{x^2 - |x - 2|} > \frac{1}{2};$

В) $\frac{x^2 - 1 + |x + 1|}{x(x - 2)} \ge 0;$

Г) $\frac{|2x - 1|}{x^2 - x - 2} > \frac{1}{2}.$

а) Решим неравенство $\frac{|x^2 - 1| + x + 1}{x(x-2)} \le 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не равен нулю, т.е. $x(x-2) \neq 0$, откуда $x \neq 0$ и $x \neq 2$.
Раскроем модуль $|x^2 - 1|$. Выражение $x^2 - 1$ равно нулю при $x = \pm 1$.
$x^2 - 1 \ge 0$ при $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.
$x^2 - 1 < 0$ при $x \in (-1, 1)$.
Рассмотрим два случая.

1. Пусть $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$. Тогда $|x^2 - 1| = x^2 - 1$. Неравенство принимает вид: $\frac{x^2 - 1 + x + 1}{x(x-2)} \le 0$ $\frac{x^2 + x}{x(x-2)} \le 0$ $\frac{x(x+1)}{x(x-2)} \le 0$ Так как $x \neq 0$, сокращаем на $x$: $\frac{x+1}{x-2} \le 0$ Методом интервалов получаем $x \in [-1, 2)$. Пересекая это решение с условием $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$, получаем $x \in \{ -1 \} \cup [1, 2)$.

2. Пусть $x \in (-1, 1)$. Тогда $|x^2 - 1| = -(x^2 - 1) = 1 - x^2$. Неравенство принимает вид: $\frac{1 - x^2 + x + 1}{x(x-2)} \le 0$ $\frac{-x^2 + x + 2}{x(x-2)} \le 0$ Умножим на -1, изменив знак неравенства: $\frac{x^2 - x - 2}{x(x-2)} \ge 0$ Разложим числитель на множители: $x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)$. $\frac{(x-2)(x+1)}{x(x-2)} \ge 0$ Так как $x \neq 2$, сокращаем на $(x-2)$: $\frac{x+1}{x} \ge 0$ Методом интервалов получаем $x \in (-\infty, -1] \cup (0, \infty)$. Пересекая это решение с условием $x \in (-1, 1)$, получаем $x \in (0, 1)$.

Объединяем решения из обоих случаев: $(\{ -1 \} \cup [1, 2)) \cup (0, 1)$.
С учетом ОДЗ ($x \neq 0, x \neq 2$) получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in \{ -1 \} \cup (0, 2)$.

б) Решим неравенство $\frac{2x - 1}{x^2 - |x - 2|} > \frac{1}{2}$.

Раскроем модуль $|x-2|$. Выражение $x-2$ равно нулю при $x=2$.
Рассмотрим два случая.

1. Пусть $x \ge 2$. Тогда $|x - 2| = x - 2$. Неравенство принимает вид: $\frac{2x - 1}{x^2 - (x-2)} > \frac{1}{2}$ $\frac{2x - 1}{x^2 - x + 2} > \frac{1}{2}$ Знаменатель $x^2 - x + 2$ имеет дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = -7 < 0$, поэтому $x^2 - x + 2 > 0$ для всех $x$. Можем умножить обе части на $2(x^2 - x + 2) > 0$: $2(2x-1) > x^2 - x + 2$ $4x - 2 > x^2 - x + 2$ $x^2 - 5x + 4 < 0$ $(x-1)(x-4) < 0$ Решение этого неравенства: $x \in (1, 4)$. Пересекая с условием $x \ge 2$, получаем $x \in [2, 4)$.

2. Пусть $x < 2$. Тогда $|x - 2| = -(x - 2) = 2 - x$. Неравенство принимает вид: $\frac{2x - 1}{x^2 - (2-x)} > \frac{1}{2}$ $\frac{2x - 1}{x^2 + x - 2} > \frac{1}{2}$ Перенесем все в левую часть: $\frac{2x - 1}{(x+2)(x-1)} - \frac{1}{2} > 0$ ОДЗ: $x \neq -2, x \neq 1$. $\frac{2(2x - 1) - (x^2+x-2)}{2(x+2)(x-1)} > 0$ $\frac{4x - 2 - x^2 - x + 2}{2(x+2)(x-1)} > 0$ $\frac{-x^2 + 3x}{2(x+2)(x-1)} > 0$ $\frac{-x(x-3)}{2(x+2)(x-1)} > 0$ Разделим на -1/2, изменив знак неравенства: $\frac{x(x-3)}{(x+2)(x-1)} < 0$ Методом интервалов с точками $-2, 0, 1, 3$ получаем $x \in (-2, 0) \cup (1, 3)$. Пересекая с условием $x < 2$, получаем $x \in (-2, 0) \cup (1, 2)$.

Объединяем решения из обоих случаев: $[2, 4) \cup (-2, 0) \cup (1, 2)$.

Ответ: $x \in (-2, 0) \cup (1, 4)$.

в) Решим неравенство $\frac{x^2 - 1 + |x + 1|}{x(x-2)} \ge 0$.

ОДЗ: $x \neq 0, x \neq 2$.
Раскроем модуль $|x+1|$. Выражение $x+1$ равно нулю при $x=-1$.
Рассмотрим два случая.

1. Пусть $x \ge -1$. Тогда $|x+1| = x+1$. Неравенство принимает вид: $\frac{x^2 - 1 + x + 1}{x(x-2)} \ge 0$ $\frac{x^2 + x}{x(x-2)} \ge 0$ $\frac{x(x+1)}{x(x-2)} \ge 0$ Так как $x \neq 0$, сокращаем на $x$: $\frac{x+1}{x-2} \ge 0$ Методом интервалов получаем $x \in (-\infty, -1] \cup (2, \infty)$. Пересекая с условием $x \ge -1$, получаем $x \in \{ -1 \} \cup (2, \infty)$.

2. Пусть $x < -1$. Тогда $|x+1| = -(x+1)$. Неравенство принимает вид: $\frac{x^2 - 1 - (x + 1)}{x(x-2)} \ge 0$ $\frac{x^2 - x - 2}{x(x-2)} \ge 0$ $\frac{(x-2)(x+1)}{x(x-2)} \ge 0$ Так как $x \neq 2$, сокращаем на $(x-2)$: $\frac{x+1}{x} \ge 0$ Методом интервалов получаем $x \in (-\infty, -1] \cup (0, \infty)$. Пересекая с условием $x < -1$, получаем $x \in (-\infty, -1)$.

Объединяем решения из обоих случаев: $(\{ -1 \} \cup (2, \infty)) \cup (-\infty, -1)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -1] \cup (2, \infty)$.

г) Решим неравенство $\frac{|2x - 1|}{x^2 - x - 2} > \frac{1}{2}$.

Разложим знаменатель на множители: $x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)$. ОДЗ: $x \neq -1, x \neq 2$.
Неравенство: $\frac{|2x - 1|}{(x-2)(x+1)} > \frac{1}{2}$.
Левая часть неравенства неотрицательна (т.к. $|2x-1| \ge 0$). Чтобы она была больше положительного числа $1/2$, она должна быть положительна. Это возможно только если знаменатель положителен: $(x-2)(x+1) > 0$. Решением этого неравенства является $x \in (-\infty, -1) \cup (2, \infty)$. В этом случае мы можем умножить обе части исходного неравенства на $2(x^2 - x - 2) > 0$: $2|2x - 1| > x^2 - x - 2$.
Рассмотрим два случая для раскрытия модуля, учитывая найденный диапазон для $x$.

1. Пусть $x \in (2, \infty)$. Тогда $2x-1 > 0$, и $|2x-1| = 2x-1$. $2(2x-1) > x^2 - x - 2$ $4x - 2 > x^2 - x - 2$ $x^2 - 5x < 0$ $x(x-5) < 0$ Решение: $x \in (0, 5)$. Пересекая с условием $x \in (2, \infty)$, получаем $x \in (2, 5)$.

2. Пусть $x \in (-\infty, -1)$. Тогда $2x-1 < 0$, и $|2x-1| = -(2x-1) = 1-2x$. $2(1-2x) > x^2 - x - 2$ $2 - 4x > x^2 - x - 2$ $x^2 + 3x - 4 < 0$ $(x+4)(x-1) < 0$ Решение: $x \in (-4, 1)$. Пересекая с условием $x \in (-\infty, -1)$, получаем $x \in (-4, -1)$.

Объединяем решения из обоих случаев.

Ответ: $x \in (-4, -1) \cup (2, 5)$.

102 a) $\frac{|x - 4| - |x - 1|}{|x - 3| - |x - 2|} < \frac{|x - 3| + |x - 2|}{|x - 4|}$;

б) $\frac{|x - 5| - |x + 4|}{|x - 2| - |x + 1|} < \frac{|x - 2| + |x + 1|}{|x + 4|}$.

а) $ \frac{|x-4| - |x-1|}{|x-3| - |x-2|} < \frac{|x-3| + |x-2|}{|x-4|} $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны равняться нулю.
$ |x-3| - |x-2| \neq 0 \implies |x-3| \neq |x-2| \implies (x-3)^2 \neq (x-2)^2 \implies x^2 - 6x + 9 \neq x^2 - 4x + 4 \implies 2x \neq 5 \implies x \neq 2.5 $.
$ |x-4| \neq 0 \implies x \neq 4 $.
ОДЗ: $ x \in \mathbb{R} \setminus \{2.5, 4\} $.

Для решения неравенства используем метод интервалов. Корни подмодульных выражений: 1, 2, 3, 4. Они разбивают числовую прямую на 5 интервалов. Раскроем модули в каждом из них.

1. При $ x < 1 $:
$ |x-4| = 4-x, |x-1| = 1-x, |x-3| = 3-x, |x-2| = 2-x $.
Неравенство принимает вид:
$ \frac{(4-x) - (1-x)}{(3-x) - (2-x)} < \frac{(3-x) + (2-x)}{4-x} $
$ \frac{3}{1} < \frac{5-2x}{4-x} $
Так как при $ x < 1 $, $ 4-x > 0 $, умножим обе части на $ 4-x $:
$ 3(4-x) < 5-2x \implies 12-3x < 5-2x \implies 7 < x $.
Пересечение $ x < 1 $ и $ x > 7 $ пусто, решений в этом интервале нет.

2. При $ 1 \le x < 2 $:
$ |x-4| = 4-x, |x-1| = x-1, |x-3| = 3-x, |x-2| = 2-x $.
$ \frac{(4-x) - (x-1)}{(3-x) - (2-x)} < \frac{(3-x) + (2-x)}{4-x} $
$ \frac{5-2x}{1} < \frac{5-2x}{4-x} $
$ (5-2x) - \frac{5-2x}{4-x} < 0 \implies (5-2x) \left(1 - \frac{1}{4-x}\right) < 0 \implies (5-2x)\frac{3-x}{4-x} < 0 $.
В интервале $ [1, 2) $ все множители ($ 5-2x, 3-x, 4-x $) положительны. Левая часть неравенства положительна. Решений нет.

3. При $ 2 \le x < 3 $ (с учетом ОДЗ $ x \neq 2.5 $):
$ |x-4| = 4-x, |x-1| = x-1, |x-3| = 3-x, |x-2| = x-2 $.
$ \frac{(4-x) - (x-1)}{(3-x) - (x-2)} < \frac{(3-x) + (x-2)}{4-x} $
$ \frac{5-2x}{5-2x} < \frac{1}{4-x} $
$ 1 < \frac{1}{4-x} $.
Так как в данном интервале $ 4-x > 0 $, можно умножить на $ 4-x $:
$ 4-x < 1 \implies x > 3 $.
Пересечение $ 2 \le x < 3 $ и $ x > 3 $ пусто. Решений нет.

4. При $ 3 \le x < 4 $:
$ |x-4| = 4-x, |x-1| = x-1, |x-3| = x-3, |x-2| = x-2 $.
$ \frac{(4-x) - (x-1)}{(x-3) - (x-2)} < \frac{(x-3) + (x-2)}{4-x} $
$ \frac{5-2x}{-1} < \frac{2x-5}{4-x} \implies 2x-5 < \frac{2x-5}{4-x} $.
В интервале $ [3, 4) $ выражение $ 2x-5 > 0 $, поэтому можно разделить на него:
$ 1 < \frac{1}{4-x} $.
Так как $ 4-x > 0 $, то $ 4-x < 1 \implies x > 3 $.
Пересечение $ [3, 4) $ и $ x > 3 $ дает интервал $ (3, 4) $.

5. При $ x > 4 $:
$ |x-4| = x-4, |x-1| = x-1, |x-3| = x-3, |x-2| = x-2 $.
$ \frac{(x-4) - (x-1)}{(x-3) - (x-2)} < \frac{(x-3) + (x-2)}{x-4} $
$ \frac{-3}{-1} < \frac{2x-5}{x-4} \implies 3 < \frac{2x-5}{x-4} $
$ 0 < \frac{2x-5}{x-4} - 3 \implies 0 < \frac{2x-5-3(x-4)}{x-4} \implies 0 < \frac{7-x}{x-4} $.
Методом интервалов для дроби $ \frac{7-x}{x-4} > 0 $ получаем $ 4 < x < 7 $.
Пересечение $ x > 4 $ и $ 4 < x < 7 $ дает интервал $ (4, 7) $.

Объединяя все найденные решения, получаем $ (3, 4) \cup (4, 7) $.
Ответ: $ x \in (3, 4) \cup (4, 7) $.

б) $ \frac{|x-5| - |x+4|}{|x-2| - |x+1|} < \frac{|x-2| + |x+1|}{|x+4|} $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
$ |x-2| - |x+1| \neq 0 \implies |x-2| \neq |x+1| \implies (x-2)^2 \neq (x+1)^2 \implies x^2-4x+4 \neq x^2+2x+1 \implies 6x \neq 3 \implies x \neq 0.5 $.
$ |x+4| \neq 0 \implies x \neq -4 $.
ОДЗ: $ x \in \mathbb{R} \setminus \{-4, 0.5\} $.

Используем метод интервалов. Корни подмодульных выражений: -4, -1, 2, 5.

1. При $ x < -4 $:
$ |x-5| = -(x-5), |x+4| = -(x+4), |x-2| = -(x-2), |x+1| = -(x+1) $.
$ \frac{(5-x) - (-x-4)}{(2-x) - (-x-1)} < \frac{(2-x) + (-x-1)}{-x-4} $
$ \frac{9}{3} < \frac{1-2x}{-x-4} \implies 3 < \frac{2x-1}{x+4} $
$ 0 < \frac{2x-1}{x+4} - 3 \implies 0 < \frac{2x-1-3(x+4)}{x+4} \implies 0 < \frac{-x-13}{x+4} \implies \frac{x+13}{x+4} < 0 $.
Методом интервалов получаем $ -13 < x < -4 $.
Решение в этом интервале: $ (-13, -4) $.

2. При $ -4 < x < -1 $:
$ |x-5| = 5-x, |x+4| = x+4, |x-2| = 2-x, |x+1| = -(x+1) $.
$ \frac{(5-x) - (x+4)}{(2-x) - (-x-1)} < \frac{(2-x) + (-x-1)}{x+4} $
$ \frac{1-2x}{3} < \frac{1-2x}{x+4} $
$ (1-2x)\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{x+4}\right) < 0 \implies (1-2x)\frac{x+1}{3(x+4)} < 0 $.
В интервале $ (-4, -1) $: $ 1-2x > 0 $, $ x+1 < 0 $, $ x+4 > 0 $.
Левая часть $ (+)\frac{(-)}{+}<0 $, что является верным неравенством.
Решением является весь интервал $ (-4, -1) $.

3. При $ -1 \le x < 2 $ (с учетом ОДЗ $ x \neq 0.5 $):
$ |x-5| = 5-x, |x+4| = x+4, |x-2| = 2-x, |x+1| = x+1 $.
$ \frac{(5-x) - (x+4)}{(2-x) - (x+1)} < \frac{(2-x) + (x+1)}{x+4} $
$ \frac{1-2x}{1-2x} < \frac{3}{x+4} $
$ 1 < \frac{3}{x+4} $.
В данном интервале $ x+4 > 0 $, поэтому $ x+4 < 3 \implies x < -1 $.
Пересечение $ -1 \le x < 2 $ и $ x < -1 $ пусто. Решений нет.

4. При $ 2 \le x < 5 $:
$ |x-5| = 5-x, |x+4| = x+4, |x-2| = x-2, |x+1| = x+1 $.
$ \frac{(5-x) - (x+4)}{(x-2) - (x+1)} < \frac{(x-2) + (x+1)}{x+4} $
$ \frac{1-2x}{-3} < \frac{2x-1}{x+4} \implies \frac{2x-1}{3} < \frac{2x-1}{x+4} $.
В интервале $ [2, 5) $ $ 2x-1 > 0 $, делим на него:
$ \frac{1}{3} < \frac{1}{x+4} $. Так как $ x+4 > 0 $, то $ x+4 < 3 \implies x < -1 $.
Пересечение с $ [2, 5) $ пусто. Решений нет.

5. При $ x \ge 5 $:
$ |x-5| = x-5, |x+4| = x+4, |x-2| = x-2, |x+1| = x+1 $.
$ \frac{(x-5) - (x+4)}{(x-2) - (x+1)} < \frac{(x-2) + (x+1)}{x+4} $
$ \frac{-9}{-3} < \frac{2x-1}{x+4} \implies 3 < \frac{2x-1}{x+4} $
$ 0 < \frac{2x-1-3(x+4)}{x+4} \implies 0 < \frac{-x-13}{x+4} \implies \frac{x+13}{x+4} < 0 $.
Решение этого неравенства $ -13 < x < -4 $.
Пересечение с $ x \ge 5 $ пусто. Решений нет.

Объединяя все найденные решения, получаем $ (-13, -4) \cup (-4, -1) $.
Ответ: $ x \in (-13, -4) \cup (-4, -1) $.

Системы неравенств

103 Решите систему неравенств:

а)$ \begin{cases} 2x + 10 < 1.5x + 20 \\ 3x + 4 < 2x + 16 \end{cases} $

б)$ \begin{cases} x^2 - 9x + 14 < 0 \\ x - 4 < 0 \end{cases} $

в)$ \begin{cases} x^2 + 6x + 5 < 0 \\ x^2 + 4x + 3 > 0 \end{cases} $

г)$ \begin{cases} 2.3x - 1.4 < 5x + 2 \\ 3.5x + 1.4 < 7x + 2.8 \end{cases} $

д)$ \begin{cases} x^2 - 6x + 8 < 0 \\ x - 3 > 0 \end{cases} $

е)$ \begin{cases} x^2 - 7x + 10 < 0 \\ x^2 - 5x + 4 > 0 \end{cases} $

а)

Решим систему неравенств:
$\begin{cases} 2x + 10 < 1.5x + 20 \\ 3x + 4 < 2x + 16 \end{cases}$

Решим первое неравенство:
$2x - 1.5x < 20 - 10$
$0.5x < 10$
$x < 10 / 0.5$
$x < 20$

Решим второе неравенство:
$3x - 2x < 16 - 4$
$x < 12$

Решение системы — это пересечение решений обоих неравенств. Нам нужно, чтобы выполнялись оба условия: $x < 20$ и $x < 12$. Наиболее сильным является второе неравенство. Следовательно, решением системы является $x < 12$.
Ответ: $(-\infty; 12)$.

б)

Решим систему неравенств:
$\begin{cases} x^2 - 9x + 14 < 0 \\ x - 4 < 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство $x^2 - 9x + 14 < 0$. Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 9x + 14 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 9, а произведение равно 14. Корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 7$.
Парабола $y = x^2 - 9x + 14$ имеет ветви, направленные вверх. Значения функции меньше нуля между корнями. Таким образом, решение первого неравенства: $2 < x < 7$.

Решим второе неравенство:
$x - 4 < 0$
$x < 4$

Найдем пересечение решений: $(2; 7)$ и $(-\infty; 4)$. Общим решением является интервал $2 < x < 4$.
Ответ: $(2; 4)$.

в)

Решим систему неравенств:
$\begin{cases} x^2 + 6x + 5 < 0 \\ x^2 + 4x + 3 > 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство $x^2 + 6x + 5 < 0$. Корни уравнения $x^2 + 6x + 5 = 0$ по теореме Виета: $x_1 = -5$, $x_2 = -1$.
Парабола $y = x^2 + 6x + 5$ имеет ветви вверх, значит, неравенство выполняется между корнями: $-5 < x < -1$.

Решим второе неравенство $x^2 + 4x + 3 > 0$. Корни уравнения $x^2 + 4x + 3 = 0$ по теореме Виета: $x_1 = -3$, $x_2 = -1$.
Парабола $y = x^2 + 4x + 3$ имеет ветви вверх, значит, неравенство выполняется вне корней: $x < -3$ или $x > -1$.

Найдем пересечение решений: интервала $(-5; -1)$ и объединения интервалов $(-\infty; -3) \cup (-1; +\infty)$.
Пересечение $(-5; -1)$ и $(-\infty; -3)$ дает интервал $(-5; -3)$.
Пересечение $(-5; -1)$ и $(-1; +\infty)$ является пустым множеством.
Следовательно, решением системы является интервал $-5 < x < -3$.
Ответ: $(-5; -3)$.

г)

Решим систему неравенств:
$\begin{cases} 2.3x - 1.4 < 5x + 2 \\ 3.5x + 1.4 < 7x + 2.8 \end{cases}$

Решим первое неравенство:
$-1.4 - 2 < 5x - 2.3x$
$-3.4 < 2.7x$
$x > -3.4 / 2.7 \implies x > -34/27$

Решим второе неравенство:
$1.4 - 2.8 < 7x - 3.5x$
$-1.4 < 3.5x$
$x > -1.4 / 3.5 \implies x > -14/35 \implies x > -2/5$

Найдем пересечение решений: $x > -34/27$ и $x > -2/5$.
Сравним числа: $-34/27 \approx -1.26$ и $-2/5 = -0.4$.
Так как $-0.4 > -1.26$, то условие $x > -2/5$ является более строгим. Решением системы является $x > -2/5$.
Ответ: $(-2/5; +\infty)$.

д)

Решим систему неравенств:
$\begin{cases} x^2 - 6x + 8 < 0 \\ x - 3 > 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство $x^2 - 6x + 8 < 0$. Корни уравнения $x^2 - 6x + 8 = 0$ по теореме Виета: $x_1 = 2$, $x_2 = 4$.
Парабола $y = x^2 - 6x + 8$ имеет ветви вверх, поэтому решение неравенства находится между корнями: $2 < x < 4$.

Решим второе неравенство:
$x - 3 > 0$
$x > 3$

Найдем пересечение решений: $(2; 4)$ и $(3; +\infty)$. Общим решением является интервал $3 < x < 4$.
Ответ: $(3; 4)$.

е)

Решим систему неравенств:
$\begin{cases} x^2 - 7x + 10 < 0 \\ x^2 - 5x + 4 > 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство $x^2 - 7x + 10 < 0$. Корни уравнения $x^2 - 7x + 10 = 0$ по теореме Виета: $x_1 = 2$, $x_2 = 5$.
Парабола $y = x^2 - 7x + 10$ имеет ветви вверх, значит, решение неравенства: $2 < x < 5$.

Решим второе неравенство $x^2 - 5x + 4 > 0$. Корни уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$ по теореме Виета: $x_1 = 1$, $x_2 = 4$.
Парабола $y = x^2 - 5x + 4$ имеет ветви вверх, значит, решение неравенства: $x < 1$ или $x > 4$.

Найдем пересечение решений: интервала $(2; 5)$ и объединения интервалов $(-\infty; 1) \cup (4; +\infty)$.
Пересечение $(2; 5)$ и $(-\infty; 1)$ пусто.
Пересечение $(2; 5)$ и $(4; +\infty)$ дает интервал $(4; 5)$.
Таким образом, решением системы является интервал $4 < x < 5$.
Ответ: $(4; 5)$.

104 Решите двойное неравенство:

а) $0 < \frac{2}{x} \le 2 + \frac{3}{x+1}$;

б) $0 \le \frac{6}{x-1} < 1 + \frac{2}{x-2}$.

а)

Исходное двойное неравенство $0 < \dfrac{2}{x} \leq 2 + \dfrac{3}{x+1}$ равносильно системе двух неравенств:

$\begin{cases} \dfrac{2}{x} > 0 \\ \dfrac{2}{x} \leq 2 + \dfrac{3}{x+1} \end{cases}$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0$ и $x \neq -1$.

1. Решим первое неравенство: $\dfrac{2}{x} > 0$.

Так как числитель $2$ положителен, для выполнения неравенства знаменатель также должен быть положителен: $x > 0$.

Решение первого неравенства: $x \in (0, +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $\dfrac{2}{x} \leq 2 + \dfrac{3}{x+1}$.

Перенесем все члены в одну сторону:

$\dfrac{2}{x} - 2 - \dfrac{3}{x+1} \leq 0$

Приведем к общему знаменателю $x(x+1)$:

$\dfrac{2(x+1) - 2x(x+1) - 3x}{x(x+1)} \leq 0$

$\dfrac{2x + 2 - 2x^2 - 2x - 3x}{x(x+1)} \leq 0$

$\dfrac{-2x^2 - 3x + 2}{x(x+1)} \leq 0$

Умножим обе части на $-1$ и сменим знак неравенства:

$\dfrac{2x^2 + 3x - 2}{x(x+1)} \geq 0$

Найдем корни числителя $2x^2 + 3x - 2 = 0$.

Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2$.

$x_1 = \dfrac{-3 - 5}{4} = -2$, $x_2 = \dfrac{-3 + 5}{4} = \dfrac{1}{2}$.

Неравенство принимает вид:

$\dfrac{2(x+2)(x - 1/2)}{x(x+1)} \geq 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Корни числителя: $-2$ и $1/2$ (входят в решение). Корни знаменателя: $-1$ и $0$ (не входят в решение).

На числовой оси отмечаем точки $-2, -1, 0, 1/2$. Определяем знаки выражения в полученных интервалах:

$(-\infty, -2]$: знак +

$(-2, -1)$: знак -

$(-1, 0)$: знак +

$(0, 1/2]$: знак -

$[1/2, +\infty)$: знак +

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, -2] \cup (-1, 0) \cup [1/2, +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств:

$x \in (0, +\infty)$ и $x \in (-\infty, -2] \cup (-1, 0) \cup [1/2, +\infty)$.

Пересечением этих множеств является интервал $[1/2, +\infty)$.

Ответ: $x \in [1/2, +\infty)$.

б)

Исходное двойное неравенство $0 \leq \dfrac{6}{x-1} < 1 + \dfrac{2}{x-2}$ равносильно системе двух неравенств:

$\begin{cases} 0 \leq \dfrac{6}{x-1} \\ \dfrac{6}{x-1} < 1 + \dfrac{2}{x-2} \end{cases}$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 1$ и $x \neq 2$.

1. Решим первое неравенство: $0 \leq \dfrac{6}{x-1}$.

Так как числитель $6$ положителен, а дробь не может равняться нулю, то неравенство сводится к $\dfrac{6}{x-1} > 0$. Это выполняется, когда знаменатель положителен:

$x-1 > 0 \Rightarrow x > 1$.

Решение первого неравенства: $x \in (1, +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $\dfrac{6}{x-1} < 1 + \dfrac{2}{x-2}$.

Перенесем все члены в одну сторону:

$\dfrac{6}{x-1} - 1 - \dfrac{2}{x-2} < 0$

Приведем к общему знаменателю $(x-1)(x-2)$:

$\dfrac{6(x-2) - (x-1)(x-2) - 2(x-1)}{(x-1)(x-2)} < 0$

$\dfrac{6x - 12 - (x^2 - 3x + 2) - 2x + 2}{(x-1)(x-2)} < 0$

$\dfrac{6x - 12 - x^2 + 3x - 2 - 2x + 2}{(x-1)(x-2)} < 0$

$\dfrac{-x^2 + 7x - 12}{(x-1)(x-2)} < 0$

Умножим обе части на $-1$ и сменим знак неравенства:

$\dfrac{x^2 - 7x + 12}{(x-1)(x-2)} > 0$

Найдем корни числителя $x^2 - 7x + 12 = 0$.

По теореме Виета, корни $x_1 = 3$, $x_2 = 4$.

Неравенство принимает вид:

$\dfrac{(x-3)(x-4)}{(x-1)(x-2)} > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Корни числителя и знаменателя: $1, 2, 3, 4$ (все точки выколотые).

На числовой оси отмечаем точки $1, 2, 3, 4$. Определяем знаки выражения в полученных интервалах:

$(-\infty, 1)$: знак +

$(1, 2)$: знак -

$(2, 3)$: знак +

$(3, 4)$: знак -

$(4, +\infty)$: знак +

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, 1) \cup (2, 3) \cup (4, +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств:

$x \in (1, +\infty)$ и $x \in (-\infty, 1) \cup (2, 3) \cup (4, +\infty)$.

Пересечением этих множеств является объединение интервалов $(2, 3) \cup (4, +\infty)$.

Ответ: $x \in (2, 3) \cup (4, +\infty)$.

105 Найдите все пары целых чисел x и y, для которых верны неравенства:

а) $3y - x < 5$, $x + y > 26$, $3x - 2y < 46;

б) $3y - 5x > 16$, $3y - x < 44$, $3x - y > 1;

в) $3y - 2x < 45$, $x + y > 24$, $3x - y < 3;

г) $y - 3x < 1$, $2y - 3x > 19$, $4y - x < 78.

а)

Дана система неравенств:

$3y - x < 5$

$x + y > 26$

$3x - 2y < 46$

Поскольку $x$ и $y$ — целые числа, мы можем переписать неравенства в нестрогом виде:

$3y - x \le 4$

$x + y \ge 27$

$3x - 2y \le 45$

Выразим переменную $x$ из каждого неравенства:

Из первого: $x \ge 3y - 4$

Из второго: $x \ge 27 - y$

Из третьего: $3x \le 45 + 2y \implies x \le \frac{45 + 2y}{3} \implies x \le 15 + \frac{2}{3}y$

Объединим эти условия в одно двойное неравенство для $x$:

$\max(3y - 4, 27 - y) \le x \le 15 + \frac{2}{3}y$

Чтобы существовало хотя бы одно целое решение для $x$, левая часть двойного неравенства должна быть не больше правой. Это дает нам два условия для $y$:

1) $3y - 4 \le 15 + \frac{2}{3}y \implies 9y - 12 \le 45 + 2y \implies 7y \le 57 \implies y \le \frac{57}{7} \approx 8.14$. Так как $y$ целое, $y \le 8$.

2) $27 - y \le 15 + \frac{2}{3}y \implies 12 \le y + \frac{2}{3}y \implies 12 \le \frac{5}{3}y \implies 36 \le 5y \implies y \ge \frac{36}{5} = 7.2$. Так как $y$ целое, $y \ge 8$.

Из условий $y \le 8$ и $y \ge 8$ следует, что единственное возможное значение $y = 8$.

Подставим $y=8$ в неравенство для $x$:

$\max(3 \cdot 8 - 4, 27 - 8) \le x \le 15 + \frac{2 \cdot 8}{3}$

$\max(24 - 4, 19) \le x \le 15 + \frac{16}{3}$

$\max(20, 19) \le x \le 15 + 5.33...$

$20 \le x \le 20.33...$

Поскольку $x$ — целое число, единственным возможным значением является $x = 20$.

Таким образом, мы нашли единственную пару целых чисел $(20, 8)$, которая может удовлетворять системе. Проверим ее, подставив в исходные неравенства:

$3(8) - 20 = 24 - 20 = 4 < 5$ (верно)

$20 + 8 = 28 > 26$ (верно)

$3(20) - 2(8) = 60 - 16 = 44 < 46$ (верно)

Ответ: $(20, 8)$.

б)

Дана система неравенств:

$3y - 5x > 16$

$3y - x < 44$

$3x - y > 1$

Для целых $x$ и $y$ система равносильна следующей:

$3y - 5x \ge 17$

$3y - x \le 43$

$3x - y \ge 2$

Выразим $3y$ из первого и второго неравенств:

$3y \ge 5x + 17$

$3y \le x + 43$

Из третьего неравенства выразим $y$ и умножим на 3: $y \le 3x - 2 \implies 3y \le 9x - 6$.

Теперь мы можем записать двойное неравенство для $3y$:

$5x + 17 \le 3y \le \min(x + 43, 9x - 6)$

Для существования решения необходимо, чтобы левая часть была не больше правой:

1) $5x + 17 \le x + 43 \implies 4x \le 26 \implies x \le 6.5$. Так как $x$ целое, $x \le 6$.

2) $5x + 17 \le 9x - 6 \implies 23 \le 4x \implies x \ge 5.75$. Так как $x$ целое, $x \ge 6$.

Из условий $x \le 6$ и $x \ge 6$ следует, что $x=6$.

Подставим $x=6$ в неравенство для $3y$:

$5(6) + 17 \le 3y \le \min(6 + 43, 9(6) - 6)$

$47 \le 3y \le \min(49, 48)$

$47 \le 3y \le 48$

Так как $y$ — целое число, $3y$ должно быть кратно 3. Единственное такое число в промежутке $[47, 48]$ — это 48. Следовательно, $3y=48$, откуда $y=16$.

Проверим пару $(6, 16)$:

$3(16) - 5(6) = 48 - 30 = 18 > 16$ (верно)

$3(16) - 6 = 48 - 6 = 42 < 44$ (верно)

$3(6) - 16 = 18 - 16 = 2 > 1$ (верно)

Ответ: $(6, 16)$.

в)

Дана система неравенств:

$3y - 2x < 45$

$x + y > 24$

$3x - y < 3$

Перепишем для целых чисел:

$3y - 2x \le 44$

$x + y \ge 25$

$3x - y \le 2$

Выразим $y$ из второго и третьего неравенств:

$y \ge 25 - x$

$y \ge 3x - 2$

Отсюда следует, что $y \ge \max(25 - x, 3x - 2)$.

Из первого неравенства: $3y \le 2x + 44 \implies y \le \frac{2x+44}{3}$.

Объединим условия для $y$:

$\max(25 - x, 3x - 2) \le y \le \frac{2x+44}{3}$

Для существования решения $y$ необходимо, чтобы:

1) $25 - x \le \frac{2x+44}{3} \implies 75 - 3x \le 2x + 44 \implies 31 \le 5x \implies x \ge 6.2$. Так как $x$ целое, $x \ge 7$.

2) $3x - 2 \le \frac{2x+44}{3} \implies 9x - 6 \le 2x + 44 \implies 7x \le 50 \implies x \le 7.14...$. Так как $x$ целое, $x \le 7$.

Из $x \ge 7$ и $x \le 7$ следует, что $x = 7$.

Подставим $x=7$ в неравенство для $y$:

$\max(25 - 7, 3(7) - 2) \le y \le \frac{2(7)+44}{3}$

$\max(18, 19) \le y \le \frac{58}{3}$

$19 \le y \le 19.33...$

Единственное целое значение для $y$ в этом промежутке — это $y=19$.

Проверим пару $(7, 19)$:

$3(19) - 2(7) = 57 - 14 = 43 < 45$ (верно)

$7 + 19 = 26 > 24$ (верно)

$3(7) - 19 = 21 - 19 = 2 < 3$ (верно)

Ответ: $(7, 19)$.

г)

Дана система неравенств:

$y - 3x < 1$

$2y - 3x > 19$

$4y - x < 78$

Поскольку $x, y$ целые, то $y-3x, 2y-3x, 4y-x$ также являются целыми. Система эквивалентна:

$y - 3x \le 0$

$2y - 3x \ge 20$

$4y - x \le 77$

Выразим $y$ из каждого неравенства:

$y \le 3x$

$y \ge \frac{3x+20}{2}$

$y \le \frac{x+77}{4}$

Объединим эти неравенства:

$\frac{3x+20}{2} \le y \le \min(3x, \frac{x+77}{4})$

Для существования решения $y$ необходимо, чтобы:

1) $\frac{3x+20}{2} \le 3x \implies 3x + 20 \le 6x \implies 20 \le 3x \implies x \ge 6.66...$. Так как $x$ целое, $x \ge 7$.

2) $\frac{3x+20}{2} \le \frac{x+77}{4} \implies 2(3x + 20) \le x + 77 \implies 6x + 40 \le x + 77 \implies 5x \le 37 \implies x \le 7.4$. Так как $x$ целое, $x \le 7$.

Единственное возможное целое значение для $x$ — это 7.

Подставим $x=7$ в неравенство для $y$:

$\frac{3(7)+20}{2} \le y \le \min(3(7), \frac{7+77}{4})$

$\frac{21+20}{2} \le y \le \min(21, \frac{84}{4})$

$\frac{41}{2} \le y \le \min(21, 21)$

$20.5 \le y \le 21$

Единственное целое значение для $y$ в этом промежутке — это $y=21$.

Проверим пару $(7, 21)$:

$21 - 3(7) = 21 - 21 = 0 < 1$ (верно)

$2(21) - 3(7) = 42 - 21 = 21 > 19$ (верно)

$4(21) - 7 = 84 - 7 = 77 < 78$ (верно)

Ответ: $(7, 21)$.

Арифметическая и геометрическая прогрессии

106

а) Второй член арифметической прогрессии равен $a_2 = 5$, а пятый член равен $a_5 = 14$. Найдите разность прогрессии $d$.

б) Седьмой член арифметической прогрессии равен $a_7 = 20$, а третий член равен $a_3 = 8$. Найдите первый член $a_1$.

в) Четвёртый член арифметической прогрессии равен $a_4 = 11$, а шестой член равен $a_6 = 17$. Найдите второй член $a_2$.

г) Сумма первого и четвёртого членов арифметической прогрессии равна $a_1 + a_4 = 20$, а сумма второго и восьмого членов равна $a_2 + a_8 = 40$. Найдите разность прогрессии $d$.

д) В арифметической прогрессии первый член равен $a_1 = 2$, а разность прогрессии равна $d = 3$. Найдите сумму семи первых членов прогрессии $S_7$.

е) Найдите сумму 12 первых членов арифметической прогрессии $S_{12}$, если её второй член равен $a_2 = 8$, а десятый член равен $a_{10} = 40$.

ж) Найдите сумму десяти первых членов арифметической прогрессии $S_{10}$, если сумма её первого и седьмого члена равна $a_1 + a_7 = 16$, а разность между первым и седьмым членами равна $a_1 - a_7 = -12$.

а)

Обозначим члены арифметической прогрессии как $a_n$, где $n$ – номер члена, а разность прогрессии как $d$. По условию, второй член $a_2 = 5$, а пятый член $a_5 = 14$.

Связь между двумя любыми членами прогрессии $a_m$ и $a_k$ выражается формулой $a_m = a_k + (m-k)d$.

Применим эту формулу для $a_5$ и $a_2$:

$a_5 = a_2 + (5-2)d$

Подставим известные значения:

$14 = 5 + 3d$

Теперь решим уравнение относительно $d$:

$3d = 14 - 5$

$3d = 9$

$d = \frac{9}{3} = 3$

Ответ: 3

б)

По условию, седьмой член $a_7 = 20$, а третий член $a_3 = 8$. Нужно найти первый член $a_1$.

Сначала найдем разность прогрессии $d$, используя формулу $a_m = a_k + (m-k)d$:

$a_7 = a_3 + (7-3)d$

$20 = 8 + 4d$

$4d = 20 - 8 = 12$

$d = \frac{12}{4} = 3$

Теперь, зная разность $d$, найдем первый член $a_1$, используя формулу $a_n = a_1 + (n-1)d$ для $n=3$:

$a_3 = a_1 + (3-1)d$

$8 = a_1 + 2d$

Подставим найденное значение $d=3$:

$8 = a_1 + 2 \cdot 3$

$8 = a_1 + 6$

$a_1 = 8 - 6 = 2$

Ответ: 2

в)

Дано: четвёртый член $a_4 = 11$, шестой член $a_6 = 17$. Найти: второй член $a_2$.

Сначала определим разность прогрессии $d$:

$a_6 = a_4 + (6-4)d$

$17 = 11 + 2d$

$2d = 17 - 11 = 6$

$d = \frac{6}{2} = 3$

Теперь найдем второй член $a_2$. Мы можем выразить $a_4$ через $a_2$:

$a_4 = a_2 + (4-2)d$

Подставим известные значения $a_4$ и $d$:

$11 = a_2 + 2 \cdot 3$

$11 = a_2 + 6$

$a_2 = 11 - 6 = 5$

Ответ: 5

г)

По условию даны два уравнения:

1) Сумма первого и четвёртого членов равна 20: $a_1 + a_4 = 20$.

2) Сумма второго и восьмого членов равна 40: $a_2 + a_8 = 40$.

Нужно найти разность прогрессии $d$. Выразим все члены через $a_1$ и $d$:

$a_2 = a_1 + d$, $a_4 = a_1 + 3d$, $a_8 = a_1 + 7d$.

Подставим эти выражения в исходные уравнения и получим систему:

$\begin{cases} a_1 + (a_1 + 3d) = 20 \\ (a_1 + d) + (a_1 + 7d) = 40 \end{cases} \implies \begin{cases} 2a_1 + 3d = 20 \\ 2a_1 + 8d = 40 \end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы исключить $a_1$:

$(2a_1 + 8d) - (2a_1 + 3d) = 40 - 20$

$5d = 20$

$d = \frac{20}{5} = 4$

Ответ: 4

д)

Дано: первый член $a_1 = 2$, разность прогрессии $d = 3$. Нужно найти сумму семи первых членов $S_7$.

Формула для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.

Подставим в формулу наши значения: $n=7$, $a_1=2$, $d=3$.

$S_7 = \frac{2 \cdot 2 + (7-1) \cdot 3}{2} \cdot 7 = \frac{4 + 6 \cdot 3}{2} \cdot 7 = \frac{4 + 18}{2} \cdot 7 = \frac{22}{2} \cdot 7 = 11 \cdot 7 = 77$

Ответ: 77

е)

Дано: второй член $a_2 = 8$, десятый член $a_{10} = 40$. Нужно найти сумму 12 первых членов $S_{12}$.

Для нахождения суммы нам нужны первый член $a_1$ и разность $d$.

1. Найдём разность $d$:

$a_{10} = a_2 + (10-2)d \implies 40 = 8 + 8d \implies 8d = 32 \implies d = 4$.

2. Найдём первый член $a_1$:

$a_2 = a_1 + d \implies 8 = a_1 + 4 \implies a_1 = 4$.

3. Найдём сумму $S_{12}$ по формуле $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$:

$S_{12} = \frac{2 \cdot 4 + (12-1) \cdot 4}{2} \cdot 12 = \frac{8 + 11 \cdot 4}{2} \cdot 12 = \frac{8 + 44}{2} \cdot 12 = \frac{52}{2} \cdot 12 = 26 \cdot 12 = 312$

Ответ: 312

ж)

По условию дано:

1) Сумма первого и седьмого членов: $a_1 + a_7 = 16$.

2) Разность между первым и седьмым членами: $a_1 - a_7 = -12$.

Нужно найти сумму десяти первых членов $S_{10}$.

1. Найдём $a_1$ и $a_7$ из системы уравнений:

$\begin{cases} a_1 + a_7 = 16 \\ a_1 - a_7 = -12 \end{cases}$

Сложив два уравнения, получим: $2a_1 = 4$, откуда $a_1 = 2$.

Подставив $a_1 = 2$ в первое уравнение, получим: $2 + a_7 = 16$, откуда $a_7 = 14$.

2. Найдём разность $d$:

$a_7 = a_1 + (7-1)d \implies 14 = 2 + 6d \implies 6d = 12 \implies d = 2$.

3. Найдём сумму $S_{10}$ по формуле $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$:

$S_{10} = \frac{2 \cdot 2 + (10-1) \cdot 2}{2} \cdot 10 = \frac{4 + 9 \cdot 2}{2} \cdot 10 = \frac{4 + 18}{2} \cdot 10 = \frac{22}{2} \cdot 10 = 11 \cdot 10 = 110$

Ответ: 110